Contraction gravitationnelle d'une étoile

[TiluChris]

Bonjour

Je suis en train de travailler sur un sujet où l'on étudie une petite variation de rayon dR pendant dt, donnant une vitesse de contraction V = dR/dt, pour une étoile de rayon R et de masse M.

Mes données:
Masse volumique uniforme (donc m/M = r^3/R^3).
Energie potentielle E_p = -3/5 GM^2/R.

L'objectif est de relier la vitesse à la variation d'énergie potentielle.

Mon problème: Je ne suis pas sure de moi quand j'essaye de différencier l'énergie potentielle par rapport au temps, c'est à dire d'exprimer dE_p/dt.
Ce qui me perturbe: au rayon R initial, j'ai une masse M. Après la contraction dR, au rayon R - dR, j'ai une masse m telle que: m = M (R - dR)^3/R^3.
Donc, quand je différentie l'énergie potentielle, j'ai deux paramètres qui se différentient par rapport au temps: le rayon et la masse, et ça devient très compliqué.

Ma question: Est ce que je peux simplifier en considérant que pour une petite contraction dR, la variation de masse est négligeable? J'ai essayé en utilisant un développement limité en dR/R, mais j'obtiens quand même encore une expression assez compliquée.

Je serais contente d'obtenir un peu d'aide.

Merci par avance
-----

[Tryss2]

Si tu écris que

Alors



Ce qui n'est pas bien dur à dériver




Ce qui évalué en R donne



Donc en particulier,

[TiluChris]

Merci pour votre réponse. Je vois bien ce cheminement que j'ai déjà utilisé pour d'autres cas, mais là, il faut que j'arrive à une expression contenant dR/dt pour pouvoir faire intervenir la vitesse de compression. C'est l'objectif voulu.

Voici ce que je fais (désolée, j'ai des problèmes sur l'ordi que j'utilise qui rendent l'utilisation de l'éditeur d'équation pratiquement impossible).

d/dt(Ep) = d/dt(-3/5 GM^2/R) = -3/5G.d/dt(M^2/R)
Avec le terme entre parenthèse, dérivation simple d'un produit, je peux alors introduire V = dR/dt mais! Je me retrouve avec une terme dM/dt que je ne sais pas comment gérer.

[TiluChris]

Désolée pour cette réponse sur ma propre réponse, mais entre temps j'ai essayé un cheminement qui m'a permis de finalement différentier Ep par rapport au temps. Du fait que la masse volumique est uniforme, soit m et r la masse et le rayon après la contraction dR, on a: m/M = r^3/R^3. Donc, la masse volumique est constante au cours du temps.
Du coup, j'ai remplacer M dans la formule de l'énergie potentielle par son expression en fonction de la masse volumique et du rayon, donnant une formule dans laquelle il n'y a qu'une seule variable par rapport au temps: Le rayon.
Quand j'aurais la correction, je pourrais confirmer si cette idée est bonne ou pas. On verra.

[A voir en vidéo sur Futura]