Géodésiques lumière et autres trajectoires

[Amanuensis]

je pense que c'est le concept de "déviation géodésique" qui répond à cela (si je comprends "cuvette" dans le sens qu'il faut). La déviation géodésique décrit comment deux géodésiques d'une même "famille" (ce sera à préciser dans un futur post) s'écartent ou s'approchent l'une de l'autre. La déviation géodésique fait intervenir le tenseur de Riemann (le fameux), et c'est peut être une des façons de le définir (à vérifier). Formellement, cela s'écrit
, avec u, le vecteur tangent à l'une des deux géodésique, n, le vecteur "séparant" les deux géodésiques, le nabla symbolise la dérivée covariante. R(...,u,n,u) est le tenseur de Riemann, utilisé comme application linéaire transformant un triplet de vecteur en un unique vecteur (les pointillés, c'est parce qu'il y un "slot" inutilisé ici, dans lequel on peut insérer une forme linéaire).

Je reprends (mieux ?) le cas d'une boule de poussière en chute radiale près d'une planète (solution de Schwarzschild): si on prend pour u la quadrivitesse du centre, sa partie spatiale est radiale ; pour n le 4-vecteur spatial séparant le centre et la poussière considérée, alors le résultat (un 4-vecteur) est la déviation du mouvement de cette poussière par rapport au mouvement du centre (la partie spatiale donne l'éloignement ou le rapprochement tant en direction qu'en module, et la partie temporelle le rythme de décalage temporel).

À vérifier.
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[mach3]

Je reprends (mieux ?) le cas d'une boule de poussière en chute radiale près d'une planète (solution de Schwarzschild): si on prend pour u la quadrivitesse du centre, sa partie spatiale est radiale ; pour n le 4-vecteur spatial séparant le centre et la poussière considérée, alors le résultat (un 4-vecteur) est la déviation du mouvement de cette poussière par rapport au mouvement du centre (la partie spatiale donne l'éloignement ou le rapprochement tant en direction qu'en module, et la partie temporelle le rythme de décalage temporel).

Il me semblait que c'était la variation de déviation (un "genre" d'accélération) et pas seulement la déviation (un "genre" de vitesse). J'ai quelques chapitres à relire en profondeur... vraiment difficile d'avoir du temps pour ça en ce moment, c'est frustrant.

Rigide : un système de coordonnées 1+3 tel que la métrique aient les coefficients des termes des coordonnées spatiales indépendants de la coordonnée temporelle.

(Si tous les coefficients sont indépendant de la coordonnée temporelle, c'est un espace-temps stationnaire (et statique si métrique diagonale en plus ou peut-être sans termes «rectangle» temps-espace).)

Ok, donc Rindler est rigide. Par contre dans les coordonnées de "mach3" la métrique semble s'exprimer (je n'exclu pas une erreur) :



Il y a bien un terme rectangle, et le terme en dX² n'est pas indépendant de T. ni statique, ni stationnaire, ni rigide. Ok pour ça

Je répondrais aux autres messages plus tard.

m@ch3

[Amanuensis]

Il me semblait que c'était la variation de déviation (un "genre" d'accélération) et pas seulement la déviation (un "genre" de vitesse).

Oui, effectivement.

Sur la sphère, on la distance entre deux grands cercles de mêmes pôles (= parallèles sur l'équateur commun) et d'angle au pôle μ, la distance mesurée sur un parallèle varie comme ν(α) = cos(α)µ, avec α la latitude, c'est en µ(1-α²/2) autour de α=0, la dérivée première est nulle mais la seconde non nulle, égale à µ/2...

[mach3]

Je ne suis pas trop d'accord sur ce point, d'abord parce qu'on pourrait très bien construire un système où le temps T resterait rayonnant avec des trajectoires accélérées toujours verticales, ensuite parce que cette orthogonalité entre X et T n'est pas l'orthogonalité de Minkowski qu'on pourrait retrouver en considérant le vecteur instantané colinéaire à la trajectoire (vitesse) et en le changeant de repère (comme tu m'expliquais pour la 4-vitesse) il retrouvera ses valeurs 1(temporelle) et 0(déplacement). A cet instant précis, qu'il soit accéléré ou en MRU ça ne change rien à ce qu'il verrait, je crois...

Si si, le 4-vecteur d'un immobile de Rindler est tangent à la ligne de X(rindler) constant qu'il parcourt et est orthogonal à la ligne de T(Rindler) constant au point considéré. La position, en Lorentz (t,x), d'un immobile de Rindler est de la forme . Ce vecteur est tangent à la ligne de T(Rindler) constant. Les coordonnées du 4-vecteur vitesse sont . Ce vecteur est tangent à la ligne de X constant. Si on fait le produit scalaire, on trouve : c'est orthogonal.

m@ch3

[Amanuensis]

Par contre dans les coordonnées de "mach3" la métrique semble s'exprimer (je n'exclu pas une erreur) :

Bizarre. Elle est dégénérée en T² = X^4/(x²-1), normal?

(En coordonnées de Rindler, la métrique est dégénérée en x=0)

[Amanuensis]

Pour la rigidité, une référence est https://en.wikipedia.org/wiki/Born_rigidity

[mach3]

Bizarre. Elle est dégénérée en T² = X^4/(x²-1), normal?

(En coordonnées de Rindler, la métrique est dégénérée en x=0)

sans doute l'endroit où les courbes X(mach3) ont une pente à 45° dans un Lorentz orthonormé. Je n'ai pas pris le temps de vérifier.

m@ch3

[mach3]

Concernant la forme parabolique des géodésiques dans les coordonnées de Rindler, petit calcul :

Soit (t,x) des coordonnées de Lorentz et () des coordonnées de Rindler, le passage de l'un à l'autre, sous forme différentielle, peut s'écrire :




Pour un mobile en mru, on a :


, avec l'angle hyperbolique de la ligne d'univers (on a et ) et le temps propre du mobile en mru

Remis dans les équations précédentes :




petit coup d'oeil à un formulaire de trigonométrie hyperbolique :




La vitesse coordonnée de Rindler est donc :



Si X=1/g, et petit, on a :

: la vitesse coordonnée diminue linéairement avec le temps coordonnée T (comme la vitesse verticale dans le référentiel terrestre)

Mieux, si on va un cran plus loin, l'accélération coordonnée de Rindler est (sans approximation) :

, soit si X=1/g

On a un comportement qui mime un champ de gravité, en générant des lignes d'univers paraboliques (en 1ere approximation, il faut que l'angle hyperbolique entre la ligne d'univers de l'objet en mru et la ligne d'univers de l'immobile de Rindler soit faible et que X ne varie pas beaucoup).

On doit pouvoir faire encore mieux, en décrivant un mru à la fois suivant x (chute) et y (mouvement latéral) et montrer que la trajectoire en coordonnées de Rindler est de type (X=aY²+bY+c) si l'angle hyperbolique est petit. Je ferais ça une autre fois peut-être.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Salut,
ton précédent message est très peu intuitif ( amha)
Soit Orange inertiel dans une station spatiale.
A T<0s, Rouge se trouve à Rq=15 000 000s.l de Orange, Vert à Ro 30 000 000s.l de Orange, Bleu à 60 000 000s.l de Orange.

à T=0s Rouge Vert et Bleu s'éloignent de Orange avec une accélération propre de q°=c/Rq ; g° = c/Ro ; p° = c/Rp.

Plaçon nous du point de vue de Vert. de T=0s à T= 22 500 000 =Ro*Sinh (Atanh(0.6)) , Xv = Ro*Cosh( Atanh(0.6)) , Vert ne verra pas Rouge et Bleu accélérer.

Donc pour 0s < T < 22 500 000s,
Colonne A : V= Choisr V entre 0 et 0.6c
Colonne B : v° = ATANH(V)
Colonne C : Ro = 30 000 000
Colonne D : Xv = Ro * COSH(v°)
Colonne E : X = Rq - Xv (pour Rouge) X = Rp - Xv (pour Bleu) X =-Xv (pour Orange)
Colonne F : S = -X (pour Rouge) S= X (pour Bleu) S = - X (pour Orange)
Colonne G : X' = X * COSH(v°) + S * SINH(v°)
Colonne H : Y = Ro*v°

Je coordonne en f° de Tv° = Ro*v° et ça donne ceci :


On voit que quand V->oo , la distance apparente Xo' -> -Ro/2 (ce qui peut être intéressent pour passer d'un potentiel en GM/Ro à 2GM/Xo')

Pour la chute libre si Vert était amarré à une bouée la bouée lui paraîtra en chute libre :
Colonne A : Tv° ( choisir la durée propre écoulée pour Vert)
Colonne B : v° = Tv°/Ro
Colonne C : Xv = Ro * Ch(v°)
Colonne D : X = Ro - Xv
Colonne E : S = -X
Colonne F : X' = X * COSH(v°) + S * SINH(v°).

Vert ne verra jamais la bouée atteindre Orange (horizon de Rindler)

[Zefram Cochrane]

à partir de V=0.6c, Vert verra Rouge et Bleu stationnaires par rapport à lui mais Orange continuera à s'approcher de manière apparente car Vert ne verra jamais Orange àà T=0s

[mach3]

Salut,
ton précédent message est très peu intuitif ( amha)

et les tiens très peu compréhensibles et tombant comme des cheveux sur la soupe (amha), comme d'habitude.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Ce que j'ai dis dans mon précédent message ne fait qu'illustrer que si tu construit un vaisseau cylindrique avec des anneaux de propulsion répartis sur toute la longueur.
qu'à T=0s , les propulseurs s'allument et accélèrent le vaisseau (plus la section est proche de l'horizon de Rindler et plus l'accélération propre doit être grande).

Alors, un observateur à l'intérieur du cylindre sans repère extérieur, ne saurait pas s'il se trouve dans un champ de pesanteur.
C'est l'illustration du principe d'équivalence en tenant compte des coordonnées de Rindler ( donc sans approximation) et ayant un portée moins locale.

[invite5febd2de]

Bonsoir et merci,

Si si, le 4-vecteur d'un immobile de Rindler est tangent à la ligne de X(rindler) constant qu'il parcourt et est orthogonal à la ligne de T(Rindler) constant au point considéré. La position, en Lorentz (t,x), d'un immobile de Rindler est de la forme . Ce vecteur est tangent à la ligne de T(Rindler) constant. Les coordonnées du 4-vecteur vitesse sont . Ce vecteur est tangent à la ligne de X constant. Si on fait le produit scalaire, on trouve : c'est orthogonal.

Oui je suis d'accord pour dire que les droites du temps et les hyperboles des accélérés en coordonnées de Minkowski ont une "forme d'orthogonalité" qu'on peut mettre en évidence par changement de repère (ton Rindler orthogonal), ou réciproquement. Mais les droites rayonnantes en Minkowski ne sont pas l'espace des accélérés, je reste donc en désaccord avec cette démonstration.

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Pour la rigidité, une référence est https://en.wikipedia.org/wiki/Born_rigidity

Merci mais c'est pas grave je me passerai provisoirement de cette notion
Je retiens que Minkowski et Schwarzschild sont rigides.

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Salut,
ton précédent message est très peu intuitif ( amha)
Soit Orange inertiel dans une station spatiale.
A T<0s, Rouge se trouve à Rq=15 000 000s.l de Orange, Vert à Ro 30 000 000s.l de Orange, Bleu à 60 000 000s.l de Orange.

à T=0s Rouge Vert et Bleu s'éloignent de Orange avec une accélération propre de q°=c/Rq ; g° = c/Ro ; p° = c/Rp.

Plaçon nous du point de vue de Vert. de T=0s à T= 22 500 000 =Ro*Sinh (Atanh(0.6)) , Xv = Ro*Cosh( Atanh(0.6)) , Vert ne verra pas Rouge et Bleu accélérer.

Assez d'accord avec Mach3, ce n'est pas très clair... si on en croit ce que tu décris alors Vert verra rouge et bleu accélérer et on ne comprends pas pourquoi ce ne serait pas le cas... et tu dis que vert s'éloigne de orange mais dans ton graph "du point de vue de vert", orange se rapproche, plutôt contradictoire. On ne sait pas bien ce que sont les unités non plus.

---

Quoi qu'il en soit je trouve qu'on s'égare un peu du sujet, je ne suis pas contre les digressions mais là ça part un peu dans tous les sens
Pourrait on reprendre à :

Deux objets ayant des vitesses différentes (dans un repère donné) et partant en même temps du même point et dans la même direction vont attaquer la même "cuvette", mais sous un angle (hyperbolique) différent. Il n'y a pas une infinité de "cuvettes", une par vitesse de chute, mais il y a une infinité d'angles par lesquels attaquer une unique cuvette.

J'aimerai me concentrer sur ce point avec les difficultés mises en évidence au cours du fil :

- une cuvette qui est a priori tracée dans un référentiel rigide/classique, les "r constants" sont verticaux puisqu'elle EST la variation du temps propre local proche d'une masse (si ce n'est pas le cas merci de me réaiguiller). Peut être est il interessant de la représenter dan un repère où r ne serait pas un découpage régulier de l'axe des abscisses ?

- des trajectoires correspondant à des "vitesses d'attaque" différentes mais ayant un lien commun avec une cuvette unique. La difficulté ici devient donc : comment évolue la cuvette dans le temps, puisqu'elle est elle même tracée en 1D+temps ? Comment tracer les trajectoires qui sont en 1D+temps+temps ?

- enfin comment graduer les trajectoires en temps propre de manière à ce que l'intervalle soit toujours le fameux quadrivecteur de norme 1 quand on fait sa dérivée covariante par rapport au tangent, cad la trajectoire elle même pour un point donné ?

Pas gagné...

Merci pour votre aide

[mach3]

Oui je suis d'accord pour dire que les droites du temps et les hyperboles des accélérés en coordonnées de Minkowski ont une "forme d'orthogonalité" qu'on peut mettre en évidence par changement de repère (ton Rindler orthogonal), ou réciproquement. Mais les droites rayonnantes en Minkowski ne sont pas l'espace des accélérés, je reste donc en désaccord avec cette démonstration.

c'est à dire? ça veut dire quoi être l'espace des accélérés? et même être l'espace des quelque chose/quelqu'un tout court? je ne comprend pas le point.
Il n'y a qu'un seul espace-temps. Les découpages en temps et espace sont arbitraires (choix de coordonnées) et non physiques. Certains découpages sont plus pertinents que d'autre en ce qu'ils permettent un lien plus simple avec les mesures concrètes de distance ou de durée, mais ils ne sont pas plus physique pour autant.
Se faire à l'idée que les systèmes de coordonnées ou le découpage entre temps et espace NE SONT PAS physique est un passage important, nécessaire, essentiel. Sans cela on avance pas dans la compréhension de la relativité.
D'ailleurs d'un point de vue mesure concrète des distances, les coordonnées de Rindler sont assez pertinentes pour des distances petites devant X. Par exemple les mesures de distance par aller-retour de signaux lumineux entre deux immobiles de Rindler donnent les bons résultats en première approximation (la procédure étant de diviser par deux la durée d'aller-retour en secondes pour avoir la distance en secondes-lumière), c'est à dire pour des distances petites devant X. D'ailleurs cette mesure de distance entre deux immobiles de Rindler ne varie pas dans le temps (et là c'est sans approximation).

La suite plus tard

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Assez d'accord avec Mach3, ce n'est pas très clair... si on en croit ce que tu décris alors Vert verra rouge et bleu accélérer et on ne comprends pas pourquoi ce ne serait pas le cas... et tu dis que vert s'éloigne de orange mais dans ton graph "du point de vue de vert", orange se rapproche, plutôt contradictoire. On ne sait pas bien ce que sont les unités non plus.




Merci pour votre aide

Bonjour,
L'abscisse est le temps propre écoulé pour Vert depuis
L'ordonnée est la distance apparente en s.l, c'est-à-dire calculée grâce aux TLs pour un observateur comobile à Vert.
J'ai indexé l'abscise de Vert par la vitesse atteinte par lui par rapport à la station à

De T=0s à T= 22 500 000s, Vert accélère à g° = 10m/s² et s'éloigne de Orange. Tant qu'il n'a pas atteint la vitesse de 0.6c il ne verra pas Rouge et Bleu ( points rouges et Bleus)accélérer parce que la lumière de Rouge à T=0s et Bleu à T=0s ne lui est pas encore parvenu.
Du fait qu'il accélère, sa perception des distances change en permanence, c'est ainsi que Vert verra la distance apparente entre Rouge et lui diminuer et la distance apparente entre Bleu et lui s'accroître alors qu'il s'éloigne, dans le repère de la Station, de la position de Rouge quand il est en apesanteur et s'approche de celle de Bleu.

à partir de T=22 500 000s, Vert verra Rouge et Bleu accélérer avec une accélération propre q°=20m/s² pour Rouge et p°=5m/s² pour Bleu (flèches rouges et bleues) . Mais, Vert verra toujours,puisqu'il continue d'accélérer avec une accélération propre de g°=10m/s², une différence de 0.6c entre sa propre vitesse relative par rapport à la Station et celle de Rouge et Bleu par rapport à la Station.
Donc Vert les verra stationnaires par rapport à lui.

Soit Orange. A T=0s , il décide de s'éloigner de la station avec une accélération propre oo. Comme il est situé à T=0s au niveau de l'horizon de Rindler de Vert, Vert ne verra jamais Orange à T=0s et donc ne le verra jamais accélérer. Mais, comme sa perception des distances change constamment, il verra la distance apparente le séparant de Orange tendre vers Ro/2=(c/g°)/2= 15 000 000s.l

Maintenant si Bleu et Vert laissent dérouler un câble depuis leur capsule, Bleu de 30 000 000s.l et Vert de 15 000 000s.l Alors, les capsules pourront-etre reliées par ces câbles. Vert lira la graduation 15 000s.l sur son câble et Bleu 30 000 000s.l sur le sien. il y aura bien une longueur totale de câble déroulé entre Bleu et Rouge de 45 000 000s.l mais ils seront répartis sur les 11 250 000 + 45 000 000 = 56 250 000s.l de longueur apparente (du point de vue de Vert) séparant Bleu et Rouge.

Si, après que Vert eut atteint la vitesse de 0.95c, je positionne une câge d'ascenseur à un endroit du câble et réveille l'oncle Albert à l'intérieur, il pourrait croire qu'il n'est pas dans la câge d'ascenseur d'un vausseau de 3 capsules en train d'accélérer mais dans la câge d'ascenseur d'une tour situé à la surface d'une planète au niveau de Rouge et soumise à un champ de pesanteur engendré par la planète.

Peut être que les coordonnées de Rindler sont plus facile à présenter par un autre blais que le mien mais j'ignore lequel.

[mach3]

@Zefram

Ce qui me gène avec ce genre d'approche, c'est que la "distance apparente" (calculée grâce aux TLs) n'est jamais mesurée par qui que ce soit. Ce n'est pas un élément concret. Ce qui est concret c'est une durée d'aller-retour d'un signal, la comparaison de taille avec une règle étalon, une mesure de taille angulaire, de luminosité ou que sais-je, en prenant en compte les hypothèses de travail sous-jacente (notamment dans le cas de l'usage d'une règle étalon : à quelle point se tasse-t-elle à cause des contraintes si elle est accélérée dans le sens de sa longueur...).

Dans le cas de la mesure de distance avec aller-retour d'un signal, j'essaierais de poster un truc plus détaillé, qui montre que dans le voisinage de l'immobile de Rindler en X=1/g les différences de coordonnées X ou T de Rindler correspondent en 1ere approximation (coordonnée X des évènements considérés très proche de 1/g) aux mesures de durées et de distances que peut faire cet immobile. Cela illustre qu'au voisinage de X=1/g, les coordonnées de Rindler se comportent comme les coordonnées de Lorentz locale et cela permet donc des raisonnements classiques-avec-espace-absolu-sous-entendu-parce-que-c'est-confortable en terme de "distance apparente". Par contre plus on s'éloigne de X=1/g, plus ça déconne et plus le concept de "distance apparente" perd de sa substance. Ne restent que les vrais concepts de distance basés sur des mesures concrètes (e.g. radar, angulaire, luminosité).

J'essaierais de prendre le temps un de ces jours pour examiner les autres moyens de mesures, cela doit être très intéressant, mais plus complexe.

m@ch3

[mach3]

Deux objets ayant des vitesses différentes (dans un repère donné) et partant en même temps du même point et dans la même direction vont attaquer la même "cuvette", mais sous un angle (hyperbolique) différent. Il n'y a pas une infinité de "cuvettes", une par vitesse de chute, mais il y a une infinité d'angles par lesquels attaquer une unique cuvette.

J'aimerai me concentrer sur ce point avec les difficultés mises en évidence au cours du fil :

- une cuvette qui est a priori tracée dans un référentiel rigide/classique, les "r constants" sont verticaux puisqu'elle EST la variation du temps propre local proche d'une masse (si ce n'est pas le cas merci de me réaiguiller). Peut être est il interessant de la représenter dan un repère où r ne serait pas un découpage régulier de l'axe des abscisses ?

- des trajectoires correspondant à des "vitesses d'attaque" différentes mais ayant un lien commun avec une cuvette unique. La difficulté ici devient donc : comment évolue la cuvette dans le temps, puisqu'elle est elle même tracée en 1D+temps ? Comment tracer les trajectoires qui sont en 1D+temps+temps ?

- enfin comment graduer les trajectoires en temps propre de manière à ce que l'intervalle soit toujours le fameux quadrivecteur de norme 1 quand on fait sa dérivée covariante par rapport au tangent, cad la trajectoire elle même pour un point donné ?

Pas gagné...

Merci pour votre aide

Bon, on ne part pas dans la bonne direction. Quand je dis qu'il y a une unique cuvette, c'est une cuvette étendue dans l'espace-temps, pas une cuvette étendue dans l'espace et qui change dans le temps. Et une tranche de la cuvette à une coordonnée temporelle constante ne donne pas d'information sur les géodésiques de genre temps ou nul (celles correspondant à des mouvements de chute libre de particules avec ou sans masse), elle ne contient que des géodésique de genre espace, ne correspondant à aucun mouvement.

Pas le temps d'en rajouter pour l'instant.

m@ch3

[invite5febd2de]

@mach3

Oui je suis d'accord, le terme espace est mal choisi, c'est pourtant celui qui est employé pour parler du plan euclidien synchronisé. Dans le cas présent il s'agirait de tous les observateurs qui sont "paralleles" a un observateur réferent, cad qui auraient des trajectoires parallèles en Minkowski, suivant une meme courbe décalée horizontalement (tres different des paralleles en Rindler, ce que tu appelles Rindler, le "redressé"). On comprend alors qu'une horizontale ne peut pas etre "l'espace" de tous les accélerés en Rindler mais d'un seul, pour un seul evenement (a priori).

Ensuite dire que la "distance" entre immobiles de Rindler est constante est soit une evidence soit une erreur : une evidence si tu parles de la coordonnée X puisque tous ont une acceleration constante qui EST leur coordonnée X ; et une erreur si tu parles vraiment de distance car les trajectoires en Minkowki montrent clairement que cette distance (une vraie en metres pour un observateur fixe) n'est pas constante, et a mon sens toujours une erreur si tu parles du point de vue de l'observateur (a priori mais demande confirmation...) C'est mon point de vue, le debat reste ouvert

---

@Zefram

Voyons si je comprends ce que tu fais : Tu pars des trajectoires/formules de Rindler. Ensuite tu dresses un axe de temps gradué du temps propre de Vert et tu indiques par des fleches la vitesse acquise par rapport a Orange (l'immobile) pour une valeur donnée de temps propre de Vert. On voit qu'il faut de plus en plus de temps propre pour augmenter la vitesse d'un pourcentage identique, les dix derniers pourcents prendront un temps infini puisqu'il ne peut atteindre c.

Puis à l'horizontale de chaque bille verte tu vas representer "a plat" ce qu'il voit, cad la projection du cone passé, ce que notre cerveau interprete comme un plan d'age croissant avec la distance (en espace plat/non acceleré). Tu represente donc ce plan et la distance à laquelle Vert voit les autres, ceci compte tenu de l'aberration de la lumière à un instant donné qui, comme je le disais dans un autre message, sera la meme qu'un objet en MRU ayant a cet evenement la meme vitesse par rapport a Orange que Vert a alors acquise. Le graph montre donc que, malgré le fait qu'il s'éloigne d'Orange, celui ci semble se rapprocher du fait de l'aberration progressive de la lumière. Est ce bien cela ?

Si c'est le cas alors ça n'a rien d'un diagramme d'espace temps et il serait bon d'en informer le lecteur, la lumière va à l'horizontale a vitesse infinie (pourquoi pas cela dit mais ce n'est pas le sujet..). Ensuite j'ai l'impression intuitivement que c'est faux... comment en s'eloignant d'un objet, surtout avec une vitesse originelle nulle, peut on le voir se rapprocher ?! Tu devrais verifier tes calculs

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PS : double Hors sujet

[mach3]

@mach3

Oui je suis d'accord, le terme espace est mal choisi, c'est pourtant celui qui est employé pour parler du plan euclidien synchronisé. Dans le cas présent il s'agirait de tous les observateurs qui sont "paralleles" a un observateur réferent, cad qui auraient des trajectoires parallèles en Minkowski, suivant une meme courbe décalée horizontalement (tres different des paralleles en Rindler, ce que tu appelles Rindler, le "redressé"). On comprend alors qu'une horizontale ne peut pas etre "l'espace" de tous les accélerés en Rindler mais d'un seul, pour un seul evenement (a priori).

Pour un observateur en MRU dans l'espace-temps plat, il existe une synchronisation permettant que dans une tranche spatiale orthogonale à sa ligne d'univers, tous les objets immobiles par rapport à lui marquent le même temps.
Pour un observateur en MRUA dans l'espace-temps plat, une telle chose n'existe pas. Dans le cas d'observateurs ayant les même accélérations propres (trajectoires "parallèles" en Minkowski suivant une même courbe décalée horizontalement), il y a bien une tranche spatiale où ils restent synchronisés, mais d'une part elle n'est pas orthogonale aux lignes d'univers (sauf à t=0) et d'autres part ces observateurs NE SONT PAS immobiles les uns par rapports aux autres. J'y reviens au paragraphe suivant.
Les tranches de T constant en Rindler ont au moins le mérite d'être orthogonale aux lignes d'univers des immobiles de Rindler et dans ces tranches, les immobiles de Rindler sont immobiles les uns par rapport aux autres. Seul défaut, une absence de synchronisation.

Ensuite dire que la "distance" entre immobiles de Rindler est constante est soit une evidence soit une erreur : une evidence si tu parles de la coordonnée X puisque tous ont une acceleration constante qui EST leur coordonnée X ; et une erreur si tu parles vraiment de distance car les trajectoires en Minkowki montrent clairement que cette distance (une vraie en metres pour un observateur fixe) n'est pas constante, et a mon sens toujours une erreur si tu parles du point de vue de l'observateur (a priori mais demande confirmation...) C'est mon point de vue, le debat reste ouvert

La distance entre immobiles de Rindler EST constante, au sens le plus physique du terme :
-quelque soit sa façon de mesurer les distances (radar, règle, taille angulaire, luminosité), un immobile de Rindler trouvera une distance constante entre lui et un autre immobile de Rindler
-une corde tendue entre deux immobiles est soumise à une tension constante.

Au contraire, deux observateurs ayant le même MRUA (ligne d'univers identique à une translation près) ne sont pas à une distance constante :
-Les observateurs mesurent une distance à l'autre qui varie dans le temps
-une corde tendue entre les deux va se tendre puis se rompre

A ce propos, faire une recherche sur la "ficelle de Bell".

m@ch3

[invite5febd2de]

Re,

Bon, on ne part pas dans la bonne direction. Quand je dis qu'il y a une unique cuvette, c'est une cuvette étendue dans l'espace-temps, pas une cuvette étendue dans l'espace et qui change dans le temps. Et une tranche de la cuvette à une coordonnée temporelle constante ne donne pas d'information sur les géodésiques de genre temps ou nul (celles correspondant à des mouvements de chute libre de particules avec ou sans masse), elle ne contient que des géodésique de genre espace, ne correspondant à aucun mouvement.

Pas d'accord, en espace plat les geodesiques sont des droites. Ce qui les courbe est le champ gravitationnel et le champ c'est la cuvette puisque l'information locale est l'ecoulement relatif du temps par rapport à l'infini. Il y a forcement un lien entre courbure et trajectoires, et c'est ce lien qui m'interesse

Merci

[invite5febd2de]

Les tranches de T constant en Rindler ont au moins le mérite d'être orthogonale aux lignes d'univers des immobiles de Rindler et dans ces tranches, les immobiles de Rindler sont immobiles les uns par rapport aux autres. Seul défaut, une absence de synchronisation.

La distance entre immobiles de Rindler EST constante, au sens le plus physique du terme :
-quelque soit sa façon de mesurer les distances (radar, règle, taille angulaire, luminosité), un immobile de Rindler trouvera une distance constante entre lui et un autre immobile de Rindler
-une corde tendue entre deux immobiles est soumise à une tension constante.

Au contraire, deux observateurs ayant le même MRUA (ligne d'univers identique à une translation près) ne sont pas à une distance constante :
-Les observateurs mesurent une distance à l'autre qui varie dans le temps
-une corde tendue entre les deux va se tendre puis se rompre

A ce propos, faire une recherche sur la "ficelle de Bell"

Et bien j'aurais dit l'inverse, la ficelle de Bell ne casse pas et celle entre tes "immobiles" de Rindler casse, j'ai du mal à justifier tout ça.
Si on considère l'ensemble du système des deux fusées + la corde avec une accélération constante et synchronisée au départ, je ne vois pas en quoi le système va subir des déformations "physiques" autres que pour des observateurs. Les fusées ne seront plus synchronisées, au sens d'évènements contenus dans le plan "perpendiculaire" à leur ligne d'univers, mais qu'importe..?

Merci

[Zefram Cochrane]

@Zefram

Voyons si je comprends ce que tu fais : Tu pars des trajectoires/formules de Rindler. Ensuite tu dresses un axe de temps gradué du temps propre de Vert et tu indiques par des fleches la vitesse acquise par rapport a Orange (l'immobile) pour une valeur donnée de temps propre de Vert. On voit qu'il faut de plus en plus de temps propre pour augmenter la vitesse d'un pourcentage identique, les dix derniers pourcents prendront un temps infini puisqu'il ne peut atteindre c.

ok

Puis à l'horizontale de chaque bille verte tu vas representer "a plat" ce qu'il voit, cad la projection du cone passé, ce que notre cerveau interprete comme un plan d'age croissant avec la distance (en espace plat/non acceleré). Tu represente donc ce plan et la distance à laquelle Vert voit les autres, ceci compte tenu de l'aberration de la lumière à un instant donné qui, comme je le disais dans un autre message, sera la meme qu'un objet en MRU ayant a cet evenement la meme vitesse par rapport a Orange que Vert a alors acquise. Le graph montre donc que, malgré le fait qu'il s'éloigne d'Orange, celui ci semble se rapprocher du fait de l'aberration progressive de la lumière. Est ce bien cela ?

Oui et c'est pour ça que l'accélération est contrintuitive en RR. Ce qui est intéressant car tous les effets (sauf la réfraction gravitationnelle quoi que...) décrit par Einstein dans son article de 1912 puis par la RG se retrouvent chez Rindler. Donc en utilisant les coordonnées de Rindler on peut reprendre l'article de 1912 d'Einstein et le traiter sans approximation.

Si c'est le cas alors ça n'a rien d'un diagramme d'espace temps et il serait bon d'en informer le lecteur, la lumière va à l'horizontale a vitesse infinie (pourquoi pas cela dit mais ce n'est pas le sujet..). Ensuite j'ai l'impression intuitivement que c'est faux... comment en s'eloignant d'un objet, surtout avec une vitesse originelle nulle, peut on le voir se rapprocher ?! Tu devrais verifier tes calculs

Salut,
la condition pour que la ficelle de Bell ne casse par extension ou par compression est que l'horizon de Rindler soit le même pour tous les observateurs;
sur mon, schéma Orange d'où des distances de départ Rq et Rp différentes de Ro et des acélérations q° et p° différentes également.
donc si j'imagine un vaisseau constitué d'une chaîne de capsules avec Rouge à la poupe et Bleu à la proue, pour que la chaîne ne casse pas, il faudra que chaque capsule accélère à T=0s à une accélération propre spécifique fonction de la distance initiale la séparant de Orange.

L'effet d'aberration que j'appelle effet Doppler est à mettre en relation avec la vitesse apparente d'approche Va = 1.5c pour une vitesse coordonnée de V=0.6c et vitesse apparente d'éloignement Ve =3c/8

Ainsi en MRU à V=0.6c si Vert s'éloigne de Rouge à V=0.6c et s'approche de Bleu pendant une durée coordonnée T=60s ( durée propre T°=48s) distance entre Rouge et Bleu 36s.l
Vert verra Rouge s'éloigner lorsqu'il atteindra Bleu de T°*Ve = 48*3/8=18s.l soit 36/2 et il aura vu Bleu s'approcher de T°*Va=48*3/2=72s.l soit 36*2
donc Si on part du principe que Rouge et Bleu soit distants de 36000s.l et qu'au milieu on place Orange et si on fait accélérer Vert depuis Orange de manière à ce qu'en 1s il atteigne 0.6c; alors en une seconde, il verra Rouge passer d'une distance apparente de 36000s.l à 18000s.l environ et Bleu de 36000s.l à 72000s.l environ.
Donc mes calculs sont justes même s'ils sont contrintuitifs.

[invite5febd2de]

@mach3

Par exemple si on transpose les diagrammes a un espace temps courbe (comme tu l'as fait pour simuler la parabole de chute libre) alors ce que tu dis est vrai car Minkowski devient Kruskal et les hyperboles sont des r constants.

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Pour la cuvette sans doute qu'il faut 3 dimensions pour en decrire une seule spatiale : espace, temps et champ ?

Merci

[mach3]

Et bien j'aurais dit l'inverse, la ficelle de Bell ne casse pas et celle entre tes "immobiles" de Rindler casse, j'ai du mal à justifier tout ça.
Si on considère l'ensemble du système des deux fusées + la corde avec une accélération constante et synchronisée au départ, je ne vois pas en quoi le système va subir des déformations "physiques" autres que pour des observateurs. Les fusées ne seront plus synchronisées, au sens d'évènements contenus dans le plan "perpendiculaire" à leur ligne d'univers, mais qu'importe..?

Merci

Bon, je vois que la meconception profonde que je suspectais est bien là. Il n'y a pas d'avancée possible en RG sans s'être débarrassé de cette meconception.
Penser que la ficelle de Bell ne casse pas, c'est penser, même implicitement, en terme d'espace et de temps absolus.

On a du travail...

m@ch3

[invite5febd2de]

Salut,

On a du travail...

Je ne le nie pas.

[invite5febd2de]

Salut, pardon de ne pas avoir répondu plus tôt, j'ai peu de temps libre en ce moment,

Oui et c'est pour ça que l'accélération est contrintuitive en RR. Ce qui est intéressant car tous les effets (sauf la réfraction gravitationnelle quoi que...) décrit par Einstein dans son article de 1912 puis par la RG se retrouvent chez Rindler. Donc en utilisant les coordonnées de Rindler on peut reprendre l'article de 1912 d'Einstein et le traiter sans approximation.

Qu'est ce que la "réfraction gravitationnelle" stp ?
As tu fait la démonstration "sans approximation" dont tu parles ?

la condition pour que la ficelle de Bell ne casse par extension ou par compression est que l'horizon de Rindler soit le même pour tous les observateurs;
sur mon, schéma Orange d'où des distances de départ Rq et Rp différentes de Ro et des acélérations q° et p° différentes également.
donc si j'imagine un vaisseau constitué d'une chaîne de capsules avec Rouge à la poupe et Bleu à la proue, pour que la chaîne ne casse pas, il faudra que chaque capsule accélère à T=0s à une accélération propre spécifique fonction de la distance initiale la séparant de Orange.

Oui, je conçoit que les objets dont tu parles se trouveront toujours sur une digonale (en représentation de Minkowski) et donc qu'il auront tous, le long de cette diagonale une vitesse identique, puisque c'est une des caractéristique de l'intersection entre les hyperboles représentant une "accélération propre spécifique fonction de la distance initiale la séparant de Orange" et les droites rayonnantes. J'imagine donc que la diagonale devrait etre la corde puisqu'elle est l'espace commun de tous ces accélérés, sauf que ce n'est pas le cas... C'est amusant car cela renforcerait le parallèle entre la représentation de Rindler (selon mach3) et la gravité puisque le long de cet espace de longueur constante (corde) chaque accéléré a un temps qui s'écoule de moins en moins vite à l'approche de l'horizon (Rindler > évènements).

Ainsi en MRU à V=0.6c si Vert s'éloigne de Rouge à V=0.6c et s'approche de Bleu pendant une durée coordonnée T=60s ( durée propre T°=48s) distance entre Rouge et Bleu 36s.l
Vert verra Rouge s'éloigner lorsqu'il atteindra Bleu de T°*Ve = 48*3/8=18s.l soit 36/2 et il aura vu Bleu s'approcher de T°*Va=48*3/2=72s.l soit 36*2

Oui pour v=0,6c z+1=2 donc on trouvera ce facteur en Redshift radial et son inverse 1/2 en blueshift

donc Si on part du principe que Rouge et Bleu soit distants de 36000s.l et qu'au milieu on place Orange et si on fait accélérer Vert depuis Orange de manière à ce qu'en 1s il atteigne 0.6c; alors en une seconde, il verra Rouge passer d'une distance apparente de 36000s.l à 18000s.l environ et Bleu de 36000s.l à 72000s.l environ.
Donc mes calculs sont justes même s'ils sont contrintuitifs.

J'ai plutôt l'impression qu'ils sont faux.
Peux tu représenter la même scène en coordonnées de Minkowski ?

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Penser que la ficelle de Bell ne casse pas, c'est penser, même implicitement, en terme d'espace et de temps absolus.

Je veux bien admettre (voir plus haut) que la seule solution pour qu'elle ne casse pas est que les accélérations soient différentes ("proportionnelles à leur distance à l'origine/horizon, ainsi lorsque l'espace des accélérés va se pencher ils auront tous la même vitesse ET le même espace (il faudrait que je fasse un croquis..).

Mais dans l'expérience de Bell, j'ai du mal à concevoir concrètement par quel mécanisme la corde va casser. Par "cisaillement" de l'espace temps ?

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Pour réaiguiller le fil, l'objectif était de continuer sur les géodésiques : On s'est arrêtés à la définition de la géodésique d'espace temps + du 4-vecteur constant qui "découpe" les lignes d'univers non accélérées, mais il va maintenant falloir comprendre par quel mécanisme les géodésiques vont se courber et quel est lien avec le champ de gravité (autrement dit la cuvette).

Merci pour votre aide

[phys4]

Mais dans l'expérience de Bell, j'ai du mal à concevoir concrètement par quel mécanisme la corde va casser. Par "cisaillement" de l'espace temps ?

Pas besoin de cisaillement, si deux mobiles ont des accélérations identiques dans la direction qui les relie, alors leur distance ne peut pas être constante, elle augmente.
C'est une conséquence directe de la transformation de Lorentz : la distance dans la direction du déplacement dépend de la vitesse. Si la vitesse change, la distance également.

[Amanuensis]

Mais dans l'expérience de Bell, j'ai du mal à concevoir concrètement par quel mécanisme la corde va casser. Par "cisaillement" de l'espace temps ?

La corde casse parce qu'on tire dessus.

En fait, l'explication usuelle demande une idéalisation. Une corde non élastique casse à cause de son inertie et de la vitesse finie de la propagation de sa déformation.

Faut modifier la description de la situation pour qu'invoquer la RR soit nécessaire.

[mach3]

Oui, je conçoit que les objets dont tu parles se trouveront toujours sur une digonale (en représentation de Minkowski) et donc qu'il auront tous, le long de cette diagonale une vitesse identique, puisque c'est une des caractéristique de l'intersection entre les hyperboles représentant une "accélération propre spécifique fonction de la distance initiale la séparant de Orange" et les droites rayonnantes. J'imagine donc que la diagonale devrait etre la corde puisqu'elle est l'espace commun de tous ces accélérés, sauf que ce n'est pas le cas...

C'est pourtant de cela qu'il retourne, même si j'aime pas trop quand c'est dit comme ça.

Je veux bien admettre (voir plus haut) que la seule solution pour qu'elle ne casse pas est que les accélérations soient différentes ("proportionnelles à leur distance à l'origine/horizon, ainsi lorsque l'espace des accélérés va se pencher ils auront tous la même vitesse ET le même espace (il faudrait que je fasse un croquis..).

Mais dans l'expérience de Bell, j'ai du mal à concevoir concrètement par quel mécanisme la corde va casser. Par "cisaillement" de l'espace temps ?

Bon, ça fait des jours que j'essaie de trouver le bon angle d'attaque pour expliquer ça de façon correcte, complète, compréhensible, non ambigüe et n'entrainant pas de méconception. Pas simple...

Si on considère deux évènements, l'un à une extrémité de l'objet, l'autre à l'autre extrémité, et que le vecteur reliant ces deux évènements est orthogonal à la 4-vitesse de l'objet (*), alors l'intervalle entre ces deux évènements est la longueur propre de l'objet. C'est la longueur qu'un observateur en mouvement rectiligne uniforme mesure(**) pour un objet immobile par rapport à lui (l'observateur et l'objet ont la même 4-vitesse).
Si l'objet est en mouvement par rapport à l'observateur, on définit une longueur impropre. On exige cette fois que le vecteur entre les deux évènements se situant aux extrémités de l'objet soit orthogonal à la 4-vitesse de l'observateur, et non de l'objet. Il vient que cette longueur là est systématiquement plus petite que la longueur propre.

Donc maintenant, considérons une tige, dont les deux extrémités A et B ont des lignes d'univers dont l'une est l'image de l'autre par une translation orthogonale à une 4-vitesse (voir le schéma joint). Elles sont composés de 3 sections : une section rectiligne de 4-vitesse , une section accélérée puis une nouvelle section rectiligne de 4-vitesse .
Prenons deux évènements sur la première section rectiligne, l'un, sur A et l'autre sur B, tels que est orthogonal à , l'intervalle entre et , autrement dit la norme de nous donne alors la longueur propre de la tige.
Prenons deux autres évènements sur la dernière section rectiligne, et , tels que est orthogonal à , l'intervalle entre et est donc une longueur impropre de la tige. On trouve que . La longueur impropre pour ce couple d'évènements, censé être plus petite que la longueur propre, est la même que la longueur propre pour le couple d'évènements précédent : la longueur propre a donc augmenté entre les deux section rectilignes. La tige est plus longue. Elle a donc été soumise à une traction dans la section accélérée.
On peut voir dans l'autre sens, prendre et dans la dernière section rectiligne, tels que est orthogonal à . L'intervalle entre et est une longueur propre, plus grande que celle entre et .



m@ch3

*:4-vitesse du centre masse de l'objet pour être précis, les 4-vitesses des points de l'objet peuvent être tout autre si l'objet est en rotation ou en cours de déformation.
**: mesure faite suivant une certaine procédure qu'il serait un peu trop longue à décrire avec précision

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Pour V=0.6 [Cosh(v°)=5/4 ; Sinh(v°)=3/4]
Soit Vert à T<0 se trouvant au niveau de Rouge. à T=0s Vert s'éloigne de Rouge en TRUA pour qu'après avoir parcouru une distance x=24s.l il atteigne la vitesse V de 0.6c.

On prend l'origine au niveau de Orange situé à Rh de Vert à T=0s.
x = Rh*Cosh(v°) - Rh -> Rh = 96s.l -> Xv = 120s.l quand V atteint la vitesse V=0.6c à T=Rh*Sinh(v°) = 72s.
Dans son repère, à T=72s Vert voit Orange à la coordonnée Xo' = -Xv/2 = 60s.l et son horloge indique Ho = T - Xv = -48s, et il voit Rouge à Xr'=-12s.l et son horloge indique Hr= 48s

J'ai fait un "diagramme à la Minkowski" comme demandé, le point intéressant de ce diagramme est qu'il montre que l'axe de la coordonnées spatiale de Vert en TRUA intersecte Orange , l'horizon de Rindler de Vert et que cet axe est celui d'un observateur en MRU à V=0.6c comobile avec Vert