Géodésiques lumière et autres trajectoires

[Amanuensis]

qui ne permet pas d'appréhender la courbure via la métrique (on est pas dans une variété (pseudo)Riemannienne, mais si je me trompe pas, un truc plus général qui s'appelle variété topologique, à vérifier, dans lequel la définition d'une géodésique est plus générale). Il faudra que je relise des trucs avant de pouvoir en dire plus.

En fait, la courbure ne s'appréhende pas par la métrique, elle se définit à partir de la connexion (ou dérivée covariante, ou transport parallèle, ...). La structure nécessaire est une variété différentiable (topologique ne suffit pas) munie d'une connexion. Cela suffit pour parler de géodésiques entre autres.

La métrique intervient pour définir la connexion : une forme quadratique non dégénérée étant donnée, il y a une et une seule connexion de torsion nulle qui respecte la métrique (qui la conserve lors d'un transport parallèle).

Newton-Cartan consiste à définir une connexion qui respecte les deux formes quadratiques dégénérées (qu'on peut écrire dt² et dx²+dy²+dz²), et utiliser la connexion comme en RG. Évidemment la connexion n'est pas imposée par les formes, elle dépend de la disposition des masses.

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En très court: faut raisonner avec la connexion, pas avec la métrique.
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[mach3]

En intégrant la relativité on obtient le dessin de droite que tu décris en gras. Ils sont tels qu'au croisement avec l'horizontale leur temps propre vaut t/gamma et qu'à la pointe de la flèche il vaut t. Le vecteur est donc l'unité de temps propre du voyageur. Est-ce le sens de "la norme du quadrivecteur vaut 1" ?

Bon, là il faut définir proprement la notion de 4-vitesse. Une ligne d'univers est une courbe paramétrée. Si je prend la dérivée de la position sur la ligne par rapport au paramètre, j'obtiens un vecteur tangent (grosso-modo, on prend le vecteur entre deux points de la ligne infiniment proches et on le divise par la variation infinitésimale du paramètre entre les deux). Pour la 4-vitesse, on pose une exigence sur sa norme, qui doit être la même en tout point de toute ligne d'univers, ce qui a pour conséquence que le paramètre est une fonction affine du temps propre mesuré par une horloge parcourant la ligne. Une fonction affine, parce qu'il y a une ordonnée à l'origine qui dépend du choix de l'origine du temps, et un coefficient multiplicateur qui dépend d'un choix d'unité (par exemple en SI la norme sera 299792458m/s alors qu'en unités géométriques, la norme sera simplement "1").
La 4-vitesse d'une ligne d'univers à ainsi pour coordonnées, dans un système de coordonnées de Lorentz donné : , avec , avec vx, vy et vz les coordonnées du 3-vecteur vitesse dans ce système de coordonnées (on a choisi c=1 ici). En coordonnées de Lorentz, la norme (enfin son carré) s'écrit (en convention +---). C'est l'expression de la métrique en fonction des coordonnées.
Si on change de système de coordonnées, les coordonnées du 4-vecteur changent, ainsi que la façon d'écrire la norme (l'expression de la métrique en fonction des coordonnées), ce qui fait que la norme elle même ne change pas (en fait elle est définie avant même de parler d'un système de coordonnées).

m@ch3

[mach3]

Je sèche sur l'espace courbe, or c'est justement là que ça devient interessant.
On peut commencer par des géodésiques d'espace temps courbe sans relativité puis adapter et voir où ça nous mène ?

je suppose que par "sans relativité" il est signifié "sans relativité d'Einstein". Pas sur que ce soit une bonne idée car ça mènerait à du Newton-Cartan. Par contre on peut discuter sur une variété riemanienne (un espace courbe, par exemple la surface d'une sphère), ce qui fait que la géométrie locale est celle d'Euclide, plus "intuitive" que celle de Minkowski. Par exemple voir comment se comporte un vecteur tangent de longueur unité quand on parcourt un "parallèle" sur la sphère ("parallèle" au sens ligne de latitude constante).

Le genre "espace pur" désignerait l'horizontale parfaite coicident à l'espace de l'observateur à différencier de l'éventail des "déplacements" de genre espace entre ] c et l'infini [ (l'infini étant cette horizontale). Ce n'est évidement pas un terme officiel...

ce qui se rapproche le plus de ça c'est ce qui est dit "simultané" (au sens d'évènements se produisant à la même coordonnée temporelle). Evidemment c'est relatif au système de coordonnée.

Et le "genre temps propre" définit le vecteur unitaire(en temps propre) colinéaire à une trajectoire quelconque, puisque la ligne d'univers est un axe de temps propre en toute circonstance, ici c'est un vecteur régulier le long d'une droite. Mais il est vrai que toute trajectoire rectiligne entre [ v=0 et c [ pourrait revêtir des vecteurs, tous de genre temps propre, le "propre" est donc inutile, ok...

similairement, on peut parler de "immobile", relativement à un système de coordonnée, c'est à dire le fait que la succession d'évènements considérée se situe constamment aux mêmes coordonnées spatiales.

Oui il y a eu quiproquo, pour moi les coordonnées de Rindler designent les trajectoires hyperboliques + temps rayonnant et alors que pour toi il s'agit de ce que j'ai appelé Rindler "redessé". Et c'est plutot étonnant car je ne les ai jamais vues sous cette forme, as tu un exemple ?

Je commencais d'ailleurs à douter du sens d'une telle figure car il faut la lire comme ceci :
- les verticales sont des trajectoires "parallèles" ayant une accélération constante différente. Elle augmente vers la gauche pour atteindre l'infini sur l'horizon, à droite elle diminue
- si les droites rayonnantes deviennent les horizontales du dessin alors ce n'est pas un temps propre qu'on y lit à part pour une seule trajectoire de reference. Par exemple, une droite à mi "distance" de l'horizon aura un accélération double et un temps propre divisé par deux sur l'horizontale.

Si on devait "redresser" le temps propre alors toutes les trajectoires excepté "c vers l'avant" retomberont sur l'horigine (0;0), si je ne raconte pas de c...
On devrait quand même continuer à voir une hyperbole "localement" ce qui confirmerait ce que tu dis. Mais je me demande de plus en plus ce que tu appelles coordonnées de Rindler ?

je ne comprends pas...

bon j'ai trouvé un dessin parlant : https://www.physicsforums.com/attach...ler-png.15197/

à gauche, ce sont les coordonnées de Lorentz (bon je n'utilise pas exactement la même terminologie que celle du schéma, qui est critiquable par ailleurs), représentées avec une base orthonormée. On va les noter (t,x). Dans ce repère, les géodésiques sont représentées par des droites.
à droite, ce sont les coordonnées de Rindler, représentées avec une base orthonormée. On va les noter T et X, et elles sont définies, en fonction des coordonnées de Lorentz par :
et
à gauche, les lignes vertes sont de T constant, et les lignes rouges de X constant. Ces dernières correspondent à des mouvements uniformément accélérés d'accélération propre 1/X, tel que leur vitesse en coordonnées de Lorentz est nulle pour t=0.
à droite, les lignes vertes sont de t constant, et les lignes rouges de x constant. Les mouvements uniformément accélérés d'accélération propre 1/X, tel que leur vitesse en coordonnées de Lorentz est nulle pour t=0 y sont des droites verticales.

j'espère que cela éclairci bien tout mon propos.

m@ch3

[invite5febd2de]

Bonsoir,

Tout d'abord je tiens à m'excuser pour cette réponse tardive, je me suis fait bannir quelques temps du forum, je ne vais pas épiloguer sur les motifs.

Alors oui et non, parce que ce genre d'approche (faire de la physique classique avec les outils mathématiques de la relativité générale) peut mener droit à la théorie de Newton-Cartan, une reformulation de la mécanique classique, pas vraiment plus simple que la relativité générale.

Newton-Cartan consiste à définir une connexion qui respecte les deux formes quadratiques dégénérées (qu'on peut écrire dt² et dx²+dy²+dz²), et utiliser la connexion comme en RG. Évidemment la connexion n'est pas imposée par les formes, elle dépend de la disposition des masses.

Sur ce point je vais vous faire confiance, si ce n'est pas une étape intéressante pour la compréhension de la RG, autant éviter les impasses. Je crois avoir à peu près compris ce qu'est une géodésique, mais j'avais en tête l'image du rayon lumineux dévié par déformation de l'espace en forme de cuvette. En fait il y a une "cuvette" par vitesse ce chute, soit une infinité, où celle influant sur la lumière est une cuvette "limite". Chacune est "graduée" de vecteur unitaires de temps propre, le long de la trajectoire (espace temps) équivalent à c, il n'y a pas de graduation. Voilà un peu où j'en suis... quelle est la suite de l'histoire ?

[invite5febd2de]

Bon, là il faut définir proprement la notion de 4-vitesse. Une ligne d'univers est une courbe paramétrée. Si je prend la dérivée de la position sur la ligne par rapport au paramètre, j'obtiens un vecteur tangent (grosso-modo, on prend le vecteur entre deux points de la ligne infiniment proches et on le divise par la variation infinitésimale du paramètre entre les deux). Pour la 4-vitesse, on pose une exigence sur sa norme, qui doit être la même en tout point de toute ligne d'univers, ce qui a pour conséquence que le paramètre est une fonction affine du temps propre mesuré par une horloge parcourant la ligne. Une fonction affine, parce qu'il y a une ordonnée à l'origine qui dépend du choix de l'origine du temps, et un coefficient multiplicateur qui dépend d'un choix d'unité (par exemple en SI la norme sera 299792458m/s alors qu'en unités géométriques, la norme sera simplement "1").
La 4-vitesse d'une ligne d'univers à ainsi pour coordonnées, dans un système de coordonnées de Lorentz donné : , avec , avec vx, vy et vz les coordonnées du 3-vecteur vitesse dans ce système de coordonnées (on a choisi c=1 ici). En coordonnées de Lorentz, la norme (enfin son carré) s'écrit (en convention +---). C'est l'expression de la métrique en fonction des coordonnées.
Si on change de système de coordonnées, les coordonnées du 4-vecteur changent, ainsi que la façon d'écrire la norme (l'expression de la métrique en fonction des coordonnées), ce qui fait que la norme elle même ne change pas (en fait elle est définie avant même de parler d'un système de coordonnées).

D'accord, si on repart du dessin de droite message 27, avec pour origine de repère le vecteur mesuré. Avec dé unités bien "épurées" on peut écrire que la coordonnée t=1 et la longueur du vecteur vitesse en vert vaut Béta, ce que tu notes Vx. Et donc le vecteur rouge a pour coordonnées horizontale Beta x Gamma et verticale 1 x Gamma. On peut vérifier que : G² - (BG)² =1, exemple 1.666² - (0,8 x 1.666)² = 2.777 - 1.777 = 1
Ensuite, comme on est en MRU, on peut changer de repère et choisir celui dans lequel l'objet est immobile et son vecteur déplacement ne sera plus que temporel (plus de coordonnés spatiale), son temps propre sera alors le "t" du dessin (plus le Tau) et vaudra 1 (soit 1²-0²=1 CQFD).

Je commence à comprendre ce que ça veut dire cette "norme de 4-vitesse" constante, merci

[invite5febd2de]

[NDLRR : Espace pur]ce qui se rapproche le plus de ça c'est ce qui est dit "simultané" (au sens d'évènements se produisant à la même coordonnée temporelle). Evidemment c'est relatif au système de coordonnée.

Tu vas dire que je chipotte mais j'aurais dit synchronisé car "simultané" qualifie plutôt le cône passé

bon j'ai trouvé un dessin parlant : https://www.physicsforums.com/attach...ler-png.15197/

à gauche, ce sont les coordonnées de Lorentz (bon je n'utilise pas exactement la même terminologie que celle du schéma, qui est critiquable par ailleurs), représentées avec une base orthonormée. On va les noter (t,x). Dans ce repère, les géodésiques sont représentées par des droites.
à droite, ce sont les coordonnées de Rindler, représentées avec une base orthonormée. On va les noter T et X, et elles sont définies, en fonction des coordonnées de Lorentz par :
et
à gauche, les lignes vertes sont de T constant, et les lignes rouges de X constant. Ces dernières correspondent à des mouvements uniformément accélérés d'accélération propre 1/X, tel que leur vitesse en coordonnées de Lorentz est nulle pour t=0.
à droite, les lignes vertes sont de t constant, et les lignes rouges de x constant. Les mouvements uniformément accélérés d'accélération propre 1/X, tel que leur vitesse en coordonnées de Lorentz est nulle pour t=0 y sont des droites verticales.

Joli

Mais je reste sceptique pour plusieurs raisons. La lecture y est totalement biaisée car il doit exister un repère par observateur accéléré où son temps propre est constant, il ne peut pas avoir le même axe d'ordonnées (temps) que les trajectoires qui lui sont "parallèles". Et il existe autant de repères que d'accélérations pour que la lumière aille localement à 45° degrés (ce que j'ai essayé de symboliser dans mon dessin du message 25). Il faudrait essayer tes formules voir ce qu'elles donnent, mais je ne suis pas sur d'en avoir les moyens...

Merci pour votre aide

[mach3]

Sur ce point je vais vous faire confiance, si ce n'est pas une étape intéressante pour la compréhension de la RG, autant éviter les impasses.

ce n'est pas inintéressant en soi, mais la structure, justement résumée par amanuensis, est un peu plus compliquée, et je pense que dans un premier temps, cela n'aide probablement pas à mieux comprendre la RG. Par contre, savoir que ça existe, et que la physique classique est en fait déjà une théorie de la gravitation en espace-temps courbe, peut avoir un "pouvoir décomplexant". Je pense qu'il y a là matière à débat sur le fait qu'il faudrait en parler ou non aux apprentis relativistes et si oui jusqu'à quel point... En tout cas, la "bible" (gravitation de Misner, Thorne et Wheeler) y consacre un chapitre. Je ne suis en tout cas pas la bonne personne pour expliquer Newton-Cartan, pas encore assez de recul (ça ne fait guère plus qu'un an que j'explore la RG de manière sérieuse et formelle, et cela sur mon temps libre, c'est à dire pas beaucoup...).

Je crois avoir à peu près compris ce qu'est une géodésique, mais j'avais en tête l'image du rayon lumineux dévié par déformation de l'espace en forme de cuvette. En fait il y a une "cuvette" par vitesse ce chute, soit une infinité, où celle influant sur la lumière est une cuvette "limite".

Cette image peut marcher, à certaines conditions. Si on reste en 2D et qu'on considère une surface courbe, alors par un point passent une infinité de géodésiques, toutes avec un angle différent par rapport à un repère local. En arrivant dans la même "cuvette", deux géodésiques formant un angle vont l'attaquer différemment, donnant un "trajet" différent. En 3D, ce n'est plus un angle unique, mais un couple d'angles. En 4D, ce sera un triplet d'angles. Si on reste localement euclidien, il s'agira de 3 angles "habituels". Par contre si on passe en Minkowskien, pour que notre variété 4D soit un espace-temps, alors l'un des 3 angles est un angle hyperbolique. Les deux angles "habituels" spécifient la direction de la trajectoire correspondante et l'angle hyperbolique spécifie la vitesse.
Deux objets ayant des vitesses différentes (dans un repère donné) et partant en même temps du même point et dans la même direction vont attaquer la même "cuvette", mais sous un angle (hyperbolique) différent. Il n'y a pas une infinité de "cuvettes", une par vitesse de chute, mais il y a une infinité d'angles par lesquels attaquer une unique cuvette.

quelle est la suite de l'histoire ?

on verra où nous mènent les questions suivantes...

D'accord, si on repart du dessin de droite message 27, avec pour origine de repère le vecteur mesuré. Avec dé unités bien "épurées" on peut écrire que la coordonnée t=1 et la longueur du vecteur vitesse en vert vaut Béta, ce que tu notes Vx. Et donc le vecteur rouge a pour coordonnées horizontale Beta x Gamma et verticale 1 x Gamma. On peut vérifier que : G² - (BG)² =1, exemple 1.666² - (0,8 x 1.666)² = 2.777 - 1.777 = 1
Ensuite, comme on est en MRU, on peut changer de repère et choisir celui dans lequel l'objet est immobile et son vecteur déplacement ne sera plus que temporel (plus de coordonnés spatiale), son temps propre sera alors le "t" du dessin (plus le Tau) et vaudra 1 (soit 1²-0²=1 CQFD).

Je commence à comprendre ce que ça veut dire cette "norme de 4-vitesse" constante, merci

Il semble que ce soit bien compris.

Tu vas dire que je chipotte mais j'aurais dit synchronisé car "simultané" qualifie plutôt le cône passé

Dans les diverses références qu'on peut trouver à droite à gauche, le terme "simultané" est réservé à des évènements possédant la même coordonnée temporelle (c'est donc par définition quelque chose de dépendant du choix du système de coordonnées). Je préfère rester dans les usages courants (tant que je ne les trouve pas trop critiquables).
Par contre cela rejoint un débat que j'ai dans la tête sur le "présent" tel que pensé "vulgairement" dans la vie courante : est-ce le cône passé, l'intégralité de l'ailleurs, une coupe arbitraire de genre espace? Ces 3 choses sont confondues en bonne approximation si on se limite aux évènements courants de la vie quotidienne (i.e. non relativistes) se produisant sur Terre : deux évènements sur Terre, se trouvant l'un sur le cône passé, l'autre sur le cône futur d'un 3e évènement se produisant lui aussi sur Terre, sont au mieux séparés par un intervalle de ~80ms (j'aime bien appeler ça l' "épaisseur de l'ailleurs", voire "l'épaisseur du présent"). On ne peut pas remarquer ça sans instrument de mesure précis (surtout que c'est souvent bien plus court, les évènements auxquels on a accès direct sont généralement dans un rayon de quelques kilomètres seulement, donc des délais de l'ordre de la µs...). Le langage s'est donc construit en l'absence de distinction entre cône passé, cône futur et ailleurs. Il faut alors poser arbitrairement des définitions pour que le langage soit à même de décrire plus correctement des situations non limitées à la Terre et à son voisinage immédiat. Personnellement, je suis dérangé quand j'entends "en ce moment même, la sonde cassini se désintègre dans l'atmosphère de Saturne!", parce que cela contient une convention implicite (la phrase s'adressant à des terriens situés sur Terre et ayant des vitesses non relativistes par rapports aux astres du système solaire). Bon, c'est hors-sujet ici, mais ça peut mériter un fil spécifique.

Mais je reste sceptique pour plusieurs raisons. La lecture y est totalement biaisée car il doit exister un repère par observateur accéléré où son temps propre est constant, il ne peut pas avoir le même axe d'ordonnées (temps) que les trajectoires qui lui sont "parallèles".

Dans un repère de Rindler donné, il y a une famille d'observateurs accélérés qui occupent des coordonnées spatiales constantes (qu'on va donc dire "immobile de Rindler", enfin, de ce Rindler là...), ceux dont l'accélération propre est dans la même direction, et égale en norme à l'inverse de l'intervalle entre eux et l'origine du repère. Tous les autres observateurs, accélérés ou non, sont mobiles (au sens du repère de Rindler choisi, et en admettant bien sûr une possible immobilité transitoire). Le temps coordonnée de Rindler ne peut coïncider avec le temps propre des observateurs de cette famille qu'à une fonction affine près (pour un sous-ensemble de cette famille, il y a coïncidence à une constante additive près). On ne peut pas avoir, pour des accélérés, à la fois l'immobilité (par rapport à des coordonnées) et la concordance des temps propres avec le temps coordonnée, il y a forcément l'un des deux qui "merde".
Pour que l'accélération propre d'un immobile de Rindler soit de l'ordre de la gravité terrestre, il faut que l'intervalle entre lui et l'origine du repère soit d'environ 1 an(née-lumière) ! Ainsi, utiliser un seul Rindler pour modéliser localement ce qui se passe à la surface de la Terre (genre sur un cube de 1km d'arête) et une approximation plutôt bonne. On place la surface de la Terre à 1 année-lumière de l'origine du repère, et les corps tests que l'on veut au-dessus de cette surface et on peut étudier les mouvements et voir que ça fait comme si il y avait un champ d'accélération constant, rendant les trajectoires paraboliques. On pourra noter un léger décalage entre les horloges au sol et celles situées à 1km d'altitude, ce qui mime l'effet Einstein. Et en faisant une transformation de coordonnées, on pourrait revenir à du Lorentz (toujours local), ou la surface de la Terre et les immobiles par rapport à elle suivent des lignes d'univers hyperboliques, alors que les objets en chute libre, ceux qui avait une trajectoire hyperboliques, suivent des lignes d'univers rectilignes.

J'essaierai de faire un dessin et de développer quelques équations pour bien illustrer si j'ai le temps.

m@ch3

[Amanuensis]

Dans les diverses références qu'on peut trouver à droite à gauche, le terme "simultané" est réservé à des évènements possédant la même coordonnée temporelle (c'est donc par définition quelque chose de dépendant du choix du système de coordonnées). Je préfère rester dans les usages courants (tant que je ne les trouve pas trop critiquables).
Par contre cela rejoint un débat que j'ai dans la tête sur le "présent" tel que pensé "vulgairement" dans la vie courante : est-ce le cône passé, l'intégralité de l'ailleurs, une coupe arbitraire de genre espace? Ces 3 choses sont confondues en bonne approximation si on se limite aux évènements courants de la vie quotidienne (i.e. non relativistes) se produisant sur Terre : deux évènements sur Terre, se trouvant l'un sur le cône passé, l'autre sur le cône futur d'un 3e évènement se produisant lui aussi sur Terre, sont au mieux séparés par un intervalle de ~80ms (j'aime bien appeler ça l' "épaisseur de l'ailleurs", voire "l'épaisseur du présent"). On ne peut pas remarquer ça sans instrument de mesure précis (surtout que c'est souvent bien plus court, les évènements auxquels on a accès direct sont généralement dans un rayon de quelques kilomètres seulement, donc des délais de l'ordre de la µs...). Le langage s'est donc construit en l'absence de distinction entre cône passé, cône futur et ailleurs. Il faut alors poser arbitrairement des définitions pour que le langage soit à même de décrire plus correctement des situations non limitées à la Terre et à son voisinage immédiat. Personnellement, je suis dérangé quand j'entends "en ce moment même, la sonde cassini se désintègre dans l'atmosphère de Saturne!", parce que cela contient une convention implicite (la phrase s'adressant à des terriens situés sur Terre et ayant des vitesses non relativistes par rapports aux astres du système solaire). Bon, c'est hors-sujet ici, mais ça peut mériter un fil spécifique.

Pour le Système solaire (Saturne et feu Cassini comprises) la convention tacite est la synchronisation d'Einstein-Poincaré. Pas vraiment besoin de la préciser, elle est comprise intuitivement aisément (date corrigée par la durée de propagation du signal, soit en gros la distance divisée par c).

Par ailleurs, la convention consistant à prendre comme présent le cône passé pose un problème difficile, qui est que l'hypersurface de simultanéité n'est alors pas «spatiale».

[mach3]

Par ailleurs, la convention consistant à prendre comme présent le cône passé pose un problème difficile, qui est que l'hypersurface de simultanéité n'est alors pas «spatiale».

A quel genre de difficulté fais-tu exactement référence? En tout cas l'intervalle entre deux évènements appartenant au cône passé est de genre espace, sauf dans le cas spécial où ils sont sur la même "ligne de visée", où l'intervalle sera de genre nul (il n'est jamais de genre temps).

Peut-être mieux vaut-il continuer cela dans un autre fil...

m@ch3

[Amanuensis]

En tout cas l'intervalle entre deux évènements appartenant au cône passé est de genre espace, sauf dans le cas spécial où ils sont sur la même "ligne de visée", où l'intervalle sera de genre nul

Pour qu'une hypersurface soit un «espace», faut que la métrique induite soit de signature +++ partout. Or, du seul fait qu'il existe au moins un 4-vecteur de genre nul tangent à l'hypersurface, la métrique ne peut pas avoir cette signature. (Pire, comme c'est pour toute événement, la signature est nulle part +++.) C'est une «hypersurface de genre nul» (comme l'horizon d'un TN...). (Il y a eu une discussion sur les genre de coordonnées, c'est similaire.)

[mach3]

j'ai créé une nouvelle discussion, pour éviter de trop dériver dans ce fil : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5985694

m@ch3

[mach3]

On ne peut pas avoir, pour des accélérés, à la fois l'immobilité (par rapport à des coordonnées) et la concordance des temps propres avec le temps coordonnée, il y a forcément l'un des deux qui "merde".

Non, c'est moi qui merde là, les accélérés qui sont immobiles selon Rindler (et seulement eux) ont un temps propre qui coïncide avec le temps coordonnée de Rindler (les coordonnées de Rindler sont construites pour ça). J'ai fait une confusion.

m@ch3

[Amanuensis]

Plus généralement, pour tout référentiel il existe une datation qui respecte le temps propre des immobiles...

[mach3]

Non, c'est moi qui merde là, les accélérés qui sont immobiles selon Rindler (et seulement eux) ont un temps propre qui coïncide avec le temps coordonnée de Rindler (les coordonnées de Rindler sont construites pour ça). J'ai fait une confusion.

No! Wait!

ça : et

ce ne sont pas les coordonnées de Rindler. Appelons les "coordonnées de mach3" pour l'instant (jusqu'à ce que je trouve leur vrai nom, il doit exister, il y a forcément quelqu'un qui a publié dessus parce qu'elles sont loin d'être inintéressante).

Les coordonnées de Rindler c'est : et , avec g une constante. Dans ce cas, le temps coordonnée coincide avec le temps propre des observateurs tels que x^2-t^2=1/g^2, et seulement ceux-là.

Le fait est que j'ai mal interprété l'article de wiki, et inventé un autre système de coordonnée, dans lequel tous les accélérés tels que x^2-t^2 = constante (de n'importe quel valeur le long de leur ligne d'univers, pas seulement 1/g^2) ont leur temps propre qui coïncide avec le temps coordonnée. Cet avantage est contrebalancé par un inconvénient : les lignes d'univers peuvent aller à "rebrousse-temps" dans certaines conditions, c'est à dire avoir des portions où le temps coordonnée n'est pas une fonction monotone du paramètre de la ligne d'univers, e.g. le temps propre si genre temps (cela ne veut pas dire qu'elles remontent le temps, juste que la coordonnée T est mal foutue). Cela semble avoir notamment comme conséquence, que la vitesse coordonnée de la lumière varie avec la coordonnée temporelle à coordonnée spatiale constante. Cela n'arrive pas dans les coordonnées de Rindler où la vitesse coordonnée de la lumière est constante à coordonnée spatiale constante.

j'essaierais de poster des schémas, quand j'aurais le temps.

mais donc voilà, il y a bien toujours un truc qui merde, on peut pas avoir à la fois des accélérés immobiles l'un par rapport à l'autre, un temps coordonnée fidèle au temps propre des accélérés en question et une vitesse coordonnée de la lumière qui se comporte bien... il faut sacrifier au moins l'un des 3.

m@ch3

[Amanuensis]

on peut pas avoir à la fois des accélérés immobiles l'un par rapport à l'autre, un temps coordonnée fidèle au temps propre des accélérés en question

Ça oui (et j'ai enlevé la troisième condition). Du moins en considérant que «immobiles les uns par rapport aux autres» signifie «distances propres invariantes entre événements de lieux différents et de même date» (rigidité).

Mais je ne pense pas que le référentiel de Rindler (ensemble d'immobiles tous d'accélérations constantes et égales) puisse être muni d'une datation «rigidifiante». Alors la première condition est celle qui saute!

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Je pense que le choix de la coordonnée temporelle des coordonnées de Rindler est lié à une autre demande (peut-être équivalente à la troisième condition?), qui est que la forme métrique soit diagonale. (Les termes non diagonaux sont toujours source de difficultés de calcul et interprétatives!)

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Et si la troisième condition est bien la diagonalité, il me semble qu'en règle générale on ne peut pas avoir deux des trois conditions. Et si le temps propre est toujours possible, je ne suis pas sûr pour la diagonalisation ; et pour la rigidification je pense qu'elle est exceptionnelle.

[Amanuensis]

À bien regarder, les coordonnées de Rindler sont rigidifiantes puisque la métrique induite pour t constant est dx²+dy²+dz², indépendante du temps.

[mach3]

effectivement, il semblerait bien, après un petit calcul brouillon, que la métrique comporte des termes rectangles (non-diagonaux) en "coordonnées de mach3". Bien vu.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

No! Wait!

ça : et

ce ne sont pas les coordonnées de Rindler. Appelons les "coordonnées de mach3" pour l'instant (jusqu'à ce que je trouve leur vrai nom, il doit exister, il y a forcément quelqu'un qui a publié dessus parce qu'elles sont loin d'être inintéressante).

Les coordonnées de Rindler c'est : et , avec g une constante. Dans ce cas, le temps coordonnée coincide avec le temps propre des observateurs tels que x^2-t^2=1/g^2, et seulement ceux-là.

Le fait est que j'ai mal interprété l'article de wiki, et inventé un autre système de coordonnée, dans lequel tous les accélérés tels que x^2-t^2 = constante (de n'importe quel valeur le long de leur ligne d'univers, pas seulement 1/g^2) ont leur temps propre qui coïncide avec le temps coordonnée. Cet avantage est contrebalancé par un inconvénient : les lignes d'univers peuvent aller à "rebrousse-temps" dans certaines conditions, c'est à dire avoir des portions où le temps coordonnée n'est pas une fonction monotone du paramètre de la ligne d'univers, e.g. le temps propre si genre temps (cela ne veut pas dire qu'elles remontent le temps, juste que la coordonnée T est mal foutue). Cela semble avoir notamment comme conséquence, que la vitesse coordonnée de la lumière varie avec la coordonnée temporelle à coordonnée spatiale constante. Cela n'arrive pas dans les coordonnées de Rindler où la vitesse coordonnée de la lumière est constante à coordonnée spatiale constante.

j'essaierais de poster des schémas, quand j'aurais le temps.

mais donc voilà, il y a bien toujours un truc qui merde, on peut pas avoir à la fois des accélérés immobiles l'un par rapport à l'autre, un temps coordonnée fidèle au temps propre des accélérés en question et une vitesse coordonnée de la lumière qui se comporte bien... il faut sacrifier au moins l'un des 3.

m@ch3

Bonjour, un schéma qui devrait fortement t'intéresser avec l'explication qui va avec :
Soit Vert situé à Ro=30 Ms.l de la station*; g°=10m/s². Soit Rouge situé à Rq = 20 Ms.l de la station*; q°=15m/s². Soit Bleu situé à Rp=40 Ms.l de la station p°=7,5m/s².

A T=0s, Rouge Vert et Bleu accélère avec leur accélération de pesanteur respective q°,g° et p°. Plaçons-nous dans la capsule de Vert.
Au bout d’une durée Tv = Ro*Sh(v°), Vert sera à la distance Xv= Ro*Ch(v°) de la station.
A Tv=0s, Vert voit Rouge et Bleu âgé de Tb’=Tr’=-10 Ms. Vert les verra donc amarrés à leur bouée jusqu’à ce qu’il les voit âgés de Tb’=Tr’=0s.
Voyons qu’elle sera la situation de Vert quand il verra Rouge et Bleu à Tb’=Tr’=0s
Vert verra Bleu âgé de Tb’=0s=Tb, lorsqu’il aura atteint la vitesse Vb, c’est-à-dire à Tv=Ro*Sh(v°) et il sera alors à une distance coordonnée de Bleu de Xp = Rp – Xv.
Nous savons que lorsque Bleu se trouve en Xb à l’instant Tb, Vert le verra en Xv à l’instant Tv; nous avons la relation Xv = Xb – T avec T = Tv – Tb → Xv + Tv = Xb + Tb.
Avec Xb = Rp et Tb=0s, nous avons: Xv + Tv = Rp
Cette relation qui nous intéresse parce que Xv + Tv = Rp → Ro*[Ch(v°) + Sh(v°)]= Rp, ce qui donne [Ch(v°) + Sh(v°)]=Exp(v°) → v° = Ln(Rp/Ro) où Ln est la fonction logarithme népérien, soit la fonction inverse de l’exponentielle. Nous obtenons la rapidité v°, d’où une vitesse V=Th(v°)*; ce qui donne dans l’exemple Vb=0,28c. Xv = Ro*Ch(v°)= 31 250 000s.l et Tv = 8 750 000s.l.
Compte-tenu du changement de perspective du à la vitesse relative, Vert verra Bleu à une distance Xp’ = Tv*[Ch(v°) + Sh(v°)] = 11 666 666,67s.l.



On applique le même raisonnement à Rouge*:
Vert verra Rouge de Tr’=0s=Tr, lorsqu’il aura atteint la vitesse Vr, c’est-à-dire à Tv=Ro*Sh(v°) et il sera alors à une distance coordonnée de Rouge de Xq = Xv – Rq.
Nous savons que lorsque Rouge se trouve en Xr à l’instant Tr, Vert le verra en Xv à l’instant Tv; nous avons la relation Xv = Rq + T avec T = Tv – Tr → Xv - Tv = Xr - Tr.
Avec Xr = Rq et Tr=0s, nous avons*: Xv - Tv = Rq.
D’après Xv - Tv = Rq → Ro*[Ch(v°) - Sh(v°)]= Rq, parce que [Ch(v°) - Sh(v°)]=1/Exp(v°) → v° = Ln(Ro/Rq); nous avons donc la rapidité v°, soit une vitesse Vr=Th(v°) ce qui donne dans l’exemple V=0,385c. Xw = Ro*Ch(v°)= 32,5 Ms.l et Tv = 12,5 Ms.l.
Compte-tenu du changement de perspective du à la vitesse relative, Vert verra Rouge à une distance Xq’ = Tv*[Ch(v°) - Sh(v°)] = 8 333 333,33s.l.

La question qui vient est à quelle distance Vert verra t’il Bleu lorsqu’il aura atteint la vitesse relative W=0,6c?
Je peux écrire que
Xw + Tw = Ro*[Ch(w°) + Sh(w°)] = Ro*[Ch(v° + u°) + Sh(v° + u°)]
Or d’après les règles de calculs hyperboliques*:
Ch(v° + u°) = Ch(v°)*Ch(u°) + Sh(v°)*Sh(u°)
Sh(v° + u°) = Sh(v°)*Ch(u°) + Ch(v°)*Sh(u°)
→ Ro*[Ch(w°) + Sh(w°)] = Ro*[Ch(v°) + Sh(v°)]*[Ch(u°) + Sh(u°)]
→ Ro*[Ch(w°) + Sh(w°)] = Rp * [Ch(u°) + Sh(u°)]
Cela veut dire que lorsque Vert verra Bleu à Tb=0s=Tb’ , alors il verra la rapidité de Bleu augmenter conjointement avec la sienne. D’après la loi de composition des vitesses relativistes nous avons la relation*: Vb = ( W- Ub)/(1- W*Ub). Cela veut dire que Si Vert mesure sa vitesse coordonnée grâce à son horloge optique, et mesure celle de Bleu grâce à l’horloge optique de Bleu, il trouvera que la vitesse relative Vb entre lui et Bleu reste invariante après Tv = 8 750 000s. Vert voit donc Bleu à une distance apparente fixe dans son repère à Xb’ = 11 666 666,67s.l à partir de cette date (Tv).


Vert est représenté par des losanges

[mach3]

Le fait est que j'ai mal interprété l'article de wiki, et inventé un autre système de coordonnée, dans lequel tous les accélérés tels que x^2-t^2 = constante (de n'importe quel valeur le long de leur ligne d'univers, pas seulement 1/g^2) ont leur temps propre qui coïncide avec le temps coordonnée. Cet avantage est contrebalancé par un inconvénient : les lignes d'univers peuvent aller à "rebrousse-temps" dans certaines conditions, c'est à dire avoir des portions où le temps coordonnée n'est pas une fonction monotone du paramètre de la ligne d'univers, e.g. le temps propre si genre temps (cela ne veut pas dire qu'elles remontent le temps, juste que la coordonnée T est mal foutue).

après avoir tracé quelques iso-T, je confirme, cette coordonnée T(mach3) (qui n'est pas celle de Rindler) est mal foutue. Ces iso-T ont pour asymptote l'horizon de Rindler, ce qui implique que le gradient de T passe de genre temps à genre espace quand on approche l'horizon de Rindler. L'évènement où l'iso-T change de genre (en passant par le genre nul) a quelque chose de remarquable. Si on synchronise des horloge immobiles selon Rindler quand elles passent en t(Lorentz)=0, alors à un T(mach3) donné, les horloges aux X(mach3) plus elevés que Xlim voient (au sens de réception de signaux de genre nuls) leurs voisines retarder tandis que les horloges de X(mach3) plus faibles que Xlim voient leurs voisines de X(mach3) plus élevé qu'elles avancer. L'évènement en Xlim et pour ce T donné est l'évènement où l'iso-T change de genre.

bon, on risque encore de partir dans le hors-sujet avec ça...

m@ch3

[Amanuensis]

Quelle est la formule de la métrique?

(Et attention pour la détermination du genre: ce n'est pas trivial quand la forme métrique n'est pas diagonale (faut prendre la co-métrique...))

[invite5febd2de]

Salut et merci,

Cette image peut marcher, à certaines conditions. Si on reste en 2D et qu'on considère une surface courbe, alors par un point passent une infinité de géodésiques, toutes avec un angle différent par rapport à un repère local. En arrivant dans la même "cuvette", deux géodésiques formant un angle vont l'attaquer différemment, donnant un "trajet" différent. En 3D, ce n'est plus un angle unique, mais un couple d'angles. En 4D, ce sera un triplet d'angles. Si on reste localement euclidien, il s'agira de 3 angles "habituels". Par contre si on passe en Minkowskien, pour que notre variété 4D soit un espace-temps, alors l'un des 3 angles est un angle hyperbolique. Les deux angles "habituels" spécifient la direction de la trajectoire correspondante et l'angle hyperbolique spécifie la vitesse.
Deux objets ayant des vitesses différentes (dans un repère donné) et partant en même temps du même point et dans la même direction vont attaquer la même "cuvette", mais sous un angle (hyperbolique) différent. Il n'y a pas une infinité de "cuvettes", une par vitesse de chute, mais il y a une infinité d'angles par lesquels attaquer une unique cuvette.

Ca c'est ce qui m'intéresse particulièrement, comment faire le lien entre géodésiques d'espace temps et cuvette unique, si il existe ?

---

Concernant Rindler je vois que pas mal d'encre a coulé et que vous voyez maintenant le problème que je soulevais, l'axe X n'est pas de l'espace et l'axe T n'est pas le temps (propre). Si j'en crois l'explication de ta première formule, où certaines trajectoires vont a "rebrousse temps", c'est sans doute la bonne version pour que l'axe vertical soit le temps propre, que je decrivais avec des trajectoires finissant toutes au 0,0 origine du repere, car toute trajectoire qui n'est pas lumiere sera rattrapée tot ou tard par l'acceleré, autrement dit tout MRU de Minkovski chute en Rindler "redressé". Celui qui subit une acceleration quasi infinie (quasi colineaire a l'horizon de Rindler) va donc croiser tous ces MRU "en chute". Comme chez Minkovski on sait que pour lui le temps ne s'ecoulera quasiment pas alors dans un repere specifique où on represente tous les accélérés au meme temps propre les MRU croiseront l'horizon (devenu vertical) à une coordonnée de temps quasi nulle. Tout ceci parrait tout a fait normal a priori, pour moi les "coordonnées de Rindler" definissent une trajectoire hyperbolique graduées d'un temps propre dans un repere de Minkovki (espace plat), tout changement de coordonnée n'a pas de sens plus precis si ce n'est "singer" un espace temps courbe (mais ca marche bien ). La deuxieme formule que tu donnes me parrait suspecte a cause de la présence de "g", ce repere serait il particulier à une acceleration donnée ? Il doit y a voir un paquet de changement de coordonnées possibles, celui là en fait partie.

Pour ne pas etre largué : Qu'est ce que la "rigidité" d'un repere ? Et que sont des "termes diagonaux" ? (pas sur de pouvoir comprendre les reponses...)

Merci

[mach3]

Ca c'est ce qui m'intéresse particulièrement, comment faire le lien entre géodésiques d'espace temps et cuvette unique, si il existe ?

je pense que c'est le concept de "déviation géodésique" qui répond à cela (si je comprends "cuvette" dans le sens qu'il faut). La déviation géodésique décrit comment deux géodésiques d'une même "famille" (ce sera à préciser dans un futur post) s'écartent ou s'approchent l'une de l'autre. La déviation géodésique fait intervenir le tenseur de Riemann (le fameux), et c'est peut être une des façons de le définir (à vérifier). Formellement, cela s'écrit
, avec u, le vecteur tangent à l'une des deux géodésique, n, le vecteur "séparant" les deux géodésiques, le nabla symbolise la dérivée covariante. R(...,u,n,u) est le tenseur de Riemann, utilisé comme application linéaire transformant un triplet de vecteur en un unique vecteur (les pointillés, c'est parce qu'il y un "slot" inutilisé ici, dans lequel on peut insérer une forme linéaire).
En gros on regarde comment le changement de n suivant u change suivant u...
Si c'est plat (tenseur de Riemann nul), alors le changement de n suivant u ne doit pas changer quand on se déplace suivant u. Si en parcourant une géodésique, la distance avec sa voisine augmente de façon "constante" (et en particulier nulle si elles sont parallèles), alors le changement de n suivant v ne change pas.

En chaque point de la variété, le tenseur de Riemann prend une certaine valeur, qui dicte alors la déviation géodésique en ce point. Et ce "champ" de tenseur de Riemann va caractériser une "cuvette" donnée. En un même point, de la même cuvette, la déviation géodésique dépend des directions qu'on considère (choix de u et de n).

Pardon si c'est pas clair, mais c'est des notions qui je ne maitrise pas encore suffisamment.

m@ch3

[Amanuensis]

J'ai de grosses difficultés à utiliser l'image de la cuvette.

En effet c'est une image pour une courbure positive d'un espace euclidien. La déviation géodésique est isotrope en u, et est un rapprochement. (Ce qu'on visualise bien avec des grands cercles sur une sphère, en les prenant très proches et localement parallèles.)

Or l'application la plus «visible» de la déviation géodésique en RG est celle des chutes libres autour de la Terre, qu'on visualise bien avec la déviation des mouvements d'une boule de poussière en chute libre radiale, en orbite circulaire, ou tout autre mouvement de chute libre.

Si on prend la chute libre radiale, il y a déviation par éloignement dans la direction verticale (un signe + dans la déviation géodésique) et rapprochement dans les directions horizontales (signe -) [1]: pas vraiment conforme à l'image de la cuvette, une meilleure image serait un point selle!

Du point de vue mathématique, l'approximation de la métrique est en f²(r)dt² - dx²-dy²-dz², ce qui donne un espace 3D plat, euclidien. Et ce qui amène la déviation géodésique des mouvements de chute libre est le terme temporel (la platitude correspond à f constant). Je ne vois pas trop comment la déviation géodésique dans une cuvette spatiale ou même autour d'un point selle va pouvoir se transposer correctement à un effet de courbure spatio-temporel dominée par un terme temporel...

Bref, l'idée de cuvette est peut-être utile pour comprendre et se faire la main sur la notion de déviation géodésique au sens général (mathématique), et maîtriser un peu la géométrie courbe spatiale, mais pas comme image directe de l'effet d'une courbure spatio-temporelle.

[1] Dans la formule donnée par mach2, le choix vertical ou horizontal est ce qu'on entre dans les ... ; le u est la direction générale de chute, par exemple verticale dans le cas de la chute radiale.

[Amanuensis]

Caveat:

J'ai rajouté cela vite fait, mais j'ai des doutes (en plus de l'erreur du 2 à la place du 3...). À vérifier et vraisemblablement corriger, mais pas le temps...

[1] Dans la formule donnée par mach2, le choix vertical ou horizontal est ce qu'on entre dans les ... ; le u est la direction générale de chute, par exemple verticale dans le cas de la chute radiale.

[mach3]

Bref, l'idée de cuvette est peut-être utile pour comprendre et se faire la main sur la notion de déviation géodésique au sens général (mathématique), et maîtriser un peu la géométrie courbe spatiale, mais pas comme image directe de l'effet d'une courbure spatio-temporelle.

Pour moi l'idée n'est pas que la "cuvette" serait une courbure seulement spatiale, mais qu'elle prendrait en compte la courbure spatiotemporelle. C'est ce que j'ai essayé d'expliquer au message 37, 2e paragraphe : une seule cuvette, mais en partant du même point, la déviation subie dépend de 3 angles (2 pour la direction et 1, hyperbolique, pour la vitesse).
Bien-sûr, si l'idée est que la cuvette est la déformation spatiale uniquement, on perd effectivement l'image directe...

Si on prend la chute libre radiale, il y a déviation par éloignement dans la direction verticale (un signe + dans la déviation géodésique) et rapprochement dans les directions horizontales (signe -) [1]: pas vraiment conforme à l'image de la cuvette, une meilleure image serait un point selle!

Deux choses ici (pas très intéressantes, mais ça me passe par la tête) :
-je n'ai pas pris "cuvette" au pied de la lettre et ai considéré toute région non plate (ce qui n'est peut-être pas le cas de Disciplus, donc il est de bon ton de faire ces précisions)
-si on a une surface plate et qu'on lui soude une calotte sphérique de façon "smooth", on a une courbure négative à la jonction.

Concernant Rindler je vois que pas mal d'encre a coulé et que vous voyez maintenant le problème que je soulevais, l'axe X n'est pas de l'espace et l'axe T n'est pas le temps (propre). Si j'en crois l'explication de ta première formule, où certaines trajectoires vont a "rebrousse temps", c'est sans doute la bonne version pour que l'axe vertical soit le temps propre, que je decrivais avec des trajectoires finissant toutes au 0,0 origine du repere, car toute trajectoire qui n'est pas lumiere sera rattrapée tot ou tard par l'acceleré, autrement dit tout MRU de Minkovski chute en Rindler "redressé".

il y a effectivement eu un qui-proquo qui se dissipe. Un peu ma faute, je n'ai jamais été assez en profondeur dans l'étude des coordonnées de Rindler...

Attention avec des expressions du genre l'axe X n'est pas l'espace et l'axe T n'est pas le temps. En fait ni l'un ni l'autre n'a vocation à l'être. Et c'est le cas de n'importe quel système de coordonnée. Il se trouve que certains systèmes de coordonnées ont un lien plus direct (au sens simplicité mathématique) avec les mesures (concrètes) de distance et de durée faites par certains observateurs, ce qui amène une certaine confusion (surtout quand on ne travaille que sur ce type de systèmes), mais ce n'est pas la généralité. Par facilité, on va en tout cas avoir tendance à choisir (ou même construire) un système de coordonnées qui soit en lien plus direct avec les mesures d'un(e classe d')observateur en particulier.
Le système de Rindler est de ceux-là. La coordonnée T est faite pour coïncider avec le temps propre d'un unique observateur uniformément accéléré (si on ne considère que le plan tx, sinon, il y a une infinité, pour toutes les valeurs de y et z constants) et la X pour coïncider avec des mesures de distances que fait cet observateur (point que je dois éclaircir dans ma tête avant d'aller plus loin). Il semble qu'il existe plusieurs choix pour obtenir cela, il y a donc d'autres impératifs que Rindler a du se fixer pour construire son système. On peut noter que les lignes de T constant sont toujours orthogonales (au sens de Minkowski) aux lignes de X constant. Ce qui est une manière de garantir qu'en tout point de la ligne d'univers de l'observateur uniformément accéléré considéré, il y a une coïncidence entre le Rindler et un Lorentz local où l'observateur est (momentanément) immobile. Sur cette ligne, l'expression de la métrique sera la même en coordonnée de Rindler et dans les coordonnées de Lorentz locale où l'observateur est immobile.

Pour ne pas être largué : Qu'est ce que la "rigidité" d'un repère ? Et que sont des "termes diagonaux" ? (pas sur de pouvoir comprendre les reponses...)

Pour la rigidité, je préfère laisser Amanuensis expliquer si il le souhaite, il maitrise beaucoup mieux ce concept que moi.

Concernant les termes diagonaux ou non, cela refère à l'écriture de la métrique dans un système de coordonnée. La métrique est une "forme bilinéaire symétrique", c'est à dire une machine qui transforme un couple de vecteurs en un nombre (le produit scalaire est un exemple de ce genre de machine, c'est la métrique euclidienne de l'espace plat).
On aura pour l'application d'une métrique g sur deux vecteurs u et v :



On peut écrire cela en l'exprimant dans un système de coordonnée :

(les symboles de sommation sont souvent omis, c'est la convention d'Einstein : sommation implicites sur indices bas répétés en indices haut)

u mu et v nu sont les coordonnées des vecteurs u et v dans le système de coordonnées choisi, les g mu nu sont les coordonnées de la métrique dans ce système de coordonnées.

On peut aussi écrire la métrique elle-même dans un système de coordonnées :

,

avec les (souvent noté abusivement ) des formes bilinéaires de base (au même sens que pour vecteur de base), telles que (appliquée à deux vecteurs elles sortent le produit de la mu-ième coordonnée du premier avec la nu-ième coordonnée du second). Note : est le symbole du produit tensoriel, mais je ne juge pas utile d'en parler pour l'instant.

Elle peut aussi se représenter sous forme d'une matrice carré symétrique (avec mu le numéro de colonne et nu le numéro de ligne, ou l'inverse). Les termes qui sont sur la diagonale de la matrice sont les termes diagonaux, les autres sont dits non diagonaux, ou encore "rectangle".
Dans certains systèmes de coordonnées (comme Lorentz ou Rindler, mais aussi Schwarzschild en RG par exemple), les termes rectangles sont tous nuls. Il n'y a que des termes en dans l'expression de la métrique.

m@ch3

[Amanuensis]

La rigidité c'est quand le référentiel est «solide», quand la distance entre deux points immobiles reste constante. C'est le cas des référentiels usuels en mécanique classique (cadre dans lequel on parle rarement d'autres types de référentiel). C'est aussi le cas des systèmes de coordonnées de Minkowski, ou ceux de Schwarzschild région I. À côté on la les référentiels «fluides» comme le référentiel comobile d'un espace-temps en expansion (la distance entre deux immobiles varie comme a(t)).

[invite5febd2de]

Salut et merci (beaucoup),

je pense que c'est le concept de "déviation géodésique" qui répond à cela (si je comprends "cuvette" dans le sens qu'il faut). La déviation géodésique décrit comment deux géodésiques d'une même "famille" (ce sera à préciser dans un futur post) s'écartent ou s'approchent l'une de l'autre. La déviation géodésique fait intervenir le tenseur de Riemann (le fameux), et c'est peut être une des façons de le définir (à vérifier). Formellement, cela s'écrit
, avec u, le vecteur tangent à l'une des deux géodésique, n, le vecteur "séparant" les deux géodésiques, le nabla symbolise la dérivée covariante. R(...,u,n,u) est le tenseur de Riemann, utilisé comme application linéaire transformant un triplet de vecteur en un unique vecteur (les pointillés, c'est parce qu'il y un "slot" inutilisé ici, dans lequel on peut insérer une forme linéaire).
En gros on regarde comment le changement de n suivant u change suivant u...
Si c'est plat (tenseur de Riemann nul), alors le changement de n suivant u ne doit pas changer quand on se déplace suivant u. Si en parcourant une géodésique, la distance avec sa voisine augmente de façon "constante" (et en particulier nulle si elles sont parallèles), alors le changement de n suivant v ne change pas.

En chaque point de la variété, le tenseur de Riemann prend une certaine valeur, qui dicte alors la déviation géodésique en ce point. Et ce "champ" de tenseur de Riemann va caractériser une "cuvette" donnée. En un même point, de la même cuvette, la déviation géodésique dépend des directions qu'on considère (choix de u et de n).

Pardon si c'est pas clair, mais c'est des notions qui je ne maitrise pas encore suffisamment.

Si si assez clair, selon ce que je peux en retenir, des vecteurs tangents de type N auront entre eux un vecteur de type espace U qui peut :
- rester constant si les deux vecteurs / trajectoires sont parallèles
- varier "de manière constante" si les trajectoires sont des MRU en espace plat
- varier "de manière variable" pour des chutes libres en espace courbe... (gradient d'accélération en classique)

il y a effectivement eu un qui-proquo qui se dissipe. Un peu ma faute, je n'ai jamais été assez en profondeur dans l'étude des coordonnées de Rindler...

On peut noter que les lignes de T constant sont toujours orthogonales (au sens de Minkowski) aux lignes de X constant. Ce qui est une manière de garantir qu'en tout point de la ligne d'univers de l'observateur uniformément accéléré considéré, il y a une coïncidence entre le Rindler et un Lorentz local où l'observateur est (momentanément) immobile. Sur cette ligne, l'expression de la métrique sera la même en coordonnée de Rindler et dans les coordonnées de Lorentz locale où l'observateur est immobile.

Je ne suis pas trop d'accord sur ce point, d'abord parce qu'on pourrait très bien construire un système où le temps T resterait rayonnant avec des trajectoires accélérées toujours verticales, ensuite parce que cette orthogonalité entre X et T n'est pas l'orthogonalité de Minkowski qu'on pourrait retrouver en considérant le vecteur instantané colinéaire à la trajectoire (vitesse) et en le changeant de repère (comme tu m'expliquais pour la 4-vitesse) il retrouvera ses valeurs 1(temporelle) et 0(déplacement). A cet instant précis, qu'il soit accéléré ou en MRU ça ne change rien à ce qu'il verrait, je crois...

Concernant les termes diagonaux ou non, cela réfère à l'écriture de la métrique dans un système de coordonnée. La métrique est une "forme bilinéaire symétrique", c'est à dire une machine qui transforme un couple de vecteurs en un nombre (le produit scalaire est un exemple de ce genre de machine, c'est la métrique euclidienne de l'espace plat).
On aura pour l'application d'une métrique g sur deux vecteurs u et v :



On peut écrire cela en l'exprimant dans un système de coordonnée :

(les symboles de sommation sont souvent omis, c'est la convention d'Einstein : sommation implicites sur indices bas répétés en indices haut)

u mu et v nu sont les coordonnées des vecteurs u et v dans le système de coordonnées choisi, les g mu nu sont les coordonnées de la métrique dans ce système de coordonnées.

On peut aussi écrire la métrique elle-même dans un système de coordonnées :

,

avec les (souvent noté abusivement ) des formes bilinéaires de base (au même sens que pour vecteur de base), telles que (appliquée à deux vecteurs elles sortent le produit de la mu-ième coordonnée du premier avec la nu-ième coordonnée du second). Note : est le symbole du produit tensoriel, mais je ne juge pas utile d'en parler pour l'instant.

Elle peut aussi se représenter sous forme d'une matrice carré symétrique (avec mu le numéro de colonne et nu le numéro de ligne, ou l'inverse). Les termes qui sont sur la diagonale de la matrice sont les termes diagonaux, les autres sont dits non diagonaux, ou encore "rectangle".
Dans certains systèmes de coordonnées (comme Lorentz ou Rindler, mais aussi Schwarzschild en RG par exemple), les termes rectangles sont tous nuls. Il n'y a que des termes en dans l'expression de la métrique.

Euh... merci mais je n'ai pas le niveau, je vais faire l'impasse

---

Si on prend la chute libre radiale, il y a déviation par éloignement dans la direction verticale (un signe + dans la déviation géodésique) et rapprochement dans les directions horizontales (signe -) [1]: pas vraiment conforme à l'image de la cuvette, une meilleure image serait un point selle!

Quand on parle de la "cuvette", celle ci a une limite qui coïncide avec la surface de la planète concernée. A l'intérieur la courbure est positive et à l'extérieur (tout ce qui se passe entre la surface et l'infini) elle est négative (et quand on parle de chute libre on considère souvent qu'on est à l'extérieur, le coté pragmatique de la physique ) Donc si tes calculs définissent un "point de selle" pour l'allongement radial et la contraction transversale (effet de marée) c'est sans doute normal.

Bref, l'idée de cuvette est peut-être utile pour comprendre et se faire la main sur la notion de déviation géodésique au sens général (mathématique), et maîtriser un peu la géométrie courbe spatiale, mais pas comme image directe de l'effet d'une courbure spatio-temporelle.

D'une certaine façon c'est bien une courbure spatio-temporelle, enfin celle dont je parle, qui représente la variation d'écoulement du temps en fonction de la masse d'un objet, qui vaut 0 en Rs pour un trou noir, et de ce fait forme un trou. L'image qu'on voit un peu partout avec la cuvette qui se creuse quand la masse augmente, pour former un "trou" quand elle devient critique. Celle qui dévie les photons, même si je sais aujourd'hui que ce n'est pas vraiment ça. Je suis tout de même de l'avis de Mach4, enfin j'espère qu'il a raison sur le fait qu'il existe plusieurs façons d'emprunter une même cuvette, encore faut il se mettre d'accord sur la "cuvette" elle même.

La rigidité c'est quand le référentiel est «solide», quand la distance entre deux points immobiles reste constante. C'est le cas des référentiels usuels en mécanique classique (cadre dans lequel on parle rarement d'autres types de référentiel). C'est aussi le cas des systèmes de coordonnées de Minkowski, ou ceux de Schwarzschild région I. À côté on la les référentiels «fluides» comme le référentiel comobile d'un espace-temps en expansion (la distance entre deux immobiles varie comme a(t)).

Ok,"rigide" c'est quand les verticales sont des valeurs de r (espace) constante, et tous les autres sont "fluides", c'est ça ?

Merci

[mach3]

Merci, Amanuensis. Et plus formellement, comment cela se reconnait? Quelles conditions sur la métrique?

m@ch3

[invite6c093f92]

Les coefficients de la métrique ne dépendent pas du temps, c'est ce qui caractérise (àmha) un réf "rigide".

[Amanuensis]

Rigide : un système de coordonnées 1+3 tel que la métrique aient les coefficients des termes des coordonnées spatiales indépendants de la coordonnée temporelle.

(Si tous les coefficients sont indépendant de la coordonnée temporelle, c'est un espace-temps stationnaire (et statique si métrique diagonale en plus ou peut-être sans termes «rectangle» temps-espace).)