Un trou noir est il plein ?

[Mailou75]

Si on revenait à la question initiale:
Un TN est-il plein? Si oui de quoi?

Entierement d'accord ^^ pour te répondre, lire la supposition du post 1
-----

[Amanuensis]

Ensuite il n'est pas évident qu'une géodésique soit extrémale (voir l'exemple en géométrie sphérique de mon précédent post) surtout quand il y a plusieurs façons d' "aller tout droit" entre deux points donnés.

Extrémale = dérivée seconde nulle (en simplifiant énormément). Trop souvent confondu avec "soit maximale soit minimale". Un point selle est extrémal.

Un exemple sont les points de Lagrange: tous extrémaux pour le potentiel, mais certains sont des points selles (L1, L2 et L3).

En signature autre que riemannienne, une géodésique n'est pas nécessairement un maximum ou un minimum de sa longueur, même local.

En espace-temps (coordonnées (t, x, y)) c'est le cas des géodésiques spatiales (entre (0, 0, 0) et (0, 1, 0), le chemin (0,0, 0), (0, 1/2, a ), (0, 1, 0) est plus long que la géodésique, mais le chemin (0, 0, 0), (a, 1/2, 0), (0, 1, 0) est plus court que la géodésique).

La géodésique est bien extrémale (par définition), mais ne réalise pas nécessairement un maximum ou un minimum local.

[Dimension0]

@mach3

contre-exemple en géométrie sphérique : pour aller de Paris au pôle nord, il y a deux chemins, qui sont tous deux des géodésiques. L'un passe par le pôle sud et l'autre non. Ils ne font pas la même longueur. On a donc deux géodésiques, partant d'un même point et arrivant à un même autre point, qui ne font pas la même longueur.

Donc mis à part cas particulier, deux géodésiques de l'espace-temps qui se croisent deux fois n'ont aucune raison d'avoir la même longueur entre les deux évènements de croisement.

Bonjour,

si je suis d'accord avec ta conclusion, ton exemple me semble fautif dans la mesure où j'ai l'impression que tu n' exhibes qu'une seule géodésique (au sens solution de l'équation éponyme satisfaisant les conditions de passage par les deux points voulus). Le partitionnement de cette courbe en deux arcs est du au fait qu'elle est fermée (topologie ?).

Alors que la démonstration aurait voulu, je pense, que tu donnes un exemple avec deux géodésiques distinctes de longueurs différentes (voir même rajouter une condition d'ouverture pour exclure les CTC). Cela semble compromis avec l'exemple de la 2 sphère où tu peux trouver une infinité de géodésiques passant par 2 antipodes mais qui ont le malheur (à cause des symétries) d'être toutes égales.

Bref pas si évident me semble t'il .... (Je n'ai en tous cas pas assez de culture pour trouver un exemple simple, quant à la démo mathématique ).

[Amanuensis]

D'autres exemples peuvent être proposés sur le tore. (Mais c'est moins familier qu'une sphère...)

Avec une métrique a²dx²+b²dy², a différent de b, et un point P, le petit cercle allant de P à P est de longueur 2pi a, alors que le grand cercle allant de P à P est de longueur 2pi b.

Même dans le cas symétrique, dx²+dy², il y a une infinité d'arcs géodésiques joignant P à P et de longueurs différentes, par exemple un de longueur 2pi (direction ), un autre de longueur fois 2pi (direction ), etc.

[Deedee81]

Salut,

Bref pas si évident me semble t'il .... (Je n'ai en tous cas pas assez de culture pour trouver un exemple simple, quant à la démo mathématique ).

Dans beaucoup de livre de RG que j'ai lu on trouve souvent une phrase du style : "par deux points on suppose qu'il ne passe qu'une seule géodésique si les points sont suffisamment proches". Ce qui n'est pas toujours vrai.
C'est un problème analogue au principe de moindre action où la trajectoire physique est unique si les points initiaux et finaux sont suffisamment proches. Là aussi j'avais déjà vu des contre-exemples.
Mais les physiciens pratiquent souvent l'art du "sens physiques pas trop rigoureux" Après tout, Feynman a développé sa technique des intégrales de chemin avant même que tout sois rigoureusement vérifié/justifié par la machinerie mathématique.

[Amanuensis]

Dans beaucoup de livre de RG que j'ai lu on trouve souvent une phrase du style : "par deux points on suppose qu'il ne passe qu'une seule géodésique si les points sont suffisamment proches". Ce qui n'est pas toujours vrai.

??? C'est une "supposition", au sens où on se restreint en physique à des variétés pas trop exotiques. (À comparer avec d'autres hypothèses restrictives, comme l'absence de boucles temporelles, etc.) Le monde mathématique des variétés différentielles est grand, et on peut comprendre que les physiciens ne cherchent pas à s'occuper de cas trop bizarres, ou plus exactement qu'ils ne prennent en compte des cas exotiques que forcés et contraints par l'observation (le sens de "vrai"?).

[Deedee81]

??? C'est une "supposition", au sens où on se restreint en physique à des variétés pas trop exotiques. (À comparer avec d'autres hypothèses restrictives, comme l'absence de boucles temporelles, etc.) Le monde mathématique des variétés différentielles est grand, et on peut comprendre que les physiciens ne cherchent pas à s'occuper de cas trop bizarres, ou plus exactement qu'ils ne prennent en compte des cas exotiques que forcés et contraints par l'observation (le sens de "vrai"?).

Oui, c'est tout à fait ça.
(le "pas toujours vrai" faisait référence à l'exemple de mach3)

[Dimension0]

@Amanuensis:

merci pour l'exemple.

@Deedee81:

Bonjour,

Dans beaucoup de livre de RG que j'ai lu on trouve souvent une phrase du style : "par deux points on suppose qu'il ne passe qu'une seule géodésique si les points sont suffisamment proches"

Je ne sais pas si je suis bien ton propos mais ça me semble simplement relever du principe d'équivalence. En chute libre, on peut effacer localement la gravitation. Ainsi dans l'espace temps de Minkovski, il me parait évident que par deux événements distincts ne passe qu'une seule géodésique. Donc tout est dans le 'suffisamment proche' ...

[Deedee81]

Je ne sais pas si je suis bien ton propos mais ça me semble simplement relever du principe d'équivalence. En chute libre, on peut effacer localement la gravitation. Ainsi dans l'espace temps de Minkovski, il me parait évident que par deux événements distincts ne passe qu'une seule géodésique. Donc tout est dans le 'suffisamment proche' ...

En effet puisque le principe d'équivalence implique qu'en tout point, l'espace tangent est de Minkowski. Cela n'exclut pas de "faire le tour" à la manière d'une sphère. C'est je suppose sous-entendu parce que je ne me rappelle pas avoir vu la remarque.

Concernant le principe de moindre action, j'avais vu un exemple où il existait une infinité de chemin (extrémaux) entre deux points quelle que soit leur écart. Malheureusement, je ne me souviens plus de cet exemple. Si quelqu'un connait, c'est le bienvenu (je trouve la comparaison intéressante car on sait faire dériver le fait qu'une géodésique est un extrémum d'un principe de moindre action. J'avais lu ça dans le livre de Elbaz sur la relativité générale si ma mémoire est bonne. Je crois que c'était aussi dans le livre de calcul tensoriel de Hladik).

[mach3]

on sait faire dériver le fait qu'une géodésique est un extrémum d'un principe de moindre action

il me semble avoir vu ça dans le MTW aussi, mais c'est dans un chapitre que j'ai lu en diagonal car trop de lacunes en mécanique analytique.

m@ch3

[Deedee81]

il me semble avoir vu ça dans le MTW aussi, mais c'est dans un chapitre que j'ai lu en diagonal car trop de lacunes en mécanique analytique.

Je viens de le trouver bêtement dans wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Princi...%A9n%C3%A9rale
je ne m'y attendais pas

[Mailou75]

Salut,

D'une certaine façon oui. Car ce qui permet de dire que le "temps" (sous entendu propre) s'écoule de manière identique pour les deux référentiel en RR est la symétrie des observations (EDR) si le Sédentaire voit s'éloigner le Voyageur, il verra son horloge battre moins vite que la sienne et inversement (double ).

Justement pas, c'est pour ça que je dis que c'est aussi difficile à admettre... car affirmer que le temps propre est le même reviendrait à admettre qu'il existe un temps absolu ! Phys4 a mis un moment à me faire avaler le truc en démontant mes démonstrations... c'est encore moins intuitif que la relativité elle même

Si je suis à bord de la station en orbite géostationnaire au dessus de la base : j'envoie une balle de tennis radialement et une autre avec un angle oblique mais avec une vitesse plus grande pour qu'elles atteignent la base simultanément; on se retrouve normalement avec un cas RR car leur altitude doivent être en permanence égale ( à priori).

Si la deuxième balle a une hauteur toujours égale à la première alors qu'elle est en train de faire le tour de la Terre, elle suit effectivement une trajectoire en spirale, sauf que CA N'EXISTE PAS !! Les orbites de Kepler sont elliptiques (V<Vlib) dont le cercle est un cas particulier, paraboliques (V=Vlib) ou hyperboliques (V>Vlib). En supposant qu'on trouve la bonne ellipse pour arriver en même temps (et si tu refuses de lancer la première balle vers le haut avec la même impulsion) alors il aura fallu leur donner une impulsion différente à l'origine. Selon moi ceci leur laisse peu de chance d'être synchronisées à l'arrivée car la deuxième balle subira un effet RR énorme et sera plus jeune que la première aux retrouvailles.

[Mailou75]

Un trou noir est forcément plein : démonstration n°2 (même joueur rejoue )

Cas 1 : Prenons une étoile à neutrons qui n'a pas les caractéristiques pour devenir un trou noir, elle ne s'effondrera pas. Pas de problème.

Cas 2 : Cette fois l'étoile à neutron s'effondre. Au fur et à mesure son cœur va se densifier jusqu'à atteindre la compacité maximale (quand une masse m est contenue dans une sphère de rayon Rs=2Gm/c²). La croute extérieure va continuer de s'effondrer et le cœur "noir" va grossir. A terme quand toute la croute de l'étoile aura elle aussi atteint la compacité maximale, on aura obtenu notre boule pleine de masse M à laquelle rien ne peut être ajouté sans en accroitre le rayon. Pas de problème non plus finalement..

Cas 3 : On prend le même scénario que 2 en supposant cette fois que si une masse m est contenue dans un rayon Rs alors il y aura un "trou" dans l'espace. Dans ce cas le rayon du trou est déjà connu et vaut Rs=2GM/c où M est la masse de l'étoile initiale. Décrivons l'effondrement... la croute externe à Rs n'est plus comprimée par la gravité puisqu'il n'y a plus de surface solide en dessous, elle est simplement en train de tomber dans le trou. Si il n'y a pas de pression alors l'état précédent de l'étoile ne peut être "à neutrons". Si le devenir de l'étoile est connu puisque lié à sa masse (Chandrasekhar) alors le trou est présent depuis toujours et donc à aucun moment il ne peut y avoir de pression interne, au contraire il y a une "dépression interne".

Bref c'est extrêmement mal dit mais l'idée est là : Comment à un poil de masse près (critique) un objet peut il avoir un avenir d'objet extrêmement dense (R>Rs) ou un avenir de "d'absence de matière" ? Comment en ajoutant un poil de masse à un objet extrêmement dense (étoile à neutron < Chandra) puis je créer un trou et une dépression qui n'existaient pas 1 gramme plus tôt ?

Finalement la proposition se rapproche de celle de Mitchell, objet dont la vitesse de libération vaut c à la surface, mais fixe en même temps Rs comme une limite (noter qu'en 1783 Mitchell pouvait encore imaginer des astres de masse M contenus dans un rayon R<Rs et dont la vitesse de libération dépasserait c).

....

Maintenant jouons à un autre jeu : Quelqu'un peut il démontrer qu'un trou noir n'est pas une boule pleine de matière compactée au max ?

Merci
Mailou

[Amanuensis]

[U]Un trou noir est forcément plein

Démonstration 3, bien plus courte:

Définissons le terme "trou noir" comme un truc plein ;

alors il est forcément plein.

QED

Ainsi au moins on voit clairement d'où vient la difficulté à contredire l'assertion.

[Mailou75]

Définissons le terme "trou noir" comme un truc plein ; alors il est forcément plein.

Ah ben oué, j'y avais pas pensé... tu avoueras que dire qu'il y a un "trou" est tout aussi gratuit alors

[Amanuensis]

Ah ben oué, j'y avais pas pensé... tu avoueras que dire qu'il y a un "trou" est tout aussi gratuit alors

Oui et non.

Ce sont juste différentes situations, basées sur des hypothèses différentes. Rien de bien original en physique.

Pour répéter, ce qui est commun à toutes une série de situations, c'est la région I. Les hypothèses de symétrie sphérique et d'approximation newtonnienne à l'infini suffisent à imposer la géométrie de Schwarzschild à la région I (théorème de Birkhoff (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...lativit%C3%A9)).

Cela ne couvre qu'une partie de l'espace-temps, pour aller plus loin, faut d'autres hypothèses. Et à chaque jeu d'hypothèses des résultats différents.

Cela n'a rien de gratuit.

[Mailou75]

Merci pour cette réponse riche d'enseignement