Pourquoi l'espace-temps est représenté comme un plan ?

[Moby_Dick]

Bonjour à tous,

Comme indiqué dans le titre, voilà quelque temps que je me demande pourquoi l'espace-temps est quasiment toujours représenté comme un quadrillage plat (quand il n'y a pas de courbures spatio-temporelles) sur lequel on pose les objets, et rarement ou jamais comme un quadrillage en trois dimensions, à l'intérieur duquel on poserait nos objets.

Y'a t'il eu des expériences montrant que l'espace-temps ne se courbait pas comme un objet 3D, ou es-ce simplement pour plus de lisibilité, ou autre chose encore ?

Je vous remercie d'avance de votre réponse à cette question qui me tracasse.
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[Deedee81]

Salut,

Bienvenue sur Futura.

C'est bêtement pour la lisibilité.

D'ailleurs, toute rigueur, c'est en 4D qu'il faudrait le représenter. Ce qui est assez problématique, surtout avec la courbure.

Ainsi, pour les représentations rigoureuses (qu'on peut trouver dans un certain nombre de livre/cours de relativité générale), ce qui est souvent dessiné c'est des "coupes" judicieuses dans l'espace-temps, en exploitant les symétries, et avec des coordonnées adaptées.

[Gilgamesh]

Y'a quelque illustration de courbure en 3D. Par exemple :

[Deedee81]

Salut,

Y'a quelque illustration de courbure en 3D. Par exemple :

Très joli.

P.S. je suppose que c'est artistique. Ou alors réaliste mais avec une forte amplification de la courbure spatiale pour que ce soit visible ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Je crois me souvenir que c'était dans le bouquin l'univers élégant de Greene... Mais oui, je ne pense pas que que ça soit autre chose qu'une vue artistique à vocation pédagogique.

[Amanuensis]

P.S. je suppose que c'est artistique. Ou alors réaliste mais avec une forte amplification de la courbure spatiale pour que ce soit visible ?

Pas sûr. La courbure spatiale est très importante, directement visible une fois qu'on voit la relation avec la déformation d'un "nuage de café moulu" comme utilisé par Baez.

La courbure spatiale est directement liée à la courbure d'une sphère centrée sur la Terre, puisque une de ses mesures est la divergence entre les verticales (un mouvement de chute libre vertical est une géodésique).

(Ce que j'écris là n'est pas contradictoire avec l'idée que ça soit autre chose qu'une vue artistique à vocation pédagogique. La courbure spatiale est un tenseur, et si on en prend une contraction scalaire le champ est nécessairement de symétrie sphérique et --il me semble, à confirmer-- monotone avec la distance, ce qui n'est pas ce qui est réprésenté)

[Mailou75]

salut,

Pas sûr.

Bien sur que si... La différence entre une droite et une courbe pour la Terre c'est 60microseconde/jour,à la surface, calcule le ratio en seconde/seconde pour obtenir la courbure... Pour une telle représentation c'est parfaitement invisible.

Les dessin que j'ai link il y à peu montrant la courbure pour la Terre etait fait avec une échelle adequate, la courbure existe donc bien puisque la gravité existe mais elle n'est pas représentable de cette manière.

Le dessin doit être "juste" (dans une seule dimension) pour une etoile à neutrons oui

En plus comme tu le dis, la maille orthogonale n'est juste que dans une dimension mais ne reflète pas la symétrie spherique. La representation 2D+t est donc plus "pédagogique" dans le sens où elle traduit de réelles valeurs de la courbure, ceci me parrait encore plus dangereux... Car c'est carrément faut si on prend toutes les dimensions : l'espace semble se contracter alors qu'au contraire il est dilaté !

Je vote contre !
Mailou

[Mailou75]

Car c'est carrément faux

Elle pique les yeux ^^

[Amanuensis]

Bien sur que si...

Il était question de courbure spatiale, pas d'effet temporel.

[Amanuensis]

Bon, suffit de faire un calcul. Pas trop le temps de me pencher sur la courbure spatiale de l'espace défini par les coordonnées de Schwarzschild dans la solution du même. On peut tenter un majorant.

On peut imaginer que la courbure de l'espace a une "norme" (le scalaire de Kretschmann) plus petite que celle de la courbure de l'espace-temps.

Le scalaire de Kretschmann pour la solution de Schwarzschild vaut 12 R²/d^6. Pour une sphère S2 de rayon r, c'est 1/r^4. L'inverse de la racine quatrième du scalaire est comparable au rayon d'une sphère, et vaut donc 0.54 d sqrt(d/R). À la surface de la Terre, on obtient, en prenant R = 9 mm, un rayon de 14 400 fois le rayon terrestre, de l'ordre de 12 millions de km.

Vu comme cela, on peut peut-être (?) dire que la courbure de l'espace ne peut pas être plus sensible que la courbure d'une sphère d'un rayon de 12 millions de km. À l'échelle d'un humain, c'est négligeable, 14400 fois moins "courbé" que la surface de la Terre.

Maintenant, un effet est la déviation de géodésiques, et un effet visible est la déviation angulaire entre certaines trajectoires spatiales de certaines géodésiques, dans l'espace défini par les coordonnées de Schwarzschild, ce qui est commensurable à la courbure de la surface de la Terre. Doit y avoir moyen d'expliquer le facteur 0.54 sqrt(R/d)...

[Mailou75]

Il était question de courbure spatiale, pas d'effet temporel.

?? What ??

L'espace n'est jamais courbé, seul l'espace-temps est courbé.
Et cette courbe est bien la traduction de "l'effet temporel".

Avant d'entrer dans les calculs, peut on savoir de quoi tu parles ?
(Zef, sort de ce corps )

Merci
Mailou

[Amanuensis]

L'espace n'est jamais courbé,

Mais si.........

[ansset]

L'espace n'est jamais courbé, seul l'espace-temps est courbé.
Et cette courbe est bien la traduction de "l'effet temporel".

Avant d'entrer dans les calculs, peut on savoir de quoi tu parles ?

de la topologie purement spatiale je suppose.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbure_spatiale

[invite06459106]

L'espace n'est jamais courbé, seul l'espace-temps est courbé.

En RG on sépare l'espace-temps en espace + temps (bon, tout en écrivant, je me dis que c'est sûrement pas la meilleure formulation, mais vu l'heure).
C'est comme faire des découpages (chacun de ceux-ci ont des propriétés différentes, en rapport aux référentiels).

Avec le "postulat" d'un espace isotrope et homogène ( dans le modèle adéquat) cela revient à dire qu'il existe un découpage entre espace et temps de façon à ce que l'espace est alors homogène et isotrope.

Cela ne veut pas dire que l'on ne puisse parler de propriété de l'espace-temps comme une combinaison de propriété d'espace et une de temps, mais que des propriétés de l'espace-temps, une fois choisit le réf, seront "vus" avec des propriétés de l'espace (dont la courbure) et celles du temps; elles sont donc dépendantes du réf donc ne sont pas en elle-même "intrinsèque" de l'espace-temps.
Donc, l'espace seul peut-être courbé (même si la courbure est "quasi-nulle" en rapport aux observations).

Comme d'hab, j'expose "ma" traduction/vision du truc pour être repris...

[Deedee81]

Salut,

Non, c'est bon. Autre exemple, plus visuel peut-être. Prenons une sphère. Sa surface est courbe. Mais on peut parfaitement parler de la courbure d'une ligne, par exemple l'équateur.
Idem pour l'espace-temps. Il est courbe mais on peut parfaitement considérer uniquement les composantes spatiales.

[Amanuensis]

La première difficulté, et pas la moindre, est d'expliciter ce qu'on peut appeler "espace" en RG

[Amanuensis]

Non, c'est bon. Autre exemple, plus visuel peut-être. Prenons une sphère. Sa surface est courbe. Mais on peut parfaitement parler de la courbure d'une ligne, par exemple l'équateur.
Idem pour l'espace-temps.

Un peu malheureux comme exemple. Car la courbure (de Gauss) de toute ligne est nulle, que ce soit une ligne prise dans un espace 2D, 3D, ou plus, pareil.

Suffit de prendre un cran de plus, mais c'est plus difficile à voir: S2, prise comme surface dans R^3, a une courbure (de Gauss) non nulle, 1/r², pour la connexion de Lévi-civita pour la métrique induite. [Pour une surface, la courbure de Gauss est définie par un tenseur d'ordre 4, comme pour les autres dimensions, mais par un seul paramètre.]

[invite06459106]

La première difficulté, et pas la moindre, est d'expliciter ce qu'on peut appeler "espace" en RG

Une hypersurface (une sous variété 3D) qui ne soit ni de genre lumière, ni de genre temps, donc de genre...spatial (oui, ça se mord la queue...).
Je pense que "espace" en RG n'a pas le sens commun, mais le mot est utilisé, j'y mets le côté relationnel entre évènements (un peu comme la ligne d'univers et le côté temporel), je ne sais pas si c'est strictement correct, mais espère que c'est pas une vision trop à côté...

[Deedee81]

Un peu malheureux comme exemple. Car la courbure (de Gauss) de toute ligne est nulle, que ce soit une ligne prise dans un espace 2D, 3D, ou plus, pareil.

Oui, j'ai failli le dire (en utilisant les termes courbure intrinsèque et extrinsèque, mais courbure de Gauss est plus connu peut-être) mais je n'avais pas de meilleur exemple aussi visuel. C'est dommage.

[Amanuensis]

Une hypersurface (une sous variété 3D) qui ne soit ni de genre lumière, ni de genre temps, donc de genre...spatial (oui, ça se mord la queue...).

Suffit de dire "de genre spatial", i.e., dont le vectoriel tangent est en tous points composé uniquement de vecteurs spatiaux.

(Il y a des hypersurfaces sans genre...)

Le problème est qu'une hypersurface ne s'applique pas à tout l'espace-temps et ne permet pas de parler d'un "lieu", contrairement à la notion "d'espace" en mécanique classique ou en RR.

[invite06459106]

La première difficulté, et pas la moindre, est d'expliciter ce qu'on peut appeler "espace" en RG

Comment peut-on palier à cette 1ère difficulté?
Vu que c'est la 1ère, quelles sont les autres? ( avec le remède si possible)
Ma façon c'est:

j'y mets le côté relationnel entre événements

, du coup "l'espace" n'est pas une nécéssité (en tant "qu'entité" ), mais cela garde les "objets, ie. distances".
Est-ce correct?
Désolé pour le vocabulaire flou, mais il fait trèèès chaud)

[Amanuensis]

Comment peut-on palier à cette 1ère difficulté?

La notion d'espace, au sens d'un ensemble de lieux, a une parenté étroite avec la notion de référentiel, ainsi qu'avec celle de simultanéité.

Je renvoie donc à toutes les discussions sur référentiels et simultanéité en RG, et il y en a des tas!

Vu que c'est la 1ère, quelles sont les autres?

Une fois défini l'espace, et il faut que ce soit une variété différentielle (de dimension 3), faut y mettre une forme métrique (ou une connexion). Comment la choisir? (Par exemple dans l'exemple message #17, j'ai choisi "forme métrique induite".)

Une fois cela fait, suffit d'appliquer la notion de courbure pour une variété différentielle munie d'une connexion.

Et enfin, indiquer le calcul passant de la courbure de l'espace-temps à celle de l'espace ainsi défini.

Un exemple. Dans la solution de Schw. exprimée en coordonnées de Schw., une notion d'espace est immédiate: un lieu est l'ensemble des événements de mêmes coordonnées spatiales. C'est bien une variété différentielle (un homéomorphisme local avec R^3 est directement donné par les coordonnées. On peut prendre comme métrique la partie spatiale de la métrique 4D (car elle ne dépend pas de la coordonnée temporelle). Yapuka calculer le tenseur de courbure correspondant.

[Mailou75]

Ah.. Représenter la longueur réelle parcourue par un objet le long d'un "rayon de planète" ?
Cad un peu plus que 6371km pour la Terre, l'espace ne devrait donc pas se contracter comme sur le dessin,
mais se dilater au centre pour montrer qu'il y a une sorte de création d'espace au centre de la planète.

Ou sinon le dessin montre comment une échelle d'un observateur à l'infini mesurerait ce meme rayon :
la distance mesurée par son échelle déformée (1 vallant toujours 1 pour lui) passant par le centre de la planète
ne correspondrait pas au rayon extérieur apparent (grand cercle de la planète), le rayon obtenu serait trop grand.

Non légendé, normalement c'est pas validé

Merci
Mailou