unité d'angle

[nicom9]

Bonjour tout le monde,
une petite question existentielle : Pourquoi le radian ne compte-t-il pas comme réelle unité ? (à part que cela embêterait tout le monde dans les études dimensionnelles) A comprendre par la que le radian n'a pas de dimension !!!
merci

[Flyingsquirrel]

Salut

Ça vient de la définition même d'un angle : c'est un rapport de deux longueurs. (longueur d'un arc de cercle et rayon du cercle)

[HULK28]

Donc sans dimension.

[nicom9]

merci.
mais pourquoi a-t-il une unité ?

[predigny]

merci.
mais pourquoi a-t-il une unité ?

Parce que quand on donne un chiffre, il faut bien dire ce qu'il représente, mais cette unité n'a ni dimension ni besoin d'étalon.

[ABN84]

bonsoir,
pour le radian ça semble naturel. mais, si je ne me trompe pas, historiquement le degrés est apparu avant le radian, et comme la longueur de l'arc divisée par celle du rayon est un angle en rd, je suppose que l'angle en degré n'était pas défini comme étant le caution de deux longueurs. Qu'était ce donc?
merci

[Szym]

Bonjour,

trouvé sur wikipedia :

Le degré, divisé en minutes et secondes qui sont des soixantièmes, vient des Babyloniens, qui comptaient en base 60 (sexagésimale). Les mathématiciens arabes ont poursuivi et mesuré les angles célestes et terrestres de la même manière. La mesure du temps de cette façon, directement issue des angles astronomiques, en a découlé.

L'utilité originelle des 360° du système sexagésimal est de faciliter le calcul des fractions (et des multiplications). En effet 360 étant le multiple de (1 × 2 × 3 × 4 × 5) 3, il se divise donc par ces multiples ainsi que par 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. c'est-à-dire toutes les combinaisons de ces multiples.

Ainsi: 3/5 - 1/3 = 9/15 - 5/15 = 4/15 correspond à 216° - 120° = 96° ce qui est plus aisément calculable sans calculateur que 0.6 - 0.333... = 0.266... Avec une légère familiarisation, et cela tout en se passant de la méthode du commun dénominateur, on s'apercoit que le résultat 96° = 4 × 24° soit quatre quinzièmes. Une approche alternative aura aussi donner à voir que 90° + 6° est égal à un quart plus un soixantième.

Finalement du fait que 360° égale 0°, on se retrouve à calculer en modulo 360 lorsque l'on parle en degrés. On peut souvent opérer les calculs dans les modulos inférieurs que sont les multiplicateurs de 360. Au plus simple, sept demi-tours valent un demi-tour. En langage mathématique: 7 ≡ 1 (mod 2), sept est congru à un, modulo deux; et 7 × 180° = 1260° ≡ 180° (mod 360°). En pratique on se contente de dire sept fois cent quatre-vingt degrés est égal à cent quatre-vingt degrés. De même 120° + 270° = 390° ≡ 30° (mod 360°).

Ca correspond à ce que je peux lire dans un livre d'histoire des sciences trouvé chez moi.
Pour les Babyloniens, il était donc naturel de diviser un cercle en 360 parties.

[predigny]

Sans doute la division du cercle en 6 fois 60° est le souvenir d'un lointain passé où les systèmes pour compter étaient en base 60 ou 12 ; (cinq fois douze) ! ?