Géodésiques lumière et autres trajectoires

[invite5febd2de]

Bonsoir,

J'ouvre ce sujet car une des grandes notions de la RG n'est pas très claire dans mon esprit (s'il n'y avait que celle là...) : la géodésique.

Si on prend un espace courbe, a partir d'un point quelconque et pour une direction quelconque, on va pouvoir tracer une "droite" de cet espace courbe, a savoir une géodesique. D'après ce que j'ai compris cette "droite" est en RG le chemin de la lumière, la geodesique nulle/lumière.

Cette trajectoire est donc celle du photon parti depuis un point dans une direction pour une vitesse donnée : c. Si on se place maintenant au même point de départ et en visant dans la meme direction initiale mais qu'on envoie un objet massique a une vitesse v inferieure c il ne va pas emprunter la meme trajectoire (ex: si on tire un rayon lumineux depuis la Terre tangentiellement a son orbite il ira quasi tout droit alors que la Terre tournera en quasi rond, ceci n'etant lié qu'à sa vitesse).

La question est : Si pour un point et une direction donnés il ne passe qu'une "droite" nommée géodesique alors comment appeler une trajectoire qui sera differente ? J'ai l'impression qu'on parle toujours de trajectoires "geodesiques", lumière ou pas, mais que la definition geometrique ne peut en retenir qu'une, la "droite", lumière.

Par extension, un objet immobile suit-il lui aussi une geodesique de l'espace (temps) ? Si oui serait il possible d'avoir la bonne definition du terme qui permettrait d'englober tous les cas de figure decrits ici ?

Merci
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[phys4]

La question est : Si pour un point et une direction donnés il ne passe qu'une "droite" nommée géodesique alors comment appeler une trajectoire qui sera differente ? J'ai l'impression qu'on parle toujours de trajectoires "geodesiques", lumière ou pas, mais que la définition géométrique ne peut en retenir qu'une, la "droite", lumière.

Bonsoir,
Une erreur assez répandu consiste à croire que les géodésiques en RG ne concerne que la lumière.
Ceci est complétement faux, les géodésiques sont les trajectoires de tout corps sans accélération propre et de la lumière en plus.
En 4 dimensions, la direction est différente entre deux objets qui suivent une même direction avec des vitesses différentes, et donc les géodésiques ne sont pas confondues.
Ainsi un faisceau de lumière, ou une pierre que l'on lance dans la même direction suivent tous deux des géodésiques de l'espace-temps.

Par extension, un objet immobile suit-il lui aussi une géodésique de l'espace (temps) ? Si oui serait il possible d'avoir la bonne définition du terme qui permettrait d'englober tous les cas de figure decrits ici?

Ceci est aussi applicable à un objet dit immobile en 3 dimensions, qui ne le sera en considérant les 4 composantes du vecteur vitesse. Sa trajectoire est donc une géodésique également.

[invite5febd2de]

Bonsoir et merci,

Gasp ! Tout à coup l'image tranquile du rayon lumineux courbé car evoluant dans un espace courbe s'evanouit...
Comment interpreter le fait que depuis un point, des objets lancés à n'importe quelle vitesse dans n'importe quelle direction suivront tous des droites? Qu'en lancant une pierre qui retombe sur le sol elle suit une "droite" (pour elle et pas pour moi) ?

Merci

[phys4]

C'est parce que vous voyez la pierre dans un espace en 3 dimensions. Dans cet espace la pierre parcourt une jolie parabole.
Placez vous maintenant dans un repère inertiel au moment où vous lancez la pierre : dans ce nouveau repère la pierre suit une droite ! D'accord !
Cette droite est bien une géodésique particulière de l'espace-temps !

Alors dans l'espace-temps vous pouvez trouver une infinité de géodésiques passant par un point et ayant une tangente commune pour 3 dimensions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5febd2de]

Merci,

C'est parce que vous voyez la pierre dans un espace en 3 dimensions. Dans cet espace la pierre parcourt une jolie parabole.
Placez vous maintenant dans un repère inertiel au moment où vous lancez la pierre : dans ce nouveau repère la pierre suit une droite ! D'accord !
Cette droite est bien une géodésique particulière de l'espace-temps !

Quand je saute sur un trampoline, je suis la pierre, je suis dans mon propre repere, pourtant je n'ai pas l'impression de parcourir une droite. Si on devrait redresser cette trajectoire pour en faire une droite on peut se demander a quoi ressemblerait le repere ? et pourquoi pendant mon saut depuis le trampoline je me vois quand même suivre une courbe ?

Alors dans l'espace-temps vous pouvez trouver une infinité de géodésiques passant par un point et ayant une tangente commune pour 3 dimensions.

Ok la tangente c'est la direction et les géodésiques des vitesses, vitesse nulle comprise. Pas evident mais il faut que j'arrive a comprendre ça...

Merci

[Amanuensis]

En espace-temps de Newton, les géodésiques non spatiales sont les MRU et l'immobilité. Et ce sont des droites en 4D.

Faut ruminer cela. Certains points sont critiques:

1) En 4D les lignes décrivent des mouvements (par exemple un MRU), pas des trajectoires;

1b) L'immobilité est à classer avec les mouvements ;

2) La notion de droite en 4D parle de mouvement, et contient ici à la fois une notion de rectitude de trajectoire (rectiligne) et une notion de constance de vitesse (uniforme). Qu'est-ce qu'un mouvement rectiligne non uniforme ? Pourquoi n'est-ce pas une droite en 4D?

3) Quelles sont les MRU passant par un événement?

4) Qu'est-ce qui détermine de manière unique un MRU passant par un événement donné?

4) Quelle est l'équation 4D d'un MRU?

Etc.

Beaucoup à apprendre et comprendre en regardant les concepts communs entre les modèles «relativisite» et le modèle classique. Il y en a beaucoup de ces concepts, dommage qu'on ne les mettent pas en avant (en commençant par «espace-temps»). Et «géodésique» se trouve être parmi ceux-ci.

[mach3]

Je m'essaie à une réponse un peu plus technique.

Dans une variété, la notion de géodésique généralise celle de droite dans un espace affine.
Dans l'espace Euclidien, par exemple, en tout point d'une courbe on peut définir un vecteur unitaire tangent, et on peut regarder la variation de ce vecteur tangent entre un point de la courbe et un autre point immédiatement consécutif (on paramètre la courbe et on prend la dérivée par rapport au paramètre du vecteur tangent), si cette variation est partout nulle, la courbe est une droite de l'espace Euclidien.
Dans une variété courbe, on va développer des choses similaires, mais avec des adaptations. Dans une variété, il n'y a pas de vecteurs. On introduit alors la notion de tangent en un point à une variété. C'est un espace vectoriel qui contient tous les vecteurs tangents possibles à des courbes de la variété. Si on parcourt une courbe dans la variété, à chaque fois qu'on change de point, on change de tangent, on introduit donc une dérivée "spéciale" (en fait plus générale et puissante), la dérivée covariante, qui va en quelque sorte prendre cela en compte. Ainsi, on peut en tout point d'une courbe définir un vecteur tangent (qui sera dans le tangent, pas dans la variété) et regarder comment ce vecteur tangent varie quand on parcourt la courbe. On fera cette fois la dérivée covariante du vecteur tangent dans la direction du vecteur tangent. Si elle est nulle, la courbe est dite géodésique. Selon cette définition, une droite de l'espace euclidien est une géodésique, de même, un grand cercle est une géodésique de la sphère.
Pour le cas particulier de la relativité générale, si on prend une courbe quelconque, le vecteur tangent à la ligne d'univers (et unitaire) est la 4-vitesse. Si on fait la dérivée covariante de la 4-vitesse dans la direction de la 4-vitesse, on doit trouver 0 si la ligne d'univers est une géodésique. La 4-vitesse en question peut-être de n'importe quel genre (on ne parlera pas des petites subtilités qui concernent la 4-vitesse de genre nul). Bien-sûr une telle courbe ne pourra correspondre à la trajectoire d'un objet massique (non massique) que si la 4-vitesse est en tout point de genre temps (nul).

m@ch3

[Amanuensis]

J'ai hésité à mettre un second message après le #6, développant un peu la même chose que le #7 de Mach3, mais pas comme «plus technique», comme différemment technique.

Je pense que les difficultés rencontrées amenant une demande comme le #1 sont de deux ordres, l'une (seconde réponse) porte sur la notion de géodésique en géométrie différentielle, indépendamment de la dimension et même d'une métrique (on peut constater que la métrique est peu évoquée dans le message #7, et aurait pu ne pas l'être du tout au prix d'un peu plus d'abstraction encore) ; l'autre porte sur la physique en 4D et métrique de signature de Minkowski (et les notions de durée, longueur, vitesse, etc., qui en découlent), par opposition à la physique 3D + temps classique, ce vers quoi mène les ébauches de débuts de piste proposées en #5.

Une bonne approche pédagogique me semble de mener les deux fronts séparément, et ensuite seulement, après acquisition des concepts séparément, les combiner pour l'application à la RG. Plutôt que ce qu'on voit couramment, poser la RG d'emblée en espérant qu'à la fois la géo-diff et la physique sous-jacente seront «absorbées».

[choom]

C'est parce que vous voyez la pierre dans un espace en 3 dimensions. Dans cet espace la pierre parcourt une jolie parabole.
Placez vous maintenant dans un repère inertiel au moment où vous lancez la pierre : dans ce nouveau repère la pierre suit une droite ! D'accord !
Cette droite est bien une géodésique particulière de l'espace-temps !

Alors dans l'espace-temps vous pouvez trouver une infinité de géodésiques passant par un point et ayant une tangente commune pour 3 dimensions.

Bonjour.
Mathématiquement vos explications offrent des réponses, mais au sens de l'intuition, j'ai le même blocage que DisciplusSimplex.
Je n'arrive pas à transformer la vision de la physique classique qui explique la trajectoire de parabole par un objet parti avec une vitesse et une direction initiale et subissant une accélération due à la force de gravitation,
en la vision d'un mouvement qui s'explique par la courbure de l'espace temps due à la masse...
Certains le "voient-ils" ou faut-il se contenter de le comprendre mathématiquement ?

[phys4]

Je n'arrive pas à transformer la vision de la physique classique qui explique la trajectoire de parabole par un objet parti avec une vitesse et une direction initiale et subissant une accélération due à la force de gravitation,
en la vision d'un mouvement qui s'explique par la courbure de l'espace temps due à la masse...

L'introduction de la courbure d'espace-temps est légitime dans un certain référentiel, ici elle complique la vision.
Imaginez vous plutôt dans un référentiel propre accéléré (ce qui est le cas sur Terre) Si de ce référentiel vous projetez un objet, il aura en ligne droite dans l'espace, mais pour vous dans votre repère accéléré, son parcours sera une parabole.

[invite51d17075]

Une bonne approche pédagogique me semble de mener les deux fronts séparément, et ensuite seulement, après acquisition des concepts séparément, les combiner pour l'application à la RG. Plutôt que ce qu'on voit couramment, poser la RG d'emblée en espérant qu'à la fois la géo-diff et la physique sous-jacente seront «absorbées».

je me considère aisément dans le cas du garçon mal enseigné / vulgarisé sur ce point.
le mélange entre les "fondamentaux" physique de la RG et son formalisme ( métriques, ... ) donne au départ une impression de compréhension qui semble presque "facile" mais qui s'avère ensuite bien incomplète/piégeuse. ( et donc potentiellement fausse )

[Amanuensis]

Mathématiquement vos explications offrent des réponses, mais au sens de l'intuition, j'ai le même blocage que DisciplusSimplex.
Je n'arrive pas à transformer la vision de la physique classique qui explique la trajectoire de parabole par un objet parti avec une vitesse et une direction initiale et subissant une accélération due à la force de gravitation,
en la vision d'un mouvement qui s'explique par la courbure de l'espace temps due à la masse...
Certains le "voient-ils" ou faut-il se contenter de le comprendre mathématiquement ?

Je ne pense pas que cela soit «visible» ni visualisable de manière sérieuse. La courbure dont il s'agit est d'une part spatio-temporelle (mélange temps et espace inévitable), et d'autre part la métrique est très loin de l'euclidienne.

L'aspect spatio-temporel, combiné avec la valeur de c, pose aussi un problème d'échelle. Pour s'en rendre compte, on peut essayer de se visualiser le mouvement de la Terre en 4D, sans s'occuper de la courbure, ce qu'on peut faire en supprimant la dimension perpendiculaire au plan orbitale pour la remplacer par une représentation du temps. La première réaction est de penser qu'on obtient une hélice circulaire. C'est correct, mais si on la met à l'échelle correctement, on réalise que c'est quasiment indistinguable d'une droite. En unité de seconde, le rayon fait 500 secondes alors que le pas fait un an, soit un rapport de 63000, ce qui est énorme.

Ce qui suit est juste la partie initiale, celle simple, si on veut essayer de visualiser la relation entre accélération et courbure à partir d'une telle représentation. Pas de partie finale...

La vitesse est représentée par le tout petit angle (un 10000 ème de radian!) entre la tangente de l'hélice et l'axe du temps, elle est gros constante en amplitude (l'angle ne change pas en valeur), mais le plan de l'angle tourne, on a une sorte de précession. L'accélération est liée à la rotation du plan, qui est très lente (un tour par an...). On peut arriver à se convaincre que l'accélération est centripète, sans composante dans la direction de la tangente.

Et là ça se complique. Comment visualiser une courbure qui impulse la rotation du plan en question? Je n'ai pas de réponse simple à cela, et vais laisser la question ouverte. Un seul point mis en avant: on sait que pour de si faibles champs et vitesse, seul le terme dit «temps-temps» de la métrique importe, et que la courbure est liée aux gradients spatiaux de ce terme...

[choom]

Merci pour cet essai, Amanuensis.
Cela donne déjà une idée.

Connaitriez-vous ( un lien vers ) une représentation( sans doute de vulgarisation mais passable ) des géosésiques autour de la terre ?
Bonsoir.

[mach3]

Je n'arrive pas à transformer la vision de la physique classique qui explique la trajectoire de parabole par un objet parti avec une vitesse et une direction initiale et subissant une accélération due à la force de gravitation,
en la vision d'un mouvement qui s'explique par la courbure de l'espace temps due à la masse...
Certains le "voient-ils" ou faut-il se contenter de le comprendre mathématiquement ?

Autre piste, pour essayer de "voir" : réfléchir sur la sphère. Un grand cercle d'une sphère, comme l'équateur, est une géodésique. Si on découpe, déroule et aplati la surface de la Terre d'une certaine manière, il est possible d'avoir l'équateur comme un segment droit de 40 000km. On peut même trouver un découpage où tous les grand cercles passant en un même point sont des segment de 40 000km avec le point de coïncidence en leur milieu (exemple les méridiens se croisant tous au pôle nord, il suffit de découper la surface en fines lanières, le long des méridiens, d'un pole à l'autre, en laissant l'un des pôles intègre). Il n'est par contre pas possible de trouver un découpage qui donne un segment pour une ligne de la sphère qui ne soit pas un grand cercle. Un tel découpage donnera forcément une courbe pour une ligne qui n'est pas un grand cercle. C'est un exercice qui peut être réalisé chez soi, par exemple en épluchant un fruit assez sphérique (ou en sacrifiant un ballon...).
On peut constater qu'un découpage ne permet de transformer en segment qu'un petit ensemble des géodésiques de la sphère, la majorité d'entre-elles étant découpées en une multitude de morceau non jointifs, empêchant de constater leur rectitude, mais il existe toujours au moins un découpage qui permet de constater qu'une géodésique donnée est bien une portion de droite une déroulée et aplatie.
L'exercice peut aussi se pratiquer sur un objet en forme de selle de cheval, afin d'expérimenter la courbure négative. On peut noter que dans ce cas de figure les bandes découpées vont se superposées.
Il peut aussi se pratiquer avec un cylindre (rouleau de PQ ou sopalin), afin d'expérimenter la différence entre courbure intrinsèque (que possède sphère ou selle de cheval mais pas le cylindre) et courbure extrinsèque
L'exercice inverse, c'est-à-dire construire une surface courbe en collant des morceaux plats les uns aux autres est aussi faisable et instructif. Par exemple faire un pavage de pentagones, d'hexagones ou d'heptagones.

De même, si on pouvait découper l'espace-temps 4D, le dérouler et l'aplatir, on pourrait voir, avec le découpage qui va bien, qui toutes les géodésiques passant en un même évènement sont (au moins des portions de) droites.

A vos ciseaux.

m@ch3

[invite5febd2de]

Bonjour, merci pour vos réponses,

En espace-temps de Newton, les géodésiques non spatiales sont les MRU et l'immobilité. Et ce sont des droites en 4D.

Faut ruminer cela. Certains points sont critiques:

1) En 4D les lignes décrivent des mouvements (par exemple un MRU), pas des trajectoires;

1b) L'immobilité est à classer avec les mouvements ;

2) La notion de droite en 4D parle de mouvement, et contient ici à la fois une notion de rectitude de trajectoire (rectiligne) et une notion de constance de vitesse (uniforme). Qu'est-ce qu'un mouvement rectiligne non uniforme ? Pourquoi n'est-ce pas une droite en 4D?

3) Quelles sont les MRU passant par un événement?

4) Qu'est-ce qui détermine de manière unique un MRU passant par un événement donné?

4) Quelle est l'équation 4D d'un MRU?

Dans une variété courbe, on va développer des choses similaires, mais avec des adaptations. Dans une variété, il n'y a pas de vecteurs. On introduit alors la notion de tangent en un point à une variété. C'est un espace vectoriel qui contient tous les vecteurs tangents possibles à des courbes de la variété. Si on parcourt une courbe dans la variété, à chaque fois qu'on change de point, on change de tangent, on introduit donc une dérivée "spéciale" (en fait plus générale et puissante), la dérivée covariante, qui va en quelque sorte prendre cela en compte. Ainsi, on peut en tout point d'une courbe définir un vecteur tangent (qui sera dans le tangent, pas dans la variété) et regarder comment ce vecteur tangent varie quand on parcourt la courbe. On fera cette fois la dérivée covariante du vecteur tangent dans la direction du vecteur tangent. Si elle est nulle, la courbe est dite géodésique. Selon cette définition, une droite de l'espace euclidien est une géodésique, de même, un grand cercle est une géodésique de la sphère.

Si on reste dans le cadre géométrique (hors relativité) pour arriver à comprendre les géodésiques, dans un premier temps.
J'ai essayé de faire un croquis de ce que vous décrivez où on voit d'abord (1a) bleu immobile et vert et rouge ayant des vitesses (v et V) puis (2a), par changement de repère, on voit vert immobile avec bleu et rouge ayant des vitesses égales (v) de sens opposé (si v+v=V, le dessin est très approximatif mais c'est pour comprendre).

En espace courbe (1b) on va mesurer le verteur vitesse selon son plan tangent et constater qu'il est constant. Ils ont donc une vitesse constante le long d'une "droite" de la surface, les lignes pointillées sont donc toutes des géodésiques de l'espace temps. Est-ce que j'ai bon jusqu'ici ?

Ensuite on a la version plus incertaine où vert est immobile en espace courbe (2b). Si on veut se permettre cette représentation c'est que l'espace est en "rotation" sous ses pieds (représenté par la flèche R°) ??

Si j'ai bien compris la dérivée covariante est la dérivée de la fonction décrivant le vecteur vitesse (mesuré dans son espace tangent) au cours du temps, et comme celui-ci ne varie pas la dérivée vaut zero, on a une géodésique ?

[invite5febd2de]

Suite,

Ce qui suit est juste la partie initiale, celle simple, si on veut essayer de visualiser la relation entre accélération et courbure à partir d'une telle représentation. Pas de partie finale...

La vitesse est représentée par le tout petit angle (un 10000 ème de radian!) entre la tangente de l'hélice et l'axe du temps, elle est gros constante en amplitude (l'angle ne change pas en valeur), mais le plan de l'angle tourne, on a une sorte de précession. L'accélération est liée à la rotation du plan, qui est très lente (un tour par an...). On peut arriver à se convaincre que l'accélération est centripète, sans composante dans la direction de la tangente.

J'ai fait un autre dessin sans respecter les échelles que tu donnes pour la Terre (rapport entre vitesse de rotation et vitesse lumière). On y voit qu'une orbite peut être vue comme une hélicoïde sur la surface d'un cylindre qui une fois déroulé met en évidence l'angle constant dont tu parles. Evidement ce ne sont pas des orbites rélles puisqu'on a deux objet sur le même cercle à des vitesses différentes, on reste dans le cadre de la géométrie.

Et là ça se complique. Comment visualiser une courbure qui impulse la rotation du plan en question? Je n'ai pas de réponse simple à cela, et vais laisser la question ouverte. Un seul point mis en avant: on sait que pour de si faibles champs et vitesse, seul le terme dit «temps-temps» de la métrique importe, et que la courbure est liée aux gradients spatiaux de ce terme...

Euh.. faut y réfléchir en effet

[invite5febd2de]

Suite,

Autre piste, pour essayer de "voir" : réfléchir sur la sphère. Un grand cercle d'une sphère, comme l'équateur, est une géodésique. Si on découpe, déroule et aplati la surface de la Terre d'une certaine manière, il est possible d'avoir l'équateur comme un segment droit de 40 000km. On peut même trouver un découpage où tous les grand cercles passant en un même point sont des segment de 40 000km avec le point de coïncidence en leur milieu (exemple les méridiens se croisant tous au pôle nord, il suffit de découper la surface en fines lanières, le long des méridiens, d'un pole à l'autre, en laissant l'un des pôles intègre). Il n'est par contre pas possible de trouver un découpage qui donne un segment pour une ligne de la sphère qui ne soit pas un grand cercle. Un tel découpage donnera forcément une courbe pour une ligne qui n'est pas un grand cercle. C'est un exercice qui peut être réalisé chez soi, par exemple en épluchant un fruit assez sphérique (ou en sacrifiant un ballon...).
On peut constater qu'un découpage ne permet de transformer en segment qu'un petit ensemble des géodésiques de la sphère, la majorité d'entre-elles étant découpées en une multitude de morceau non jointifs, empêchant de constater leur rectitude, mais il existe toujours au moins un découpage qui permet de constater qu'une géodésique donnée est bien une portion de droite une déroulée et aplatie.

Le croquis joint montre le découpage dont tu parles, l'équateur est morcelé et le "point" pole Sud se trouve réparti sur un cerle. Les parties morcelées (comme les parallèles terrestres) de sont pas des géodésiques dans un "maillage" passant par N (voir BD je JPP).

Il faudrait maintenant assaisonner à la sauce relativiste pour essayer de "voir" les impacts. Ou peut être chercher à représenter une trajectoire parabolique (caillou) "redressée" ? Je ne sais pas j'essaye de vous suivre, je suis tout ouï

Merci d'avance

[Amanuensis]

Connaitriez-vous ( un lien vers ) une représentation( sans doute de vulgarisation mais passable ) des géosésiques autour de la terre ?

?? Ce sont les orbites, ellipses, hyperboles et les cas limites que sont les paraboles et les chutes libres radiales.

En représentation 2D + temps, faut prendre en compte les variations de vitesse.

Si c'est bien cela dont il est question, non, je n'ai pas sous la main de référence à des dessins de ce genre. (Les trajectoires hyperboliques seraient intéressantes.)

[invite5febd2de]

Salut,

Bon, je pensais qu'il y aurait une suite... peut être quelqu'un a t il un lien pour m'aider a comprendre :

Geodesique d'espace + Temps + Relativité ?

Merci

[mach3]

Si on reste dans le cadre géométrique (hors relativité) pour arriver à comprendre les géodésiques, dans un premier temps.
J'ai essayé de faire un croquis de ce que vous décrivez où on voit d'abord (1a) bleu immobile et vert et rouge ayant des vitesses (v et V) puis (2a), par changement de repère, on voit vert immobile avec bleu et rouge ayant des vitesses égales (v) de sens opposé (si v+v=V, le dessin est très approximatif mais c'est pour comprendre).

En espace courbe (1b) on va mesurer le verteur vitesse selon son plan tangent et constater qu'il est constant. Ils ont donc une vitesse constante le long d'une "droite" de la surface, les lignes pointillées sont donc toutes des géodésiques de l'espace temps. Est-ce que j'ai bon jusqu'ici ?

Ensuite on a la version plus incertaine où vert est immobile en espace courbe (2b). Si on veut se permettre cette représentation c'est que l'espace est en "rotation" sous ses pieds (représenté par la flèche R°) ??

Si j'ai bien compris la dérivée covariante est la dérivée de la fonction décrivant le vecteur vitesse (mesuré dans son espace tangent) au cours du temps, et comme celui-ci ne varie pas la dérivée vaut zero, on a une géodésique ?

tout cela me parait bien mélangé.
Difficile de dire si c'est correct ni même dans la bonne direction ou non.

Le croquis joint montre le découpage dont tu parles, l'équateur est morcelé et le "point" pole Sud se trouve réparti sur un cerle.

oui, ça illustre plutôt bien mon propos sur le découpage.

Il faudrait maintenant assaisonner à la sauce relativiste pour essayer de "voir" les impacts. Ou peut être chercher à représenter une trajectoire parabolique (caillou) "redressée" ?

Il me semble qu'Amanuensis l'a déjà mentionné, mais avant même de passer au cas espace-temps courbé, l'examen du cas d'un observateur en mouvement uniformément accéléré qui lance des cailloux dans diverses direction dans sa fusée pourra être très éclairant, et cela même en restant dans le cadre non relativiste. Sachant que le caillou une fois lancé ne subit aucune force, comment est sa trajectoire dans un référentiel galiléen? ensuite comment est sa trajectoire dans un référentiel où la fusée est immobile?
Dans le repère "naturel" de l'observateur la trajectoire est parabolique, mais dans une certaine famille de repères, la trajectoire est "redressée", droite.

En relativité restreinte, si on choisi un certain type de coordonnées et qu'on les représente dans un repère cartésien, les géodésiques sont représentées par des droites dans ce repère. Cela fonctionne, en particulier, pour les coordonnées dites de Lorentz. Si on choisi d'autres types de coordonnées (par exemple Rindler pour un mouvement uniformément accéléré, Born pour un mouvement circulaire uniforme) et qu'on les représente en cartésien, les géodésiques ne sont plus toutes représentées par des droites.
Exemple en géométrie du plan, si je met r sur l'axe horizontal et theta sur l'axe vertical, les droites euclidiennes seront représentées par des courbes, alors que les cercles centrés sur l'origine seront représentés par des droites verticales...).

On peut toujours, en relativité restreinte, avoir un système de coordonnée de type Lorentz qui couvre l'ensemble de l'espace-temps et où toutes les géodésiques sont représentées par des droites.

Passons en relativité générale. Un caillou est jeté depuis la surface de la Terre, en France, sa trajectoire est parabolique pour un observateur au sol. Y-a-t'il un repère où ce mouvement sera représenté par une ligne droite? Imaginons qu'en même temps un caillou soit jeté depuis la surface de la Terre, mais en Chine, ou en Antarctique, ou aux îles Fidji. Y-a-t'il, pour chaque cas, un repère où ce mouvement sera représenté par une ligne droite? Est-ce que cela peut être le même dans tous les cas?
Question liée, si sur la surface d'une sphère on dispose de nombreux repères cartésiens locaux, y-a-t'il une disposition formant un maillage cohérent? Autre façon de poser la question, supposons qu'on ait toutes les cartes IGN 1:25000 de toutes les régions de la Terre, peut-on les mettre toutes bout à bout pour reconstituer un planisphère?

Bonne réflexion et à plus tard.

m@ch3

[invite5febd2de]

Salut et merci,

tout cela me parait bien mélangé.
Difficile de dire si c'est correct ni même dans la bonne direction ou non.

Pour le premier dessin j'ai l'impression de n'avoir représenté que ce que vous avez dit : des vecteurs qui restent constants dans leur plan de mesure, qui va etre soit le plan en espace plat soit le tangent en espace courbe. Les diagrammes d'espace temps montrent comment les vecteurs vont se deplacer au cours du temps et on voit qu'on obtient des droites en espace plat et des courbes en espaces courbe. Si j'ai bien compris votre discours ce sont des "geodesiques d'espace temps" 1D+t.

Il me semble qu'Amanuensis l'a déjà mentionné, mais avant même de passer au cas espace-temps courbé, l'examen du cas d'un observateur en mouvement uniformément accéléré qui lance des cailloux dans diverses direction dans sa fusée pourra être très éclairant, et cela même en restant dans le cadre non relativiste. Sachant que le caillou une fois lancé ne subit aucune force, comment est sa trajectoire dans un référentiel galiléen? ensuite comment est sa trajectoire dans un référentiel où la fusée est immobile?
Dans le repère "naturel" de l'observateur la trajectoire est parabolique, mais dans une certaine famille de repères, la trajectoire est "redressée", droite.

En espace plat, si on prend un voyageur acceleré qui va suivre une courbe dans l'espace temps (Rindler pour un cas relativiste), qu'on reste en 1D (sinon ca devient très compliqué) et qu'on le fait envoyer des projectiles, non pas dans toutes les directions puisqu'il n'y en a qu'une, mais a toutes les vitesses, alors ceux ci vont décrire des droites dans ce repère (vitesse constante). A priori

Dessiner ensuite le repère du projectile dans lequel il est immobile (axe vertical ponctué regulièrement de son temps propre, irregulier au regard du temps propre d'un immobile de l'espace fixe considéré dans l'experience, puisque l'acceleration initiale doit bien etre definie par rapport à un reférent fixe) et bien je ne connais pas... car en RR si tout est reciproque a vitesse constante ce n'est plus le cas avec des accélérations, on ne peut pas "renverser" le repere simplement. Si tu as des exemples je veux bien voir

En relativité restreinte, si on choisi un certain type de coordonnées et qu'on les représente dans un repère cartésien, les géodésiques sont représentées par des droites dans ce repère. Cela fonctionne, en particulier, pour les coordonnées dites de Lorentz. Si on choisi d'autres types de coordonnées (par exemple Rindler pour un mouvement uniformément accéléré, Born pour un mouvement circulaire uniforme) et qu'on les représente en cartésien, les géodésiques ne sont plus toutes représentées par des droites.

Je ne te suis plus ? En RR, selon ta definition (vecteur vitesse invariant), une géodésique est une droite qui ne presente aucune accélération. Tu parles ensuite de Rindler, si on mesure le vecteur vitesse il varie ce n'est pas une geodesique ! ou je ne comprends plus ?

Passons en relativité générale. Un caillou est jeté depuis la surface de la Terre, en France, sa trajectoire est parabolique pour un observateur au sol. Y-a-t'il un repère où ce mouvement sera représenté par une ligne droite? Imaginons qu'en même temps un caillou soit jeté depuis la surface de la Terre, mais en Chine, ou en Antarctique, ou aux îles Fidji. Y-a-t'il, pour chaque cas, un repère où ce mouvement sera représenté par une ligne droite? Est-ce que cela peut être le même dans tous les cas?
Question liée, si sur la surface d'une sphère on dispose de nombreux repères cartésiens locaux, y-a-t'il une disposition formant un maillage cohérent? Autre façon de poser la question, supposons qu'on ait toutes les cartes IGN 1:25000 de toutes les régions de la Terre, peut-on les mettre toutes bout à bout pour reconstituer un planisphère?

Ca fait beaucoup de questions pour une réponse !
Cas du mouvement du projectile en RG (imaginons un mouvement d'aller retour vertical pour commencer) meme reponse que précédement, je ne connais aucun repere où sa trajectoire (complete ?!) soit une droite. Pareil si tu as des exemples je suis curieux.
Pour le maillage je dirais que le "tangent" observé a un maillage rayonnant (type poles terrestres), voir ton dessin. Et 1:25000 c'est dejà trop grand pour negliger la courbure. (Il parrait que les piles du viaduc de Millau ne sont pas parallèles mais verticales ) La courbure positive va donc froisser le papier.

Merci

[invite6c093f92]

Je ne te suis plus ? i

Je pense (mais Mach3 confirmera ou infirmera) que le truc, c'est de dire qu'une géodésique "complète" n'est qu'une représentation de "micro-géodésiques" donc la propriété est conservée de par le traitement que l'on en fait (voir du coté du transport //).

[mach3]

Pour le premier dessin j'ai l'impression de n'avoir représenté que ce que vous avez dit : des vecteurs qui restent constants dans leur plan de mesure, qui va etre soit le plan en espace plat soit le tangent en espace courbe. Les diagrammes d'espace temps montrent comment les vecteurs vont se deplacer au cours du temps et on voit qu'on obtient des droites en espace plat et des courbes en espaces courbe. Si j'ai bien compris votre discours ce sont des "geodesiques d'espace temps" 1D+t.

Dans le premier dessin, je vois ce qui me semble être des vecteurs vitesses (3D), alors que j'ai parlé de 4-vitesse, qui est tout à fait autre chose. C'est un vecteur unitaire tangent à la ligne d'univers. Il est de genre temps, alors que la vitesse 3D d'un objet A par rapport à un observateur B (du moins sa reconstruction à partir de la 4-vitesse de A et de la 4-vitesse de B) est de genre espace.

En espace plat, si on prend un voyageur acceleré qui va suivre une courbe dans l'espace temps (Rindler pour un cas relativiste), qu'on reste en 1D (sinon ca devient très compliqué) et qu'on le fait envoyer des projectiles, non pas dans toutes les directions puisqu'il n'y en a qu'une, mais a toutes les vitesses, alors ceux ci vont décrire des droites dans ce repère (vitesse constante). A priori

Dessiner ensuite le repère du projectile dans lequel il est immobile (axe vertical ponctué regulièrement de son temps propre, irregulier au regard du temps propre d'un immobile de l'espace fixe considéré dans l'experience, puisque l'acceleration initiale doit bien etre definie par rapport à un reférent fixe) et bien je ne connais pas... car en RR si tout est reciproque a vitesse constante ce n'est plus le cas avec des accélérations, on ne peut pas "renverser" le repere simplement. Si tu as des exemples je veux bien voir

Si on représente la situation dans un repère de Lorentz t,x,y,z (repère où les objets en mouvement rectiligne uniforme ont pour ligne d'univers une droite), la fusée en accélération (propre) constante suivant x a une ligne d'univers courbe. L'astronaute dedans jette ses cailloux. Ils ont alors un mouvement rectiligne uniforme (une fois la première impulsion donnée il n'y a plus de force qui s'exerce), donc les lignes d'univers des cailloux, une fois lancés, sont des droites. Si on projette les lignes d'univers sur un hyperplan de coordonnée t constante, on obtient les trajectoires dans un reférentiel galiléen, et ce sont des belles droites.
Si on représente la situation dans un repère de Rindler T,X,y,z, choisi de façon à ce que la fusée occupe constamment les mêmes coordonnées spatiales, la ligne d'univers de la fusée est maintenant une droite et les lignes d'univers des cailloux sont courbes. Si on les projette dans un hyperplan de coordonnée T constante, on obtient en assez bonne approximation (tant que les vitesses des cailloux par rapport à la fusée sont faibles devant c) de magnifiques trajectoires paraboliques.
Voilà donc une façon d'appréhender qu'à une trajectoire courbe corresponde une géodésique "droite".

Je ne te suis plus ? En RR, selon ta definition (vecteur vitesse invariant), une géodésique est une droite qui ne presente aucune accélération. Tu parles ensuite de Rindler, si on mesure le vecteur vitesse il varie ce n'est pas une geodesique ! ou je ne comprends plus ?

si une ligne d'univers est une géodésique, c'est une géodésique quelque soit la représentation. Une ligne d'univers se fout royalement du système de coordonnées qu'on utilise pour la décrire ou du repère qu'on utilise pour la représenter. C'est un objet géométrique en lui-même, indépendamment de tout repère, coordonnée, représentation, qui sont des artifices arbitraires. La ligne d'univers d'un objet en MRU est une géodésique. Ensuite si on utilise un système de coordonnées adapté (comme du Lorentz), alors la représentation de cette géodésique sera une droite (et réciproquement, toute ligne d'univers représentée par une droite est une géodésique dans ce système de coordonnées, en espace-temps plat bien sûr). Si on utilise un autre système de coordonnées pour représenter la même situation, les géodésiques ne seront pas forcément représentées par des droites.
Si on prend les coordonnées de Rindler, les géodésiques ne sont pas représentées par des droites (et réciproquement les droites ne représentent pas des géodésiques). Les coordonnées de Rindler sont construites exprès pour que les lignes d'univers de certains mouvement accélérés soient représentées par des droites.
Techniquement, on peut voir cela de la façon suivante : les coordonnées sont des champs scalaires dans l'espace-temps, définis arbitrairement. En prenant en un point les gradients de ces champs, on construit les vecteurs de base locaux, qui forment une tétrade (comme un trièdre mais en 4D). En parcourant une ligne d'univers, d'un point à l'autre, la tétrade peut changer (certains vecteurs s'allongent, se raccourcissent, s'éloignent, se rapprochent, tournent). Si on choisi un système de coordonnée dit "normal" (comme c'est le cas de celles de Lorentz), il se trouve que la tétrade ne bouge pas le long d'une géodésique. Par contre, le long d'une ligne non géodésique, la tétrade va changer, ce changement étant décrit par la dérivée covariante.
Si sur un repère de Rindler 2D T,X on représente les lignes de niveaux des coordonnées de Lorentz t,x (une ligne pour x=0, une pour x=1, x=2,3,4,5 etc, puis pour t=0, 1,2,3,4 etc), en chaque point on peut dessiner un diédre e_t,e_x. Si on regarde le long d'une ligne verticale, pas dur de voir que le dièdre change quand on la parcourt : ce n'est pas une géodésique. Par contre si on regarde le long d'une ligne de x constant (x de Lorentz, pas X de Rindler hein), on voit que le dièdre ne change pas. C'est une géodésique.

Ca fait beaucoup de questions pour une réponse !
Cas du mouvement du projectile en RG (imaginons un mouvement d'aller retour vertical pour commencer) meme reponse que précédement, je ne connais aucun repere où sa trajectoire (complete ?!) soit une droite. Pareil si tu as des exemples je suis curieux.
Pour le maillage je dirais que le "tangent" observé a un maillage rayonnant (type poles terrestres), voir ton dessin. Et 1:25000 c'est dejà trop grand pour negliger la courbure. (Il parrait que les piles du viaduc de Millau ne sont pas parallèles mais verticales ) La courbure positive va donc froisser le papier.

En considérant qu'il n'y a pas de frottements avec l'air, un observateur en chute libre au voisinage des projectiles constatera que leur mouvement est rectiligne uniforme. Dans le repère naturel de cet observateur en chute libre, les lignes d'univers des projectiles sont représentées par des droites. Le pas franchi par Einstein, avec son principe d'équivalence, c'est de considérer que les lignes d'univers correspondant à la chute libre sont des géodésiques. Ainsi le repère naturel de l'observateur en chute libre est en fait en coordonnées locales de Lorentz. Et à l'inverse le repère d'un observateur au sol est très similaire, localement, au repère de Rindler.
Bien-sûr ça ne marche qu'au voisinage immédiat, si on étend les coordonnées de Lorentz où l'observateur en chute libre occupe l'origine spatiale trop loin, on constate que les lignes d'univers des projectiles qui sont trop lointain ne sont plus des droites (par contre, il me semble, celles qui passent par l'observateur en chute libre -l'origine des coordonnées- restent des droites peu importe la distance). C'est là qu'arrive la courbure. On ne peut pas mailler correctement entre eux tous les Lorentz locaux, tout comme on ne peut pas mailler correctement toutes les cartes IGN.
Point technique pour faire le parallèle avec le paragraphe précédent, les coordonnées sont toujours des champs scalaires, mais cette fois pas sur un espace-temps plat tout bête, mais sur une variété. Les gradients de ces champs scalaires ne sont pas dans la variété, mais dans le tangent à la variété (parce que la variété ne contient pas de vecteur, ce n'est pas un espace vectoriel, petit détail en passant, même avec un espace-temps plat tout bête, les gradients sont dans le tangent, mais comme l'espace-temps et le tangent sont tout deux des espaces vectoriels, ils sont implicitement confondus). Donc on a, comme précédemment, un champ de tétrade sur la variété. En parcourant une ligne d'univers, on regarde comment la tétrade change et ça détermine si c'est une géodésique ou non.

Au fait, si quelqu'un à des détails, des précisions ou des corrections à apporter, qu'il n'hésite pas, car j'essaie ici d'expliquer des choses que je n'ai assimilé (ou crois avoir assimiler...) qu'assez recemment.

m@ch3

[invite5febd2de]

Salut et merci,

Dans le premier dessin, je vois ce qui me semble être des vecteurs vitesses (3D), alors que j'ai parlé de 4-vitesse, qui est tout à fait autre chose. C'est un vecteur unitaire tangent à la ligne d'univers. Il est de genre temps, alors que la vitesse 3D d'un objet A par rapport à un observateur B (du moins sa reconstruction à partir de la 4-vitesse de A et de la 4-vitesse de B) est de genre espace.

Oui d'accord, ci joint la version corrigée.
On voit que les vecteurs unitaires en rouge/bleu/noir ont tous la même longueur car la 4-vitesse vaut 1, mais que dans l'espace de celui qui est fixe (noir) alors on peut définir par projection de ce vecteur une vitesse 3D (1D ici en vert).
Pour aller plus loin je dirais même que le vecteur vitesse 3D est de genre espace "pur" pour noir (colinéaire à l'espace) et que la 4-vitesse est de genre temps "propre" puisqu'il se mesure le long de la ligne d'univers.

Le troisième dessin à droite montre une accélération en espace plat et on voit que la 4-vitesse est invariante mais que la vitesse 3D augmente. Pour moi, mais tu n'as pas l'air d'accord, cette trajectoire n'est plus une géodésique. Je pense que ces trajectoires sont toutes des géodésiques de l'espace car ce sont des lignes droites (pas d'accélération suivant y,z), que les deux premiers dessins montrent des géodésiques de l'espace temps mais que le troisième n'est pas une géodésique d'espace temps car elle subit une accélération de long de sa trajectoire. A discuter...

[invite5febd2de]

Suite,

Si on représente la situation dans un repère de Lorentz t,x,y,z (repère où les objets en mouvement rectiligne uniforme ont pour ligne d'univers une droite), la fusée en accélération (propre) constante suivant x a une ligne d'univers courbe. L'astronaute dedans jette ses cailloux. Ils ont alors un mouvement rectiligne uniforme (une fois la première impulsion donnée il n'y a plus de force qui s'exerce), donc les lignes d'univers des cailloux, une fois lancés, sont des droites. Si on projette les lignes d'univers sur un hyperplan de coordonnée t constante, on obtient les trajectoires dans un reférentiel galiléen, et ce sont des belles droites.

Oui là dessus on est d'accord, voir pièce jointe figure de gauche.

Si on représente la situation dans un repère de Rindler T,X,y,z, choisi de façon à ce que la fusée occupe constamment les mêmes coordonnées spatiales, la ligne d'univers de la fusée est maintenant une droite et les lignes d'univers des cailloux sont courbes. Si on les projette dans un hyperplan de coordonnée T constante, on obtient en assez bonne approximation (tant que les vitesses des cailloux par rapport à la fusée sont faibles devant c) de magnifiques trajectoires paraboliques.
Voilà donc une façon d'appréhender qu'à une trajectoire courbe corresponde une géodésique "droite".

Si je ne me trompe pas on devrait obtenir quelque chose dans le gout de la figure de droite. Est-ce cela dont tu parles avec la parabole ?

Pour décrire rapidement le dessin, à un moment le voyageur accéléré va envoyer 5 projectiles : deux à c devant et derrière (rouge), un va être lâché sans vitesse initiale (bleu), un va être lancé exactement à la vitesse qu'a le voyageur par rapport à l'espace et deviendra immobile (pointillé noir) et enfin un va être lancé vers l'avant de façon à ce que son accélération lui permettre de le rattraper (vert).

si une ligne d'univers est une géodésique, c'est une géodésique quelque soit la représentation. Une ligne d'univers se fout royalement du système de coordonnées qu'on utilise pour la décrire ou du repère qu'on utilise pour la représenter. C'est un objet géométrique en lui-même, indépendamment de tout repère, coordonnée, représentation, qui sont des artifices arbitraires. La ligne d'univers d'un objet en MRU est une géodésique. Ensuite si on utilise un système de coordonnées adapté (comme du Lorentz), alors la représentation de cette géodésique sera une droite (et réciproquement, toute ligne d'univers représentée par une droite est une géodésique dans ce système de coordonnées, en espace-temps plat bien sûr). Si on utilise un autre système de coordonnées pour représenter la même situation, les géodésiques ne seront pas forcément représentées par des droites.
Si on prend les coordonnées de Rindler, les géodésiques ne sont pas représentées par des droites (et réciproquement les droites ne représentent pas des géodésiques). Les coordonnées de Rindler sont construites exprès pour que les lignes d'univers de certains mouvement accélérés soient représentées par des droites.

C'est là dessus que j'ai un doute... pour moi les droites de Minkovski (MRU) qui deviennent courbes en Rindler "redressé" (que je n'ai jamais vu ) sont les géodésiques d'un espace temps plat (définies comme droites non accélérées) et ce qui est courbe chez Minkovski et droite en Rindler "redressé" n'en est pas une.

Techniquement, on peut voir cela de la façon suivante : les coordonnées sont des champs scalaires dans l'espace-temps, définis arbitrairement. En prenant en un point les gradients de ces champs, on construit les vecteurs de base locaux, qui forment une tétrade (comme un trièdre mais en 4D). En parcourant une ligne d'univers, d'un point à l'autre, la tétrade peut changer (certains vecteurs s'allongent, se raccourcissent, s'éloignent, se rapprochent, tournent). Si on choisi un système de coordonnée dit "normal" (comme c'est le cas de celles de Lorentz), il se trouve que la tétrade ne bouge pas le long d'une géodésique. Par contre, le long d'une ligne non géodésique, la tétrade va changer, ce changement étant décrit par la dérivée covariante.
Si sur un repère de Rindler 2D T,X on représente les lignes de niveaux des coordonnées de Lorentz t,x (une ligne pour x=0, une pour x=1, x=2,3,4,5 etc, puis pour t=0, 1,2,3,4 etc), en chaque point on peut dessiner un diédre e_t,e_x. Si on regarde le long d'une ligne verticale, pas dur de voir que le dièdre change quand on la parcourt : ce n'est pas une géodésique. Par contre si on regarde le long d'une ligne de x constant (x de Lorentz, pas X de Rindler hein), on voit que le dièdre ne change pas. C'est une géodésique.

J'ai du mal à comprendre comment tu places ta tétrade dans ces repères, un petit dessin pourrait faire gagner du temps

En considérant qu'il n'y a pas de frottements avec l'air, un observateur en chute libre au voisinage des projectiles constatera que leur mouvement est rectiligne uniforme. Dans le repère naturel de cet observateur en chute libre, les lignes d'univers des projectiles sont représentées par des droites. Le pas franchi par Einstein, avec son principe d'équivalence, c'est de considérer que les lignes d'univers correspondant à la chute libre sont des géodésiques. Ainsi le repère naturel de l'observateur en chute libre est en fait en coordonnées locales de Lorentz. Et à l'inverse le repère d'un observateur au sol est très similaire, localement, au repère de Rindler.

Oui je suis plus d'accord avec ça. En Rindler "redressé" la trajectoire pointillée peut être assimilée à une "chute libre" en repère accéléré, quand le voyageur est fixe dans le repère accéléré. Un caillou jeté en l'air va bien suivre une géodésique d'ascension/chute mais celui qui reste au sol (accéléré) ne suit pas une géodésique. Enfin, c'est ce que j'aimerais comprendre...

Point technique pour faire le parallèle avec le paragraphe précédent, les coordonnées sont toujours des champs scalaires, mais cette fois pas sur un espace-temps plat tout bête, mais sur une variété. Les gradients de ces champs scalaires ne sont pas dans la variété, mais dans le tangent à la variété (parce que la variété ne contient pas de vecteur, ce n'est pas un espace vectoriel, petit détail en passant, même avec un espace-temps plat tout bête, les gradients sont dans le tangent, mais comme l'espace-temps et le tangent sont tout deux des espaces vectoriels, ils sont implicitement confondus). Donc on a, comme précédemment, un champ de tétrade sur la variété. En parcourant une ligne d'univers, on regarde comment la tétrade change et ça détermine si c'est une géodésique ou non.

Ouch !.. pas facile à digérer, il va falloir réunir toute ta puissance de pédagogue pour faire passer ce message

Merci d'avance

[mach3]

Oui d'accord, ci joint la version corrigée.
On voit que les vecteurs unitaires en rouge/bleu/noir ont tous la même longueur car la 4-vitesse vaut 1, mais que dans l'espace de celui qui est fixe (noir) alors on peut définir par projection de ce vecteur une vitesse 3D (1D ici en vert).
Pour aller plus loin je dirais même que le vecteur vitesse 3D est de genre espace "pur" pour noir (colinéaire à l'espace) et que la 4-vitesse est de genre temps "propre" puisqu'il se mesure le long de la ligne d'univers.

Le troisième dessin à droite montre une accélération en espace plat et on voit que la 4-vitesse est invariante mais que la vitesse 3D augmente.

c'est un peu mieux, un point de détail par contre, les vecteurs unitaires sont représentés par des flèches de longueur constante quelque soit l'angle qu'ils forment avec la verticale : c'est donc de la géométrie euclidienne. Cela n'empêche pas de se familiariser, mais on fait alors de la géométrie dans l'espace, pas dans l'espace-temps.
La métrique de Minkowski fait que si on représente les coordonnées de Lorentz (t et x, en unités géométriques telles que c=1) comme un repère orthonormé sur un support euclidien (feuille de papier, tableau blanc,...), alors les vecteurs unitaires sont représentés par des flèches qui s'allongent avec l'angle qu'elles font avec l'axe de la coordonnée t (leur longueur tend vers l'infini quand l'angle tend vers 45°). Pour rappel son expression en coordonnées de Lorentz est :
(les signes peuvent être inversés suivant la convention choisie)
Ce qui fait que l'ensemble des vecteurs unitaire de genre temps forment dans le plan (t,x) une hyperbole telle que t²-x²=1
A comparer avec la métrique d'Euclide en coordonnées cartésiennes:

qui font que l'ensemble des vecteurs unitaires forment dans le plan (x,y) un cercle tel que x²+y²=1

Ensuite il n'est pas évident de faire une représentation convaincante car Euclidienne. J'ai pas mal d'objections qui me viennent, mais je n'arrive pas à les formuler de façon claire.

Sinon, les inventions du style "genre espace pur" (c'est quoi un genre espace impur? il n'y a que 3 genre, espace, nul et temps) ou "genre temps propre" (idem, c'est quoi un genre temps impropre?), c'est à éviter, il y a déjà assez de concepts à assimiler, inutile d'en rajouter.

Pour moi, mais tu n'as pas l'air d'accord, cette trajectoire n'est plus une géodésique. Je pense que ces trajectoires sont toutes des géodésiques de l'espace car ce sont des lignes droites (pas d'accélération suivant y,z), que les deux premiers dessins montrent des géodésiques de l'espace temps mais que le troisième n'est pas une géodésique d'espace temps car elle subit une accélération de long de sa trajectoire. A discuter...

La ligne d'univers d'un mouvement accéléré (au sens qu'il y a une accélération dite "propre", à différencier d'une accélération dite "coordonnée") n'est pas une géodésique, je ne crois pas avoir dit le contraire.

Si je ne me trompe pas on devrait obtenir quelque chose dans le gout de la figure de droite. Est-ce cela dont tu parles avec la parabole ?

Pour décrire rapidement le dessin, à un moment le voyageur accéléré va envoyer 5 projectiles : deux à c devant et derrière (rouge), un va être lâché sans vitesse initiale (bleu), un va être lancé exactement à la vitesse qu'a le voyageur par rapport à l'espace et deviendra immobile (pointillé noir) et enfin un va être lancé vers l'avant de façon à ce que son accélération lui permettre de le rattraper (vert).

Oui, ça à l'air correct, par contre attention à l'usage de "par rapport à l'espace", qui ne veut strictement rien dire (l'espace n'est pas une référence), ou "immobile" qui ne veut rien dire si on ne précise pas par rapport à quoi. Je vais reformuler la phrase pour qu'elle soit correcte et sans aucune ambiguité : "à un moment le voyageur accéléré va envoyer 5 projectiles : deux à c devant et derrière (rouge), un va être lâché sans vitesse initiale par rapport au voyageur (bleu), un va être lancé vers l'arrière de façon à occuper, dans le système de coordonnées de Lorentz utilisé dans le schéma, des coordonnées spatiales constantes (pointillé noir) et enfin un va être lancé vers l'avant de façon à ce que son accélération lui permettre de le rattraper (vert).

C'est là dessus que j'ai un doute... pour moi les droites de Minkovski (MRU) qui deviennent courbes en Rindler "redressé" (que je n'ai jamais vu ) sont les géodésiques d'un espace temps plat (définies comme droites non accélérées) et ce qui est courbe chez Minkovski et droite en Rindler "redressé" n'en est pas une.

un doute sur quoi exactement? sinon, c'est bien ce que j'ai dit, les géodésiques de l'espace-temps plat (des droites dans les coordonnées de Lorentz) sont des mouvements rectilignes uniformes. Toutes les autres lignes d'univers (non géodésiques, des courbes dans les coordonnées de Lorentz), sont des mouvements accélérés quelconques. Les coordonnées de Rindler sont conçues (c'est une création arbitraire, comme tout système de coordonnée) pour que certains mouvements rectilignes uniformément accélérés soit représentées par des droites. Ce faisant les géodésiques n'y sont pas représentées par des droites.

J'ai du mal à comprendre comment tu places ta tétrade dans ces repères, un petit dessin pourrait faire gagner du temps

Je verrais si j'ai le temps...

Oui je suis plus d'accord avec ça. En Rindler "redressé" la trajectoire pointillée peut être assimilée à une "chute libre" en repère accéléré, quand le voyageur est fixe dans le repère accéléré. Un caillou jeté en l'air va bien suivre une géodésique d'ascension/chute mais celui qui reste au sol (accéléré) ne suit pas une géodésique. Enfin, c'est ce que j'aimerais comprendre...

Pas sûr de bien comprendre. Toutefois, localement, un observateur au sol d'une planète va expérimenter rigoureusement la même chose qu'un observateur dans une fusée en mouvement rectiligne uniformément accéléré, c'est l'essence du principe d'équivalence. Vu d'une certaine façon, le sol accélère vers le haut, et accélère avec lui tout ce qu'il porte (via l'interaction électromagnétique -entre autres- qui empêche les corps de traverser le sol et les contraint à suivre l'accélération, comme c'est le cas du plancher d'une fusée). Il va à la rencontre des objets dits "en chute libre", même si leur vitesse est orientée à son opposé, il peut finir par les rattraper (du moment qu'ils n'aient pas le temps d'aller trop loin pour que le "localement" ne devienne pas caduque), par exemple les objets lancés du sol. Bien noté qu'il s'agit d'une équivalence locale...

m@ch3

[invite5febd2de]

Salut et merci,

c'est un peu mieux, un point de détail par contre, les vecteurs unitaires sont représentés par des flèches de longueur constante quelque soit l'angle qu'ils forment avec la verticale : c'est donc de la géométrie euclidienne. Cela n'empêche pas de se familiariser, mais on fait alors de la géométrie dans l'espace, pas dans l'espace-temps.
La métrique de Minkowski fait que si on représente les coordonnées de Lorentz (t et x, en unités géométriques telles que c=1) comme un repère orthonormé sur un support euclidien (feuille de papier, tableau blanc,...), alors les vecteurs unitaires sont représentés par des flèches qui s'allongent avec l'angle qu'elles font avec l'axe de la coordonnée t (leur longueur tend vers l'infini quand l'angle tend vers 45°).

Alors oui et non...
D'abord l'ancien était juste faux et d'après ce que tu décris les vecteurs auraient du se prolonger jusqu'à l'horizontale (voir nouvelle version jointe, dessin de gauche). Ceci nous donne une version classique de la 4-vitesse. Et on aurait du en rester là pour l'instant

En intégrant la relativité on obtient le dessin de droite que tu décris en gras. Ils sont tels qu'au croisement avec l'horizontale leur temps propre vaut t/gamma et qu'à la pointe de la flèche il vaut t. Le vecteur est donc l'unité de temps propre du voyageur. Est-ce le sens de "la norme du quadrivecteur vaut 1" ?

Je sèche sur l'espace courbe, or c'est justement là que ça devient interessant.
On peut commencer par des géodésiques d'espace temps courbe sans relativité puis adapter et voir où ça nous mène ?

Sinon, les inventions du style "genre espace pur" (c'est quoi un genre espace impur? il n'y a que 3 genre, espace, nul et temps) ou "genre temps propre" (idem, c'est quoi un genre temps impropre?), c'est à éviter, il y a déjà assez de concepts à assimiler, inutile d'en rajouter.

Le genre "espace pur" désignerait l'horizontale parfaite coicident à l'espace de l'observateur à différencier de l'éventail des "déplacements" de genre espace entre ] c et l'infini [ (l'infini étant cette horizontale). Ce n'est évidement pas un terme officiel...

Et le "genre temps propre" définit le vecteur unitaire(en temps propre) colinéaire à une trajectoire quelconque, puisque la ligne d'univers est un axe de temps propre en toute circonstance, ici c'est un vecteur régulier le long d'une droite. Mais il est vrai que toute trajectoire rectiligne entre [ v=0 et c [ pourrait revêtir des vecteurs, tous de genre temps propre, le "propre" est donc inutile, ok...

[invite5febd2de]

Suite,

Oui, ça à l'air correct, par contre attention à l'usage de "par rapport à l'espace", qui ne veut strictement rien dire (l'espace n'est pas une référence), ou "immobile" qui ne veut rien dire si on ne précise pas par rapport à quoi. Je vais reformuler la phrase pour qu'elle soit correcte et sans aucune ambiguité : "à un moment le voyageur accéléré va envoyer 5 projectiles : deux à c devant et derrière (rouge), un va être lâché sans vitesse initiale par rapport au voyageur (bleu), un va être lancé vers l'arrière de façon à occuper, dans le système de coordonnées de Lorentz utilisé dans le schéma, des coordonnées spatiales constantes (pointillé noir) et enfin un va être lancé vers l'avant de façon à ce que son accélération lui permettre de le rattraper (vert).

Ok, ça me va

La ligne d'univers d'un mouvement accéléré (au sens qu'il y a une accélération dite "propre", à différencier d'une accélération dite "coordonnée") n'est pas une géodésique, je ne crois pas avoir dit le contraire.
[...]
un doute sur quoi exactement? sinon, c'est bien ce que j'ai dit, les géodésiques de l'espace-temps plat (des droites dans les coordonnées de Lorentz) sont des mouvements rectilignes uniformes. Toutes les autres lignes d'univers (non géodésiques, des courbes dans les coordonnées de Lorentz), sont des mouvements accélérés quelconques. Les coordonnées de Rindler sont conçues (c'est une création arbitraire, comme tout système de coordonnée) pour que certains mouvements rectilignes uniformément accélérés soit représentées par des droites. Ce faisant les géodésiques n'y sont pas représentées par des droites.

Oui il y a eu quiproquo, pour moi les coordonnées de Rindler designent les trajectoires hyperboliques + temps rayonnant et alors que pour toi il s'agit de ce que j'ai appelé Rindler "redessé". Et c'est plutot étonnant car je ne les ai jamais vues sous cette forme, as tu un exemple ?

Je commencais d'ailleurs à douter du sens d'une telle figure car il faut la lire comme ceci :
- les verticales sont des trajectoires "parallèles" ayant une accélération constante différente. Elle augmente vers la gauche pour atteindre l'infini sur l'horizon, à droite elle diminue
- si les droites rayonnantes deviennent les horizontales du dessin alors ce n'est pas un temps propre qu'on y lit à part pour une seule trajectoire de reference. Par exemple, une droite à mi "distance" de l'horizon aura un accélération double et un temps propre divisé par deux sur l'horizontale.

Si on devait "redresser" le temps propre alors toutes les trajectoires excepté "c vers l'avant" retomberont sur l'horigine (0;0), si je ne raconte pas de c...
On devrait quand même continuer à voir une hyperbole "localement" ce qui confirmerait ce que tu dis. Mais je me demande de plus en plus ce que tu appelles coordonnées de Rindler ?

Pas sûr de bien comprendre. Toutefois, localement, un observateur au sol d'une planète va expérimenter rigoureusement la même chose qu'un observateur dans une fusée en mouvement rectiligne uniformément accéléré, c'est l'essence du principe d'équivalence. Vu d'une certaine façon, le sol accélère vers le haut, et accélère avec lui tout ce qu'il porte (via l'interaction électromagnétique -entre autres- qui empêche les corps de traverser le sol et les contraint à suivre l'accélération, comme c'est le cas du plancher d'une fusée). Il va à la rencontre des objets dits "en chute libre", même si leur vitesse est orientée à son opposé, il peut finir par les rattraper (du moment qu'ils n'aient pas le temps d'aller trop loin pour que le "localement" ne devienne pas caduque), par exemple les objets lancés du sol. Bien noté qu'il s'agit d'une équivalence locale...

On doit parler de la même chose, la quasi-parabole du Rindler "redressé", c'est une des questions qui étaient posées. Je n'avais jamais vu les choses sous cet angle et je t'en remercie.

[invite5febd2de]

Tentative d'extrapolation douteuse...

Si on prend la vitesse de libération et qu'on fait l'intégrale de la formule (y=2xracine(r)), on doit touver la courbe telle que pour toute valeur de r, la vitesse soit le vecteur tangent à la courbe. Serait-ce la forme d'un espace temps courbe ? J'ai un petit doute compte tenu de la definition vue précédement... je la soumets pour critique, ça peut peut être faire avancer le Schimili.. le Schmilblikli ... le Schimiibilikii

Merci d'avance

[mach3]

Alors oui et non...
D'abord l'ancien était juste faux et d'après ce que tu décris les vecteurs auraient du se prolonger jusqu'à l'horizontale (voir nouvelle version jointe, dessin de gauche). Ceci nous donne une version classique de la 4-vitesse. Et on aurait du en rester là pour l'instant

Alors oui et non, parce que ce genre d'approche (faire de la physique classique avec les outils mathématiques de la relativité générale) peut mener droit à la théorie de Newton-Cartan, une reformulation de la mécanique classique, pas vraiment plus simple que la relativité générale. C'est cependant intéressant, parce que dans cette reformulation (qui n'introduit rien de nouveau par rapport à la mécanique de Newton, c'est juste un coup de vernis mathématique par dessus), l'espace-temps est courbe comme dans la RG et les trajectoires de chute libre sont des géodésiques comme dans la RG. La difficulté étant dans la structure un peu batarde temps absolu + espace avec métrique euclidienne, qui ne permet pas d'appréhender la courbure via la métrique (on est pas dans une variété (pseudo)Riemannienne, mais si je me trompe pas, un truc plus général qui s'appelle variété topologique, à vérifier, dans lequel la définition d'une géodésique est plus générale). Il faudra que je relise des trucs avant de pouvoir en dire plus.

La suite plus tard, faut que je bosse là

m@ch3