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Les plus belles formules

  1. Sephi

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Bruxelles
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    1 360

    Les plus belles formules

    On dit parfois que les maths et les sciences sont belles. On pense souvent à une beauté "fonctionnelle", c.-à-d. qu'un concept est beau lorsqu'il symbolise une propriété puissante. Ceci dit, je suis sûr que beaucoup d'entre vous trouvent que certaines formules sont belles "esthétiquement" C.-à-d. qu'il y a une certaine harmonie ou symétrie dans leur écriture, ou bien qu'elles relient entre eux des éléments qui n'ont a priori rien à voir.

    Je vous propose donc de mettre vos plus belles formules et éventuellement de les commenter un peu !



    Je commence l'exposition avec l'identité d'Euler :


    Identité très simple qui découle de la formule d'Euler que je trouve moins jolie, mais plus puissante :


    Elle est célèbre car elle contient essentiellement tous les concepts élémentaires des maths : les 3 opérations de base (+, x, ^), les 2 nombres transcendants les plus importants ( et ) et les neutres pour + et x.

    Mon second coup de coeur est pour les 4 équations de Maxwell sous forme vectorielle :








    Quatre formules simples pour expliquer l'ensemble des phénomènes électromagnétiques, je trouve ça vraiment pas mal. Bon, ça se réduit à 2 équations si on passe sous forme tensorielle, mais c'est beaucoup moins joli, je trouve.

    À vous

    -----

     


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  2. martini_bird

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Paris
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    36
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    6 910

    Re : Les plus belles formules

    Salut,

    ayant un faible pour la théorie des nombres, mon coup de coeur revient à l'identité d'Euler (et oui encore lui ) :


    et où le produit s'étend sur l'ensemble des nombres premiers.

    Cette formule n'est autre qu'une reformulation analytique du théorème fondamental de l'arithmétique : tout nombre entier est le produit de nombres premiers, l'écriture étant unique à l'ordre des facteurs près.

    Le truc, c'est que cette formule se généralise à tout un tas d'objets : anneaux de Dedekind, fonctions L associées à des formes modulaires ou automorphes, fonctions L d'Artin, etc...

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 29/03/2006 à 14h28.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
     

  3. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
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    4 439

    Re : Les plus belles formules

    Moi j'aime bien la formule de Minac et Willans parce qu'elle ne sert à rien (totalement inutilisable) :



    pn étant le nème nombre premier.

    Je la trouve belle bien que non puissante, non harmonieuse, ni quoi que ce soit qui corresponde de près ou de loin aux critères de Sephi
     

  4. Sephi

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Bruxelles
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    33
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    1 360

    Re : Les plus belles formules

    matthias > Hé, c'est la 1ère fois que je vois une formule donnant le n-ième nombre premier !

    Alors une formule qui ne sert probablement à rien, mais qui titille l'intuition :


    Je ne comprends toujours pas comment c'est possible en fait (je l'ai vu dans un bouquin dont je n'ai pas terminé la lecture)
     

  5. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
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    Messages
    4 439

    Re : Les plus belles formules

    Petite précision, dans la formule de Minac et Willans tous les crochets réprésente la fonction partie entière, ce ne sont pas des parenthèses.
     


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  6. yat

    Date d'inscription
    juillet 2004
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    Re : Les plus belles formules

    Citation Envoyé par Sephi
    Je ne comprends toujours pas comment c'est possible en fait
    Je t'avoue que ça me parait très louche aussi... je pense que pour tout n positif, la valeur de est x, tel que soit x²=n+x, ce qui donne sauf erreur de ma part
    Donc moi non plus, je ne vois pas trop comment ça peut tendre vers 1 quand n tend vers zéro.
     

  7. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
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    4 439

    Re : Les plus belles formules

    Et comme n tend vers 0 .... (et oui 0, pas + infini).
     

  8. Sephi

    Date d'inscription
    novembre 2004
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    Bruxelles
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    33
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    1 360

    Re : Les plus belles formules

    Je dis ce que l'auteur du bouquin raconte :

    Si on note , en ajoutant , en prenant la racine puis le carré, on obtient


    Ainsi, pour connaître le développement en racines continues d'un nombre , il suffit de calculer le correspondant. Si , on a :


    c.-à-d. que , d'où :


    Là, l'auteur dit qu'il ne faut pas se précipiter dans l'interprétation. Si on fait l'opération inverse, c.-à-d. choisir et calculer le correspondant, on a deux solutions et .

    Il explique alors succinctement qu'en réalité, la limite dépend de la manière dont on construit la suite de racines. Elle vaut si on la construit en prenant des racines successives de :


    Mais elle vaut lorsqu'on part d'un que l'on fait tendre vers , d'où la formule initiale. Mais je ne sais pas d'où sort cette explication ...
    Dernière modification par Sephi ; 29/03/2006 à 15h45.
     

  9. yat

    Date d'inscription
    juillet 2004
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    2 705

    Re : Les plus belles formules

    Citation Envoyé par Sephi
    Si on fait l'opération inverse, c.-à-d. choisir et calculer le correspondant, on a deux solutions et .
    Je ne vois vraiment pas comment...
    Citation Envoyé par Sephi
    Mais elle vaut lorsqu'on part d'un que l'on fait tendre vers , d'où la formule initiale. Mais je ne sais pas d'où sort cette explication ...
    Vu la formule que ça donne en fonction de n, moi non plus.
     

  10. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
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    4 439

    Re : Les plus belles formules

    Je ne vois pas trop le problème, les explications du bouquin ne sont pas claires, mais le problème est simple.
    On a, pour tout n, une suite convergente dont la limite a été donnée par yat (pour n non nul, 0 pour n=0), ce qui permet d'écrire le développement en racine continues sans ambiguité.
    On a donc une fonction de n qui n'est pas continue en 0, rien de dramatique.
     

  11. Sephi

    Date d'inscription
    novembre 2004
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    Bruxelles
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    33
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    1 360

    Re : Les plus belles formules

    yat > L'équation possède deux solution qui sont :


    Lorsque , elles deviennent et ...
    Dernière modification par Sephi ; 29/03/2006 à 16h05.
     

  12. yat

    Date d'inscription
    juillet 2004
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    2 705

    Re : Les plus belles formules

    Citation Envoyé par yat
    Eh oui, c'est bien un + et pas un -... c'est donc avec un immense plaisir que j'accepte ce
     

  13. Sephi

    Date d'inscription
    novembre 2004
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    Bruxelles
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    33
    Messages
    1 360

    Re : Les plus belles formules

    matthias > C'est aussi simple que ça ?

    Tu dis que c'est une fonction de non continue en où ça vaut . Mais si on calcule le correspondant à , on obtient et donc ça vaut en ?!



    Ça a l'air de ne pas poser de problème pour un autre , genre :

     

  14. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : Les plus belles formules

    Citation Envoyé par Sephi
    Tu dis que c'est une fonction de non continue en où ça vaut . Mais si on calcule le correspondant à , on obtient et donc ça vaut en ?!
    Ca ne marche pas dans ce sens là. Tu pars de n et tu calcules le x qui va bien (ce qu'a fait yat).
    Si tu pars de x=1, la seule chose que tu montres, c'est qui si il existait un n tel que la limite de la suite soit 1 alors n serait égal à 0. Or ça ne marche pas pour n=0, donc il n'y a aucun n tel que la limite de la suite soit 1.
     

  15. Argyre

    Date d'inscription
    juin 2005
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    2 174

    Re : Les plus belles formules

    Et voici une de mes formules préférées :

    (define (compte e l)
    (cond ((null? l) 0)
    ((equal? e (car l)) (+ 1 (compte e (cdr l))))
    (#t (compte e (cdr l))))

    Cette fonction en langage Lisp compte simplement le nombre d'occurences de l'élément e dans la liste l.
    Par exemple (compte 'a '(b a a b a b a)) renvoie 4 car il y a 4 'a'.
    Symboliquement, cette formule ne traite pas de nombres mais de symboles quelconques. Un pas important est donc franchi vers l'abstraction. De plus, le Lisp a été inventé par les premiers spécialistes de l'I.A. pour traiter les symboles et les listes, et les listes de listes, c'est à dire les graphes. On peut dire en quelques sortes que c'est un petit pas vers l'intelligence. Et l'intelligence n'est-elle pas une des plus belles choses qui soit en cet univers ?
     


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