Conservation de l'intervalle d'espace-temps

[fabio123]

Bonjour,

En relativité restreinte, je voulais avoir une précision sur la conservation de l'intervalle d'espace temps (d'après ce que j'ai vu, la notation usuelle est ) entre un référentiel et un autre en mouvement rectiligne uniforme par rapport au premier. Cette conservation donne rapidement la relation de la dilation du temps dans le référentiel fixe.

Quelle est son origine profonde d'un point de vue mathématique ? Je comprends, qu'en introduisant la métrique de Lorentz sous forme matricielle, et en calculant le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, vecteur que l'on note (avec les dx^i des composantes contravariantes) que l'on obtienne :

avec M la matrice du produit scalaire ( que l'on peut assimiler au tenseur métrique g_ij, de Minkowski ??).

Pour moi, on se sert alors du fait que le résultat d'une forme bilinéaire (en particulier le produit scalaire défini par la matrice M) entre 2 vecteurs est indépendant de la base dans laquelle ils sont exprimés (comme pour la norme) et j'ai donc pour n'importe quelle base :



d'où le fait que l'on est par la suite :

avec R' le référentiel en mouvement et R le référentiel fixe.

Est-ce que mon raisonnement est bon sur cette conservation de l'intervalle d'espace-temps ? Sûrement y'a t-il des étapes que j'ai zappées ou que l'on peut raisonner autrement ?

Je suis preneur à toute critique ou remarque qui pourrait m'aider à mieux saisir l'origine de cette conservation. J'ai l'impression que je n'ai pas fait totalement le lien entre la matrice de la transformation de Lorentz et la matrice de Minkowski.

Merci pour vos éclaircissements

ps: notre prof de Physique a l'époque nous avait dit qu'au départ, Einstein avait cherché la conservation avec une métrique de signature (+,+,+,+)
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[mach3]

Pas le temps tout de suite pour une réponse très détaillée, mais ce que vous dites est à peu près correct.
Pour le rapport entre transformation de Lorentz et métrique de Minkowski, c'est que la première laisse les coefficient de la seconde invariants (tout comme une rotation conserve les coefficients de la métrique d'euclide).

m@ch3

[invite06459106]

Annulé...grillé par Mach3

[mach3]

Fondamentalement, l'espace-temps est (localement si on se place du point vue plus large de la relativité générale) de Minkowski. C'est à dire un espace vectoriel, muni d'une forme bilineaire symétrique g(..,..), appelée aussi métrique (ici de Minkowski), qui defini un produit scalaire g(u,v) entre deux vecteurs u et v. Mais contrairement à un espace euclidien, elle n'est pas définie positive. Cela signifie donc que le carré scalaire d'un vecteur u (g(u,u)) pourra être positif, nul ou négatif. Les vecteurs et la métrique sont des objets géométriques. Ces objets et leurs relations sont definis indépendamment de tout système de coordonnées, qui eux ne se définissent que postérieurement et de façon arbitraire.

Une coordonnée x, c'est avant tout un champ scalaire sur l'espace(-temps). Le gradient de ce champ scalaire en un point est une 1-forme, dx (*), une application linéaire de l'espace vectoriel vers le corps des scalaires, élément d'un espace vectoriel "dual" du premier (on parle aussi de covecteur ou de vecteur covariant). L'application d'une 1-forme dx sur un vecteur donne un scalaire, la dérivée de x dans la direction du vecteur, ou dérivée directionnelle. Notamment, les vecteurs appartenant au plan tangent (au point considéré) d'une surface à x constant, ont pour image 0 par la 1-forme dx.
Si on a n dimensions, on peut choisir n 1-formes indépendantes, par exemple dx, dy, dz, dt ou dr, dtheta dphi dt (construites à partir de champs scalaires pris arbitrairement, n coordonnées donc) pour former une base de l'espace dual, puis construire une base de l'espace vectoriel, ex, ey, ez, et ou er, etheta, ephi, et...
Une fois cela choisi, on peut exprimer tout vecteur comme une combinaison linéaire de ces vecteurs de base, et les coefficients de cette combinaison sont les coordonnées du vecteur. De même, toute 1-forme pourra s'exprimer comme combinaison linéaire des 1-forme de base et les coefficients seront ses coordonnées.
Enfin la métrique etant une forme bilineaire, elle peut s'exprimer comme la combinaison linéaire de produits tensoriels des 1-forme de base, elle a donc également des coordonnées.

Parmi l'infinité de systèmes de coordonnées possibles, il y en a des particuliers, dans lesquels l'expression de la métrique est particulièrement simple. Pour l'espace euclidien, ce sont les systèmes orthonormés. La métrique peut alors se représenter par la matrice unité. Pour l'espace-temps, ce sont les systèmes de coordonnées de Lorentz. La métrique de Minkowski est alors représentée par une matrice diagonale, dont les éléments sont -1 1 1 1 (ou l'opposé, suivant convention de signe).

On peut passer d'un système de coordonnées à un autre en effectuant une transformation de coordonnées, basiquement en exprimant les vecteurs ou 1-formes de base de l'un en fonction de ceux de l'autre. Cela peut s'écrire sous forme de matrices. On constate que les coordonnées d'un vecteur changent à l'inverse de la base de l'espace vectoriel, c'est pourquoi elles sont appelées contravariantes. Les coordonnées des 1-formes changent dans le même sens (covariantes, notons qu'elles changent à l'inverse de la base duale). Et celles de la métrique dans le même sens mais deux fois (2 fois covariantes). Ainsi quand on change les coordonnées, le résultat du produit scalaire, entre autres, ne change pas (et le contraire aurait été inquiétant...).

Enfin, passer d'un système de coordonnées orthonormé à un autre, ou d'un système de Lorentz à un autre ne change pas les coefficients de la métrique.

Je reposterai peut-être plus proprement avec des formules en LateX, quand je serais sur un pc, pas évident de faire de l'édition de qualité sur smartphone.

* : attention, vous avez écrit des dxi comme coordonnées de votre vecteur u, c'est une confusion. dxi n'est pas un nombre, c'est le changement infinitésimal de xi dans une direction non spécifiée, une 1-forme. dxi/d lambda (lambda paramètre quelconque) est un nombre en revanche.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

le sens mathématique profond est lié à la théorie des groupes de F.Klein (programme d'Erlangen): considérer les différentes géométries comme les théories des invariants des groupes appropriés .
la transformation :

(1)

on considère , l'origine des coordonnées reste invariant (ou le cas de translation est trivial).

-la transformation (1) ne conserve pas en générale la distance des points, à moins que des conditions particulières soient imposées à ses coefficients .

-l'égalité des distance (invariant )impliques l'égalité des normes des vecteurs et .
-les transformation (1) forme le groupe de Poincaré ou de Lorentz dans le cas de .

[Mailou75]

Je ne sais pas si ça peut aider... http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4496297 ?

[fabio123]

@mach3, Merci pour ta réponse détaillée.

Cependant, j'ai un problème concernant le gradient. Durant mes études, j'ai commencé, par exemple pour le gradient en coordonnées polaires (rho,theta), par appliquer la formule suivante :

exprimée dans la base de vecteurs unitaires

Je pense que cette formule peut s'écrire en calcul tensoriel, sous la forme : avec les vecteurs de base : je note au passage qu'avec cette définition, le vecteur est de norme 1 mais pas le vecteur (sa norme est égale à ).

Comme tu le dis, on affirme que le gradient est un covecteur car ses composantes se transforment comme les vecteurs de base mais alors est-ce que ceci est valable pour les composantes (avec u_{i} la coordonnée covariante) ou alors pour les composantes (avec u^{i} la coordonnée contravariante) ???

Je pense a-priori que ceci est valable pour les composantes associées aux vecteurs de la base qui permettent d'exprimer le vecteur dans cette base. Autrement dit, les composantes covariantes sont les composantes par rapport à la base et les composantes sont aussi des composantes covariantes mais par rapport à la base duale de la première, c'est-à-dire .

Si j'exprime le gradient dans la base duale (c'est-dire sous la forme , alors, le gradient correspond à une forme linéaire mais si je l'exprime dans la base de départ, j'ai un vecteur "classique", c'est-à-dire sous la forme , est-ce exact d'affirmer cela ?

Pour faire le parallèle avec l'exemple du début de mon message concernant l'expression du gradient en coordonnées polaires, est-ce que son expression, et plus généralement celle que l'on retrouve habituellement en Physique, correspond-elle à celle du "gradient - forme linéaire" ou "gradient - vecteur classique " ?

La notion de covecteur correspond-elle à l'expression du "gradient - forme linéaire" ?

Cordialement

[fabio123]

Excusez-moi pour les formules à la fin, je voulais écrire :

au lieu de
et

au lieu de

[mach3]

L'usage du gradient est souvent confusant dans les "petites" classes, car le cadre étant celui d'un espace euclidien, on transforme une forme en vecteur et réciproquement de façon implicite et invisible dans un système de coordonnées orthonormé (monter ou descendre un indice, c'est à dire multiplier par la métrique ou son inverse, ne modifie pas la valeur vu qu'elle est représentée par la matrice unité).

A la base, le "vrai" gradient, celui qu'on va utiliser pour caractériser la variation d'une grandeur sur une variété où il n'y a pas nécessairement de métrique, est une 1-forme. Si il y a une métrique, on peut construire le vecteur correspondant, et au lieu d'appliquer la forme gradient à un vecteur, on fera le produit scalaire du vecteur gradient avec ce vecteur.

J'essaie de repasser tout à l'heure.

m@ch3

[Amanuensis]

La notion de covecteur correspond-elle à l'expression du "gradient - forme linéaire" ?

Oui. Plus généralement, dans le contexte, covecteur, forme linéaire, 1-forme, c'est pareil.

Pour faire le parallèle avec l'exemple du début de mon message concernant l'expression du gradient en coordonnées polaires, est-ce que son expression, et plus généralement celle que l'on retrouve habituellement en Physique, correspond-elle à celle du "gradient - forme linéaire" ou "gradient - vecteur classique " ?

L'expression avec des dérivées partielles correspond "fondamentalement" à la forme linéaire.

Dans le domaine, il est d'usage d'écrire la base des formes linéaires associée à des coordonnées comme (dx_i), où x_i sont les coordonnées. (Basiquement, dx_i est la 1-forme "gradient" de la fonction qui a un point associe la coordonnée i, M -> x_i)

On aura pour le "gradient" exprimé comme une forme ; ou encore, dans le cas de coordonnées polaires

Pour le vecteur correspondant par dualité, on applique la métrique, comme indiqué par Mach3. Dans le cas de la RR, la métrique n'a jamais une matrice "identité" (comme la métrique euclidienne dans une base orthonormée) et donc les composantes du "vecteur gradient" dans la base ) (même chose que la base vectorielle usuellement liée aux coordonnées , les ) seront différentes de celles dans la base (dx), avec par exemple un changement de signe pour certaines coordonnées.

[Amanuensis]

Corrigendum:

Pour le vecteur correspondant par dualité, on applique la métrique, comme indiqué par Mach3. Dans le cas de la RR, la métrique n'a jamais une matrice "identité" (comme la métrique euclidienne dans une base orthonormée) et donc les composantes du "vecteur gradient" dans la base ) (même chose que la base vectorielle usuellement liée aux coordonnées , les ) seront différentes de celles dans la base (dx), avec par exemple un changement de signe pour certaines coordonnées.

Lire :

Pour le vecteur correspondant par dualité, on applique la métrique, comme indiqué par Mach3. Dans le cas de la RR, la métrique n'a jamais une matrice "identité" (comme la métrique euclidienne dans une base orthonormée) et donc les composantes du "vecteur gradient" dans la base des vecteurs --même chose que la base vectorielle usuellement liée aux coordonnées , les --, seront différentes de celles de la "1-forme gradient" dans la base (dx) des 1-formes, avec par exemple un changement de signe pour certaines coordonnées.

[mach3]

Petite remarque sur les coordonnées polaires en 2D, r et . On utilise en mécanique une base orthonormée , dont la relation avec une base euclidienne dépend du point considéré :


cette base n'a pas pour base duale , car au lieu de 1.
La base duale est . Ce sont bien des 1-formes, mais la 2e ne dérive pas directement d'une coordonnée.
Pour que la base duale soit , il faut que la base soit , une base orthogonale, mais non orthonormée (la norme du second vecteur étant r).

m@ch3

[azizovsky]

Quand on utilise la métrique, c'est une dualité de 'nature métrique' qui est canonique .

pour comprendre ce qui est dit avant, il faut prendre l'espace tangent d'une variété M: .

soit une carte arbitraire d'une variété M et soit un point de cette carte.
Dans l'espace cette carte définit la base:



et dans l'espace duel , la base :

[Amanuensis]

Petite remarque sur les coordonnées polaires en 2D, r et . (...)
Pour que la base duale soit , il faut que la base soit , une base orthogonale, mais non orthonormée (la norme du second vecteur étant r).

En utilisant on n'a pas besoin de connaître la convention particulière pour .

On aurait pu faire aussi directement la remarque que n'est pas une base orthonormée.

Ou encore que ne dérive pas directement d'une coordonnée.

[fabio123]

@mach3

En prenant :




Comment démontrer que : ??

Si je pars de : , on a bien

Je ne sais pas, de manière rigoureuse, comment faire apparaître le facteur dans l'expression du "gradient - vecteur" ou le facteur dans l'expression de la forme différentielle . C'est surement lié à l'expression du vecteur ou l'expression de son dual, c'est-à-dire

ce qui donne, si matrice est diagonale :



Mais je n'arrive pas à retrouver et justifier ce facteur pour la composante du gradient en coordonnées polaires ou le facteur dans l'expression de la 1-forme.

Merci pour vos éclaircissements

[Amanuensis]

Faire dans l'autre sens.

Comme , de même d'où , sa norme est donc 1/r.

Par ailleurs, par définition . La norme de est donc r.

Et le facteur r n'apparaîtra pas dans exprimé en fonction de et , aucune raison l'écriture avec les dérivées partielles est générique pour tout système de coordonnées. Le 'r' est dans la norme de

[mach3]

@mach3

En prenant :




Comment démontrer que : ??

Si je pars de : , on a bien

Et tout le problème est là, ainsi défini, n'est pas . C'est là où je voulais en venir dans ma remarque. Perso j'ai mis du temps à le comprendre, donc je me suis permis d'appuyer dessus.

m@ch3

[fabio123]

@mach3

Merci pour votre remarque :

Et tout le problème est là, ainsi défini, n'est pas . C'est là où je voulais en venir dans ma remarque. Perso j'ai mis du temps à le comprendre, donc je me suis permis d'appuyer dessus.

ok, j'ai pris cette définition ( avec le vecteur position ) depuis un livre de calcul tensoriel.

Dans quels cas dois-je prendre la définition ou alors l'autre définition ci-dessus ?

En prenant la définition , j'obtiens en coordonnées polaires :



ce qui fait apparaître le facteur qui est la norme de

Ensuite, concernant une de vos premières réponses :

Petite remarque sur les coordonnées polaires en 2D, r et . On utilise en mécanique une base orthonormée , dont la relation avec une base euclidienne dépend du point considéré :


cette base n'a pas pour base duale , car au lieu de 1.
La base duale est . Ce sont bien des 1-formes, mais la 2e ne dérive pas directement d'une coordonnée.

, je ne comprends pas ce que veut dire "la 2ème 1-forme ne dérive pas directement d'une coordonnée" ?

Cordialement

[Amanuensis]

d est l'opérateur différentiel qui à un champ scalaire f associe sa différentielle, c'est à dire la fonction linéaire tel qu'au premier ordre f(M+v) = f(M) + <df, v>, où M est un point de la variété, v un petit déplacement (un vecteur) et les crochets le résultat de l'application d'une fonction linéaire à un vecteur. df dépend de M, et l'usage est de confondre la notation du champ df et sa valeur en un point.

Prenons une surface. Si (u,v) est un système de coordonnées, u et v sont chacun des champs scalaires. Cela permet de parler de du et dv, des champs d'applications linéaires, ou 1-formes. En un point M (du, dv) est une base de l'espace des fonctions linéaires, c'est la base associées aux coordonnées. df correspond au «gradient», ce dernier étant proprement le vecteur lié par dualité métrique à df.

Cette base permet de définir une base «duale» (pas la dualité métrique) des vecteurs locaux, notée ou , c'est la même chose. Cette base est définie par et

Avec ça, on sait tout sur les bases associées à un système de coordonnées, on peut les calculer, les utiliser, …

Pour les coordonnées (, par définition la 1-forme qui dérive directement des coordonnées est . est une autre 1-forme, elle n'est pas égale à et donc ne dérive pas directement des coordonnées.

[Amanuensis]

Corrigendum

notée ou , c'est la même chose.

notée ou , c'est la même chose.

[fabio123]

@ Amanuensis

Merci pour ta réponse rapide.

Il me semble que traditionnelement, c'est la base qui vaut avec la ième coordonnée utilisée, et que la base duale associée à est la base .

Sûrement que l'on doit pouvoir interchanger leur rôle d'un point de vue des définitions car ce qui compte, c'est que : est-ce exact ?

Concernant les coordonnées , pourquoi il n'y a pas , en plus de la 1-forme , la 1-forme qui dérive elle-aussi directement d'une coordonnée ??

J'ai du mal à appréhender cette notion de "forme linéaire qui dérive directement d'une coordonnée".

Excusez la patience que vous devez avoir mais j'essaie de bien comprendre les quelques subtilités du calcul tensoriel.

[Amanuensis]

Il me semble que traditionnelement, c'est la base qui vaut avec la ième coordonnée utilisée, et que la base duale associée à est la base .

Comme on le voit dans ce fil les notations genre sont ambigües.

Sûrement que l'on doit pouvoir interchanger leur rôle d'un point de vue des définitions car ce qui compte, c'est que : est-ce exact ?

Du point de vue d'un espace vectoriel oui.

Maintenant, quand on parle de bases associées à un système de coordonnées, les deux ont des rôles différents.

Concernant les coordonnées , pourquoi il n'y a pas , en plus de la 1-forme , la 1-forme qui dérive elle-aussi directement d'une coordonnée ??

Il y a. C'est juste que la discussion s'était polarisée sur la première.

J'ai du mal à appréhender cette notion de "forme linéaire qui dérive directement d'une coordonnée".

Les trois étapes sont:

- notion de différentielle d'une fonction, comme une forme linéaire qui fait correspondre à un petit déplacement, exprimée comme un vecteur infinitésimal, la variation de la fonction.

- prise en compte qu'une coordonnée est une fonction, et donc a une différentielle ;

- indépendance des différentielles des n coordonnées en un point donné, d'où une base des formes linéaires.

Excusez la patience que vous devez avoir mais j'essaie de bien comprendre les quelques subtilités du calcul tensoriel.

À ce stade il n'a jamais été question de tenseur, seulement d'algèbre linéaire et de variétés, qui n'est qu'une généralisation de notions abordées en analyse, comme celles de dérivée de fonction ou de dérivée partielle. Mais c'est une étape nécessaire avant d'aborder le calcul tensoriel tel qu'utilisé avec la RG.

[Amanuensis]

Une autre manière de véhiculer l'idée de bases associées aux coordonnées est la suivante. Si v est un vecteur, alors

, où µ parcourt la liste des coordonnées.

Avec la formule «duale»: si ω est une forme

, où µ parcourt la liste des coordonnées.

[fabio123]

Une autre manière de véhiculer l'idée de bases associées aux coordonnées est la suivante. Si v est un vecteur, alors

, où µ parcourt la liste des coordonnées.

Avec la formule «duale»: si ω est une forme

, où µ parcourt la liste des coordonnées.

Dans les 2 expressions ci-dessus (définition du vecteur et de la forme linéaire , il me semble que les crochets correspondent au crochet de dualité (qui est une forme bilinéaire de et non au produit scalaire qui prend en paramètres 2 vecteurs appartenant au même espace, est-ce exact ?

Si cela correspond au crochet de dualité, je ne sais pas quel est le lien entre la norme d'un vecteur/covecteur et l'expression de l'action de la forme linéaire sur un vecteur de l'espace de départ. Par exemple, comment prouver que la norme de est égale à .

La démonstration au début de cette 2ème page fait l'implication :

)

Je voudrais simplement avoir l'étape intermédiaire de cette implication et ainsi faire le lien entre crochet de dualité et norme.

Cordialement

[Amanuensis]

Dans les 2 expressions ci-dessus (définition du vecteur et de la forme linéaire ,

Pas des définitions.

il me semble que les crochets correspondent au crochet de dualité (qui est une forme bilinéaire de et non au produit scalaire qui prend en paramètres 2 vecteurs appartenant au même espace, est-ce exact ?

Message #19: «les crochets le résultat de l'application d'une fonction linéaire à un vecteur»

Si cela correspond au crochet de dualité, je ne sais pas quel est le lien entre la norme d'un vecteur/covecteur et l'expression de l'action de la forme linéaire sur un vecteur de l'espace de départ.

Aucun. Les notions de bases associées à des coordonnées, et de base duale sont indépendantes de toute métrique.

Par exemple, comment prouver que la norme de est égale à .

Faut postuler une métrique. Dans les messages plus anciens, c'était la métrique euclidienne, qui, par définition de coordonnées orthonormales du plan euclidien s'écrit dx²+dy².

La démonstration au début de cette 2ème page fait l'implication :

)

C'est vrai que c'était rapidement dit.

Je voudrais simplement avoir l'étape intermédiaire de cette implication et ainsi faire le lien entre crochet de dualité et norme.

Suffit d'exprimer dθ et dr en fonction de dx et dy. La base duale exprimée en coordonnées dans la base est alors obtenue en résolvant des équations linéaires qui la définisse (inversion de matrice), et la norme se calcule à partir de la métrique exprimée en coordonnées dérivée de (x, y), sachant qu'aussi bien (dx, dy) que sont orthonormées, ce qui est facile à démontrer.

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Ceci dit, le propos d'un forum n'est pas de faire un cours , il y en a sur le web, des cours de professionnels donc de bien meilleure qualité que ce que je ferais.

L'idée est plutôt que le forum serve à répondre à des questions permettant de débloquer des difficultés de compréhension ponctuelles, suite à lecture de cours par exemple.

[fabio123]

@Amanuensis, @mach3

Merci à vous tous pour vos réponses. Je pense que la discussion initiale (conservation de l'intervalle d'espace-temps) a dérivé sur un domaine qui relève plutôt des mathématiques. Je vais donc poster sur le forum "Mathématiques du supérieur".

Cordialement