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Géodésiques lumière et autres trajectoires

  1. DisciplusSimplex

    Date d'inscription
    août 2017
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    82

    Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Bonsoir,

    J'ouvre ce sujet car une des grandes notions de la RG n'est pas très claire dans mon esprit (s'il n'y avait que celle là...) : la géodésique.

    Si on prend un espace courbe, a partir d'un point quelconque et pour une direction quelconque, on va pouvoir tracer une "droite" de cet espace courbe, a savoir une géodesique. D'après ce que j'ai compris cette "droite" est en RG le chemin de la lumière, la geodesique nulle/lumière.

    Cette trajectoire est donc celle du photon parti depuis un point dans une direction pour une vitesse donnée : c. Si on se place maintenant au même point de départ et en visant dans la meme direction initiale mais qu'on envoie un objet massique a une vitesse v inferieure c il ne va pas emprunter la meme trajectoire (ex: si on tire un rayon lumineux depuis la Terre tangentiellement a son orbite il ira quasi tout droit alors que la Terre tournera en quasi rond, ceci n'etant lié qu'à sa vitesse).

    La question est : Si pour un point et une direction donnés il ne passe qu'une "droite" nommée géodesique alors comment appeler une trajectoire qui sera differente ? J'ai l'impression qu'on parle toujours de trajectoires "geodesiques", lumière ou pas, mais que la definition geometrique ne peut en retenir qu'une, la "droite", lumière.

    Par extension, un objet immobile suit-il lui aussi une geodesique de l'espace (temps) ? Si oui serait il possible d'avoir la bonne definition du terme qui permettrait d'englober tous les cas de figure decrits ici ?

    Merci

    -----

     


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  2. phys4

    Date d'inscription
    mars 2009
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    Ile de France
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Citation Envoyé par DisciplusSimplex Voir le message
    La question est : Si pour un point et une direction donnés il ne passe qu'une "droite" nommée géodesique alors comment appeler une trajectoire qui sera differente ? J'ai l'impression qu'on parle toujours de trajectoires "geodesiques", lumière ou pas, mais que la définition géométrique ne peut en retenir qu'une, la "droite", lumière.
    Bonsoir,
    Une erreur assez répandu consiste à croire que les géodésiques en RG ne concerne que la lumière.
    Ceci est complétement faux, les géodésiques sont les trajectoires de tout corps sans accélération propre et de la lumière en plus.
    En 4 dimensions, la direction est différente entre deux objets qui suivent une même direction avec des vitesses différentes, et donc les géodésiques ne sont pas confondues.
    Ainsi un faisceau de lumière, ou une pierre que l'on lance dans la même direction suivent tous deux des géodésiques de l'espace-temps.

    Citation Envoyé par DisciplusSimplex Voir le message
    Par extension, un objet immobile suit-il lui aussi une géodésique de l'espace (temps) ? Si oui serait il possible d'avoir la bonne définition du terme qui permettrait d'englober tous les cas de figure decrits ici?
    Ceci est aussi applicable à un objet dit immobile en 3 dimensions, qui ne le sera en considérant les 4 composantes du vecteur vitesse. Sa trajectoire est donc une géodésique également.
    Comprendre c'est être capable de faire.
     

  3. DisciplusSimplex

    Date d'inscription
    août 2017
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    41
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    82

    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Bonsoir et merci,

    Gasp ! Tout à coup l'image tranquile du rayon lumineux courbé car evoluant dans un espace courbe s'evanouit...
    Comment interpreter le fait que depuis un point, des objets lancés à n'importe quelle vitesse dans n'importe quelle direction suivront tous des droites? Qu'en lancant une pierre qui retombe sur le sol elle suit une "droite" (pour elle et pas pour moi) ?

    Merci
     

  4. phys4

    Date d'inscription
    mars 2009
    Localisation
    Ile de France
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    7 509

    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    C'est parce que vous voyez la pierre dans un espace en 3 dimensions. Dans cet espace la pierre parcourt une jolie parabole.
    Placez vous maintenant dans un repère inertiel au moment où vous lancez la pierre : dans ce nouveau repère la pierre suit une droite ! D'accord !
    Cette droite est bien une géodésique particulière de l'espace-temps !

    Alors dans l'espace-temps vous pouvez trouver une infinité de géodésiques passant par un point et ayant une tangente commune pour 3 dimensions.
    Comprendre c'est être capable de faire.
     

  5. DisciplusSimplex

    Date d'inscription
    août 2017
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    41
    Messages
    82

    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Merci,

    Citation Envoyé par phys4 Voir le message
    C'est parce que vous voyez la pierre dans un espace en 3 dimensions. Dans cet espace la pierre parcourt une jolie parabole.
    Placez vous maintenant dans un repère inertiel au moment où vous lancez la pierre : dans ce nouveau repère la pierre suit une droite ! D'accord !
    Cette droite est bien une géodésique particulière de l'espace-temps !
    Quand je saute sur un trampoline, je suis la pierre, je suis dans mon propre repere, pourtant je n'ai pas l'impression de parcourir une droite. Si on devrait redresser cette trajectoire pour en faire une droite on peut se demander a quoi ressemblerait le repere ? et pourquoi pendant mon saut depuis le trampoline je me vois quand même suivre une courbe ?

    Alors dans l'espace-temps vous pouvez trouver une infinité de géodésiques passant par un point et ayant une tangente commune pour 3 dimensions.
    Ok la tangente c'est la direction et les géodésiques des vitesses, vitesse nulle comprise. Pas evident mais il faut que j'arrive a comprendre ça...

    Merci
    Dernière modification par DisciplusSimplex ; 26/08/2017 à 01h52.
     


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  6. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
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    21 619

    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    En espace-temps de Newton, les géodésiques non spatiales sont les MRU et l'immobilité. Et ce sont des droites en 4D.

    Faut ruminer cela. Certains points sont critiques:

    1) En 4D les lignes décrivent des mouvements (par exemple un MRU), pas des trajectoires;

    1b) L'immobilité est à classer avec les mouvements ;

    2) La notion de droite en 4D parle de mouvement, et contient ici à la fois une notion de rectitude de trajectoire (rectiligne) et une notion de constance de vitesse (uniforme). Qu'est-ce qu'un mouvement rectiligne non uniforme ? Pourquoi n'est-ce pas une droite en 4D?

    3) Quelles sont les MRU passant par un événement?

    4) Qu'est-ce qui détermine de manière unique un MRU passant par un événement donné?

    4) Quelle est l'équation 4D d'un MRU?

    Etc.

    Beaucoup à apprendre et comprendre en regardant les concepts communs entre les modèles «relativisite» et le modèle classique. Il y en a beaucoup de ces concepts, dommage qu'on ne les mettent pas en avant (en commençant par «espace-temps»). Et «géodésique» se trouve être parmi ceux-ci.
    Dernière modification par Amanuensis ; 26/08/2017 à 08h45.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
     

  7. mach3

    Date d'inscription
    mars 2004
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    normandie
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    9 375

    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Je m'essaie à une réponse un peu plus technique.

    Dans une variété, la notion de géodésique généralise celle de droite dans un espace affine.
    Dans l'espace Euclidien, par exemple, en tout point d'une courbe on peut définir un vecteur unitaire tangent, et on peut regarder la variation de ce vecteur tangent entre un point de la courbe et un autre point immédiatement consécutif (on paramètre la courbe et on prend la dérivée par rapport au paramètre du vecteur tangent), si cette variation est partout nulle, la courbe est une droite de l'espace Euclidien.
    Dans une variété courbe, on va développer des choses similaires, mais avec des adaptations. Dans une variété, il n'y a pas de vecteurs. On introduit alors la notion de tangent en un point à une variété. C'est un espace vectoriel qui contient tous les vecteurs tangents possibles à des courbes de la variété. Si on parcourt une courbe dans la variété, à chaque fois qu'on change de point, on change de tangent, on introduit donc une dérivée "spéciale" (en fait plus générale et puissante), la dérivée covariante, qui va en quelque sorte prendre cela en compte. Ainsi, on peut en tout point d'une courbe définir un vecteur tangent (qui sera dans le tangent, pas dans la variété) et regarder comment ce vecteur tangent varie quand on parcourt la courbe. On fera cette fois la dérivée covariante du vecteur tangent dans la direction du vecteur tangent. Si elle est nulle, la courbe est dite géodésique. Selon cette définition, une droite de l'espace euclidien est une géodésique, de même, un grand cercle est une géodésique de la sphère.
    Pour le cas particulier de la relativité générale, si on prend une courbe quelconque, le vecteur tangent à la ligne d'univers (et unitaire) est la 4-vitesse. Si on fait la dérivée covariante de la 4-vitesse dans la direction de la 4-vitesse, on doit trouver 0 si la ligne d'univers est une géodésique. La 4-vitesse en question peut-être de n'importe quel genre (on ne parlera pas des petites subtilités qui concernent la 4-vitesse de genre nul). Bien-sûr une telle courbe ne pourra correspondre à la trajectoire d'un objet massique (non massique) que si la 4-vitesse est en tout point de genre temps (nul).

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!
     

  8. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    J'ai hésité à mettre un second message après le #6, développant un peu la même chose que le #7 de Mach3, mais pas comme «plus technique», comme différemment technique.

    Je pense que les difficultés rencontrées amenant une demande comme le #1 sont de deux ordres, l'une (seconde réponse) porte sur la notion de géodésique en géométrie différentielle, indépendamment de la dimension et même d'une métrique (on peut constater que la métrique est peu évoquée dans le message #7, et aurait pu ne pas l'être du tout au prix d'un peu plus d'abstraction encore) ; l'autre porte sur la physique en 4D et métrique de signature de Minkowski (et les notions de durée, longueur, vitesse, etc., qui en découlent), par opposition à la physique 3D + temps classique, ce vers quoi mène les ébauches de débuts de piste proposées en #5.

    Une bonne approche pédagogique me semble de mener les deux fronts séparément, et ensuite seulement, après acquisition des concepts séparément, les combiner pour l'application à la RG. Plutôt que ce qu'on voit couramment, poser la RG d'emblée en espérant qu'à la fois la géo-diff et la physique sous-jacente seront «absorbées».
    Dernière modification par Amanuensis ; 26/08/2017 à 11h04.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
     

  9. choom

    Date d'inscription
    juin 2010
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Citation Envoyé par phys4 Voir le message
    C'est parce que vous voyez la pierre dans un espace en 3 dimensions. Dans cet espace la pierre parcourt une jolie parabole.
    Placez vous maintenant dans un repère inertiel au moment où vous lancez la pierre : dans ce nouveau repère la pierre suit une droite ! D'accord !
    Cette droite est bien une géodésique particulière de l'espace-temps !

    Alors dans l'espace-temps vous pouvez trouver une infinité de géodésiques passant par un point et ayant une tangente commune pour 3 dimensions.
    Bonjour.
    Mathématiquement vos explications offrent des réponses, mais au sens de l'intuition, j'ai le même blocage que DisciplusSimplex.
    Je n'arrive pas à transformer la vision de la physique classique qui explique la trajectoire de parabole par un objet parti avec une vitesse et une direction initiale et subissant une accélération due à la force de gravitation,
    en la vision d'un mouvement qui s'explique par la courbure de l'espace temps due à la masse...
    Certains le "voient-ils" ou faut-il se contenter de le comprendre mathématiquement ?
     

  10. phys4

    Date d'inscription
    mars 2009
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Citation Envoyé par choom Voir le message
    Je n'arrive pas à transformer la vision de la physique classique qui explique la trajectoire de parabole par un objet parti avec une vitesse et une direction initiale et subissant une accélération due à la force de gravitation,
    en la vision d'un mouvement qui s'explique par la courbure de l'espace temps due à la masse...
    L'introduction de la courbure d'espace-temps est légitime dans un certain référentiel, ici elle complique la vision.
    Imaginez vous plutôt dans un référentiel propre accéléré (ce qui est le cas sur Terre) Si de ce référentiel vous projetez un objet, il aura en ligne droite dans l'espace, mais pour vous dans votre repère accéléré, son parcours sera une parabole.
    Comprendre c'est être capable de faire.
     

  11. ansset

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    novembre 2009
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Une bonne approche pédagogique me semble de mener les deux fronts séparément, et ensuite seulement, après acquisition des concepts séparément, les combiner pour l'application à la RG. Plutôt que ce qu'on voit couramment, poser la RG d'emblée en espérant qu'à la fois la géo-diff et la physique sous-jacente seront «absorbées».
    je me considère aisément dans le cas du garçon mal enseigné / vulgarisé sur ce point.
    le mélange entre les "fondamentaux" physique de la RG et son formalisme ( métriques, ... ) donne au départ une impression de compréhension qui semble presque "facile" mais qui s'avère ensuite bien incomplète/piégeuse. ( et donc potentiellement fausse )
    Dernière modification par ansset ; 26/08/2017 à 11h53.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  12. Amanuensis

    Date d'inscription
    septembre 2010
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Citation Envoyé par choom Voir le message
    Mathématiquement vos explications offrent des réponses, mais au sens de l'intuition, j'ai le même blocage que DisciplusSimplex.
    Je n'arrive pas à transformer la vision de la physique classique qui explique la trajectoire de parabole par un objet parti avec une vitesse et une direction initiale et subissant une accélération due à la force de gravitation,
    en la vision d'un mouvement qui s'explique par la courbure de l'espace temps due à la masse...
    Certains le "voient-ils" ou faut-il se contenter de le comprendre mathématiquement ?
    Je ne pense pas que cela soit «visible» ni visualisable de manière sérieuse. La courbure dont il s'agit est d'une part spatio-temporelle (mélange temps et espace inévitable), et d'autre part la métrique est très loin de l'euclidienne.

    L'aspect spatio-temporel, combiné avec la valeur de c, pose aussi un problème d'échelle. Pour s'en rendre compte, on peut essayer de se visualiser le mouvement de la Terre en 4D, sans s'occuper de la courbure, ce qu'on peut faire en supprimant la dimension perpendiculaire au plan orbitale pour la remplacer par une représentation du temps. La première réaction est de penser qu'on obtient une hélice circulaire. C'est correct, mais si on la met à l'échelle correctement, on réalise que c'est quasiment indistinguable d'une droite. En unité de seconde, le rayon fait 500 secondes alors que le pas fait un an, soit un rapport de 63000, ce qui est énorme.

    Ce qui suit est juste la partie initiale, celle simple, si on veut essayer de visualiser la relation entre accélération et courbure à partir d'une telle représentation. Pas de partie finale...

    La vitesse est représentée par le tout petit angle (un 10000 ème de radian!) entre la tangente de l'hélice et l'axe du temps, elle est gros constante en amplitude (l'angle ne change pas en valeur), mais le plan de l'angle tourne, on a une sorte de précession. L'accélération est liée à la rotation du plan, qui est très lente (un tour par an...). On peut arriver à se convaincre que l'accélération est centripète, sans composante dans la direction de la tangente.

    Et là ça se complique. Comment visualiser une courbure qui impulse la rotation du plan en question? Je n'ai pas de réponse simple à cela, et vais laisser la question ouverte. Un seul point mis en avant: on sait que pour de si faibles champs et vitesse, seul le terme dit «temps-temps» de la métrique importe, et que la courbure est liée aux gradients spatiaux de ce terme...
    Dernière modification par Amanuensis ; 26/08/2017 à 15h51.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
     

  13. choom

    Date d'inscription
    juin 2010
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Merci pour cet essai, Amanuensis.
    Cela donne déjà une idée.

    Connaitriez-vous ( un lien vers ) une représentation( sans doute de vulgarisation mais passable ) des géosésiques autour de la terre ?
    Bonsoir.
     

  14. mach3

    Date d'inscription
    mars 2004
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    normandie
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Je n'arrive pas à transformer la vision de la physique classique qui explique la trajectoire de parabole par un objet parti avec une vitesse et une direction initiale et subissant une accélération due à la force de gravitation,
    en la vision d'un mouvement qui s'explique par la courbure de l'espace temps due à la masse...
    Certains le "voient-ils" ou faut-il se contenter de le comprendre mathématiquement ?
    Autre piste, pour essayer de "voir" : réfléchir sur la sphère. Un grand cercle d'une sphère, comme l'équateur, est une géodésique. Si on découpe, déroule et aplati la surface de la Terre d'une certaine manière, il est possible d'avoir l'équateur comme un segment droit de 40 000km. On peut même trouver un découpage où tous les grand cercles passant en un même point sont des segment de 40 000km avec le point de coïncidence en leur milieu (exemple les méridiens se croisant tous au pôle nord, il suffit de découper la surface en fines lanières, le long des méridiens, d'un pole à l'autre, en laissant l'un des pôles intègre). Il n'est par contre pas possible de trouver un découpage qui donne un segment pour une ligne de la sphère qui ne soit pas un grand cercle. Un tel découpage donnera forcément une courbe pour une ligne qui n'est pas un grand cercle. C'est un exercice qui peut être réalisé chez soi, par exemple en épluchant un fruit assez sphérique (ou en sacrifiant un ballon...).
    On peut constater qu'un découpage ne permet de transformer en segment qu'un petit ensemble des géodésiques de la sphère, la majorité d'entre-elles étant découpées en une multitude de morceau non jointifs, empêchant de constater leur rectitude, mais il existe toujours au moins un découpage qui permet de constater qu'une géodésique donnée est bien une portion de droite une déroulée et aplatie.
    L'exercice peut aussi se pratiquer sur un objet en forme de selle de cheval, afin d'expérimenter la courbure négative. On peut noter que dans ce cas de figure les bandes découpées vont se superposées.
    Il peut aussi se pratiquer avec un cylindre (rouleau de PQ ou sopalin), afin d'expérimenter la différence entre courbure intrinsèque (que possède sphère ou selle de cheval mais pas le cylindre) et courbure extrinsèque
    L'exercice inverse, c'est-à-dire construire une surface courbe en collant des morceaux plats les uns aux autres est aussi faisable et instructif. Par exemple faire un pavage de pentagones, d'hexagones ou d'heptagones.

    De même, si on pouvait découper l'espace-temps 4D, le dérouler et l'aplatir, on pourrait voir, avec le découpage qui va bien, qui toutes les géodésiques passant en un même évènement sont (au moins des portions de) droites.

    A vos ciseaux.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!
     

  15. DisciplusSimplex

    Date d'inscription
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    Re : Géodésiques lumière et autres trajectoires

    Bonjour, merci pour vos réponses,

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    En espace-temps de Newton, les géodésiques non spatiales sont les MRU et l'immobilité. Et ce sont des droites en 4D.

    Faut ruminer cela. Certains points sont critiques:

    1) En 4D les lignes décrivent des mouvements (par exemple un MRU), pas des trajectoires;

    1b) L'immobilité est à classer avec les mouvements ;

    2) La notion de droite en 4D parle de mouvement, et contient ici à la fois une notion de rectitude de trajectoire (rectiligne) et une notion de constance de vitesse (uniforme). Qu'est-ce qu'un mouvement rectiligne non uniforme ? Pourquoi n'est-ce pas une droite en 4D?

    3) Quelles sont les MRU passant par un événement?

    4) Qu'est-ce qui détermine de manière unique un MRU passant par un événement donné?

    4) Quelle est l'équation 4D d'un MRU?
    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Dans une variété courbe, on va développer des choses similaires, mais avec des adaptations. Dans une variété, il n'y a pas de vecteurs. On introduit alors la notion de tangent en un point à une variété. C'est un espace vectoriel qui contient tous les vecteurs tangents possibles à des courbes de la variété. Si on parcourt une courbe dans la variété, à chaque fois qu'on change de point, on change de tangent, on introduit donc une dérivée "spéciale" (en fait plus générale et puissante), la dérivée covariante, qui va en quelque sorte prendre cela en compte. Ainsi, on peut en tout point d'une courbe définir un vecteur tangent (qui sera dans le tangent, pas dans la variété) et regarder comment ce vecteur tangent varie quand on parcourt la courbe. On fera cette fois la dérivée covariante du vecteur tangent dans la direction du vecteur tangent. Si elle est nulle, la courbe est dite géodésique. Selon cette définition, une droite de l'espace euclidien est une géodésique, de même, un grand cercle est une géodésique de la sphère.
    Si on reste dans le cadre géométrique (hors relativité) pour arriver à comprendre les géodésiques, dans un premier temps.
    J'ai essayé de faire un croquis de ce que vous décrivez où on voit d'abord (1a) bleu immobile et vert et rouge ayant des vitesses (v et V) puis (2a), par changement de repère, on voit vert immobile avec bleu et rouge ayant des vitesses égales (v) de sens opposé (si v+v=V, le dessin est très approximatif mais c'est pour comprendre).

    En espace courbe (1b) on va mesurer le verteur vitesse selon son plan tangent et constater qu'il est constant. Ils ont donc une vitesse constante le long d'une "droite" de la surface, les lignes pointillées sont donc toutes des géodésiques de l'espace temps. Est-ce que j'ai bon jusqu'ici ?

    Ensuite on a la version plus incertaine où vert est immobile en espace courbe (2b). Si on veut se permettre cette représentation c'est que l'espace est en "rotation" sous ses pieds (représenté par la flèche R°) ??

    Si j'ai bien compris la dérivée covariante est la dérivée de la fonction décrivant le vecteur vitesse (mesuré dans son espace tangent) au cours du temps, et comme celui-ci ne varie pas la dérivée vaut zero, on a une géodésique ?
    Images attachées
     


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