Les lois physiques et les forces fondamentales d'un monde en deux dimensions

[Yozom]

Bonjour à tous.

Comme le suggère le titre, je me demande quelles seraient les lois physiques et les forces qui régiraient un monde en deux dimensions.
Quelles seraient l'équivalent, par exemple, de la physique des particules ou de la relativité générale en deux dimensions ? Si elles existent bien entendu, et si c'est le cas, qu'est-ce qui les remplacent?

Ma question peut être farfelu, grotesque, puisqu'il suffit d'imaginer les formes géométriques tridimensionnels en forme géométrique bidimensionnels me direz vous. C'est un peu plus subtile que cela et beaucoup plus casse-tête que ce que je cherche (surtout pour moi qui n'est pas un spécialiste du tout et qui ne connait les lois de l'infiniment petit et l’infiniment grand qu'à partir des vulgarisations scientifiques) .

Par exemple, je prends l'exemple de Flatland où il n'y a ni haut ni bas sur leur "planète". En conséquence, les objets ne peuvent pas tomber et n'ont apparemment pas de poids. Et la masse alors ? Aussi, rien ne retiendrait nos personnages en 2D de sauter dans "l'espace", s'il y en a un bien entendu.

Voilà ! J'espère que vous m'aurez compris ! Voilà un sujet bien capillotracté ! Merci aux courageux de m'aider !
-----

[phys4]

Bonjour,

Vous pouvez très bien avoir des planètes dans votre monde 2D, elle seront circulaires et le haut et le bas seront déterminés par la direction du centre.
Un petit défaut, pour se croiser sur cette planète le seul moyen est de passer par dessus la personne que l'on croise.

Vous pouvez transposer toutes les lois physiques en deux dimensions spatiales et un temps.
Le plus drôle c'est que l'on travaille le plus souvent en 2 ou 3 dimensions seulement en physique pour simplifier la représentation.
Cela se fait en supprimant une ou deux dimensions neutres.
Au revoir.

[JPL]

Pas uniquement pour simplifier. J'ai lu que certaines problèmes de physique théorique ne peuvent pas pour le moment être traités en trois dimensions parce qu'on ne sait pas comment s'y prendre, mais qu'on a pu faire l'équivalent en deux dimensions. Mais j'ai un trou de mémoire sur les exemples précis. Peut-être, mais sans garantie certains problèmes sur les trous noir ?

[minushabens]

Est-ce qu'en 2D certaines lois de la physique ne vont pas changer? je pense aux calculs qui reposent sur la formule de Stokes. En 2D l'équivalent d'une surface fermée est une courbe fermée et sa longueur varie comme R et non comme R^2 du coup est-ce que la gravité ne devrait pas être en 1/R au lieu de 1/R^2 ? (je suis peut-être à côté de la plaque, c'est des vieux souvenirs du lycée...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Pour la relativité générale, il est assez amusant de voir que la gravité ne peut plus exister à 2+1 dimensions (plus assez de composante pour le tenseur de courbure et donc l'équation d'Einstein implique un espace-temps plat dans le vide). Par contre, de manière surprenant, il existe malgré tout une solution de type trou noir (je cite de mémoire).

Pour la physique des particules je ne crois pas que ça changerait grand chose, sauf peut-être au niveau de la chiralité. A confirmer.

Quant à la gravité quantique :

Pas uniquement pour simplifier. J'ai lu que certaines problèmes de physique théorique ne peuvent pas pour le moment être traités en trois dimensions parce qu'on ne sait pas comment s'y prendre, mais qu'on a pu faire l'équivalent en deux dimensions. Mais j'ai un trou de mémoire sur les exemples précis. Peut-être, mais sans garantie certains problèmes sur les trous noir ?

C'est pour la gravité quantique à boucles. On sait la résoudre complètement (contrainte hamiltonienne, formulation covariante rigoureuse) à 2+1 dimensions.
Mais à 3+1 dimensions, ça coince. Et malheureusement, la solution à 2+1 dimensions n'a pas donné les ingrédients permettant de résoudre les difficultés.

Il se peut qu'il y ait d'autres situations théoriques ou le passage à 2+1 dimensions offre des facilités. Mais je ne les connais pas.

Ma question peut être farfelu, grotesque, puisqu'il suffit d'imaginer les formes géométriques tridimensionnels en forme géométrique bidimensionnels me direz vous. C'est un peu plus subtile que cela et beaucoup plus casse-tête que ce que je cherche (surtout pour moi qui n'est pas un spécialiste du tout et qui ne connait les lois de l'infiniment petit et l’infiniment grand qu'à partir des vulgarisations scientifiques) .

Oui, tout cela n'a rien de farfelu. Même en physique du solide les développements théoriques planaires sont d'application de longue date (semi-conducteurs en couches minces, dépôts monoatomiques sur des surfaces, et depuis peux : le graphène, le silicène). Et tout ça n'a rien de trivial, que du contraire.

[Amanuensis]

Pour la relativité générale, il est assez amusant de voir que la gravité ne peut plus exister à 2+1 dimensions (plus assez de composante pour le tenseur de courbure et donc l'équation d'Einstein implique un espace-temps plat dans le vide). Par contre, de manière surprenant, il existe malgré tout une solution de type trou noir (je cite de mémoire).

Curieux. Le tenseur de Weyl est nul pour n=3, le tenseur de courbure est alors égal au tenseur de Ricci.

Il n'y a plus d'effet à distance dans le vide (qui est lié au tenseur de Weyl) (1), mais il y a un effet local du tenseur d'énergie-impulsion, un peu comme l'effet du spin sur la torsion dans l'approche Einstein-Cartan. Pas trop de raison de ne pas appeler cela gravitation.

(1) donc plus de gravitation au sens de Newton, d'attraction entre masses à distance.

Et il m'aurait semblé qu'il n'y a pas l'équivalent de l'espace-temps de Schwarzschild (qui est une solution du vide, le tenseur de courbure est partout égal au tenseur de Weyl, il me semble). Mais qu'il y aurait l'équivalent des solutions FLRW.

Références?

[0577]

Bonjour,

tout d'abord, puisque par définition on ne connait qu'un monde, et que ce monde, dans les limites actuelles de connaissance et pour autant que cela ait un sens absolu, a trois dimensions (d'espace), la question n'a pas de sens a priori.

Comme signalé dans des messages précédents, il existe de nombreux systèmes physiques qui sont "effectivement" de plus basse dimension, c'est-à-dire qu'il est une bonne approximation de négliger certaines dimensions. Dans ces cas, la physique effective en basse dimension dépend du système étudié.

La manière la plus naturelle d'interpréter la question repose sur le fait que la plupart des lois physiques connues ont une extension "naturelle" en un nombre arbitraire de dimensions. Cette extension "naturelle" n'est pas évidente a priori, a une part d'arbitraire, et nécessite souvent la compréhension d'une structure mathématique sous-jacente qui a un sens en toute dimension.

Ainsi, l'analogue "naturel" en deux dimensions du fait qu'en dimension trois la force gravitationnelle entre deux masses ou la force électrique entre deux charges est proportionnelle à l'inverse du carré de leur distance, est qu'en dimension deux la force gravitationnelle entre deux masses ou la force électrique entre deux charge est proportionnelle à l'inverse de leur distance. Cette simple différence entre dimension deux et trois a d'importantes conséquences. En particulier, l'énergie potentielle entre deux masses croit avec la distance de manière logarithmique (au lieu de tendre vers zéro en dimension trois). La conséquence pratique est que tous les systèmes gravitationnels ou électriques sont fortement couplés: il est extrêmement difficile de séparer un système en sous-systèmes, l'effet d'un sous-système ne décroît pas avec la distance.

Cet effet classique a un analogue en physique des particules (décrite par la théorie quantique des champs). En particulier, (modulo un détail technique), s'il existe des particules chargées comme l'électron, alors le photon est massif, il n'y a pas de forces à longues portée. Les électrons sont confinés comme les quarks le sont dans notre monde.

En relativité générale en dimension deux, comme déjà décrit dans des messages précédents, il n'y a pas de dynamique locale du champ gravitationnel. Une particule massive dans un espace-temps plat crée une singularité conique dans l'espace-temps. En particulier, cela affecte l'asymptotique de l'espace-temps.

Et il m'aurait semblé qu'il n'y a pas l'équivalent de l'espace-temps de Schwarzschild (qui est une solution du vide, le tenseur de courbure est partout égal au tenseur de Weyl, il me semble). Mais qu'il y aurait l'équivalent des solutions FLRW.

En effet, il n'y a pas de trou noir en espace-temps asymptotiquement Minkowski mais il est remarquable qu'il existe des trous noirs en espace-temps asymptotiquement AdS_3 (trous noirs BTZ: https://arxiv.org/abs/hep-th/9204099 ).

[LeMulet]

Il est à mon avis possible de vivre le monde comme s'il était à 3 dimension d'espace alors que la matière (subtilité...),elle, ne serait qu'à 2 dimensions d'espace.
Par exemple, si on considère, pour simplifier, que les atomes sont des petites billes dont "la" surface (on va en choisir une) est à 2 dimensions, l'assemblage des ces petites billes par leurs surfaces peut former des structure en 3 dimensions... pour les structures composés d'atomes (ce que nous sommes)

[Deedee81]

Salut,

En effet, il n'y a pas de trou noir en espace-temps asymptotiquement Minkowski mais il est remarquable qu'il existe des trous noirs en espace-temps asymptotiquement AdS_3 (trous noirs BTZ: https://arxiv.org/abs/hep-th/9204099 ).

Merci pour l'info. Je citais de mémoire et je n'aurais plus su dire où j'avais lu ça.

[Amanuensis]

Mouais...

Mais la confusion avec l'espace-temps de Schwarzschild est risquée...

Le cas en question est avec une constante cosmologique non nulle ; si on voit cette "constante" comme de l'énergie (énergie sombre...), ce n'est pas une "solution du vide" (seulement du "vide matériel"), on est dans une situation comparable aux solutions FLRW, avec de l'énergie "continument partout". C'est ce qui permet un effet sur le tenseur de courbure sans "propagation" (c'est le tenseur de Weyl qui "propage").

Bref, même terme ("trou noir") pour deux solutions comparables sur certains points mais pas du tout sur d'autres. Ce genre de rapprochement est toujours risqué, surtout si on ne mémorise que le terme.

---

Y a-t-il un équivalent en 4D d'un tel "trou noir de deuxième genre", i.e., constante cosmologique négative, vide matériel et conditions à l'infini autres que Minkowski? (Il y a peut-être la réponse à cela dans l'article... je vais le lire!)

[Deedee81]

Oui, ces remarques sont de très bon aloi car ce n'est clairement pas du tout la même chose qu'en 3+1.
Et je vois mal comment il pourrait y avoir un TN de "deuxième genre" en 2+1.

Concernant la possibilité de vie dans un espace-temps en 2+1. J'avais lu un truc amusant dans un article d'ArXiv dont la substance avait aussi été discutée dans Pour la Science.
Toutes les créatures devraient ressembler à des sacs, comme les concombre de mers. Car une créature comme nous avec deux orifices (entrée et sortie) serait.... coupée en deux

[LeMulet]

Concernant la possibilité de vie dans un espace-temps en 2+1. J'avais lu un truc amusant dans un article d'ArXiv dont la substance avait aussi été discutée dans Pour la Science.
Toutes les créatures devraient ressembler à des sacs, comme les concombre de mers. Car une créature comme nous avec deux orifices (entrée et sortie) serait.... coupée en deux

Ca, c'est le genre de réflexion ultra-simplificatrice qui fleurissait il y a 20 ans, peut-être en rapport avec la fascination exercée par le petit écran des ordinateurs. C'est vrai que c'est amusant, sans plus.

Par contre, la question de fond, à mon avis, et c'est peut-être par là va qu'il va falloir se pencher si on veut comprendre ce que seraient les lois physiques pour un monde "à deux dimensions", est : Que veut dire "à 2 dimensions" du point de vue de la physique ? (J'insiste sur les caractères en gras).

Ce qu'est le monde, nous ne le savons pas.
Par contre, c'est la physique qui est le mieux à même de nous en parler, selon une certaine manière de procéder.
Les physiciens établissent des relations entre des propriétés physiques vérifiables, et ne font rien d'autre.
A 2 dimensions spatiales signifie donc qu'ils établissent des liens mathématiques, non pris en défaut par l'expérience au sein d'une théorie, entre des propriétés dites "spatiales", dont la relation est d'ordre 2.
Rien de plus, rien de moins (à mon avis).

Ce qui veut dire, et c'était ma remarque concernant l'ultra-simplification amusante des concombres de mer, qu'il n'y a pas lieu de ne faire appel qu'à des images "couchées sur le papier" pour imager ce monde, mais qu'il convient plutôt de comprendre que les propriétés spatiales sont reliées entre-elles selon des lois possédant un degrés de liberté d'ordre 2.

Par exemple, X et Y sont deux valeurs de propriétés totalement indépendantes (ou pas tout à fait...allez savoir si ceci est vrai en toute circonstance) qui fait qu'un changement en X n'influe pas sur un changement en Y.
On peut donc établir des lois "d'ordre 2" (c'est peut-être mal dit) qui relient ces seuls 2 paramètres (suffisants) entre eux avec certitude, dans un cadre donné.

[Deedee81]

Par contre, la question de fond, à mon avis, et c'est peut-être par là va qu'il va falloir se pencher si on veut comprendre ce que seraient les lois physiques pour un monde "à deux dimensions", est : Que veut dire "à 2 dimensions" du point de vue de la physique ? (J'insiste sur les caractères en gras).

Tu as tout à fait raison. Je réfléchissais justement à ce que j'avais dit plus haut concernant la physique des particules.
Par exemple, le fait que les forces longues portées sont en 1/R². J'ai déjà vu des raisonnements utilisant le fait que la surface d'une sphère est en R² et suivant ce raisonnement on trouve une force en 1/R pour un monde à deux dimensions (c'est le raisonnement qui était utilisé pour la gravité dans l'article auquel je faisais référence). Par contre, si on utilise les raisonnements de la théorie quantique des champs, avec l'échange de particules virtuelles, le résultat ne dépend pas du nombre de dimensions et ça reste en 1/R².
Ce qui fait que je me demande : qu'en est-il réellement (ou plutôt physiquement) ???

Si on considère un espace à deux dimensions "coincé" dans notre monde à trois dimensions (comme lorsqu'on résonne sur des substances comme le graphène (*)) alors ça doit rester en 1/R² (les lois physiques ne changent pas simplement parce qu'on considère seulement un sous-ensemble du monde).
Par contre si on considère un univers quelconque à 2+1 dimensions, il me semble qu'on peut imaginer à peu près tout ce qu'on veut. Ca devient très spéculatif et très libre.

(*) Avec des surprises car si on considère un monde réellement à deux dimensions, la physique statistique montre qu'une substance tel que le graphène.... ne peut pas exister, les fluctuations étant trop grandes pour la stabilité des liaisons. Mais comme en réalité les fluctuations se déploient aussi perpendiculairement à la surface, cela stabilise la substance. Quand le graphène a té découvert, ce fut une grosse surprise et les théoriciens se sont alors rendu compte de leur bourde. Comme quoi, c'est toujours le monde réel qui décide

P.S. je n'ai pas trop compris ton explication avec les variables X, Y

[mathiouzalem]

Par exemple, le fait que les forces longues portées sont en 1/R². J'ai déjà vu des raisonnements utilisant le fait que la surface d'une sphère est en R² et suivant ce raisonnement on trouve une force en 1/R pour un monde à deux dimensions

Ca me rappelle une propriété - purement mathématique pour le coup - dépendante du nombre de dimensions mais contre intuitive :
- Une particule qui se déplace aléatoirement sur une grille à 2 dimensions ne s'échappe pas - c'est à dire la probabilité qu'elle repasse un jour par son point d'origine = 1 (à plus forte raison dans un espace à une seule dimension)
- Une particule qui se déplace aléatoirement sur une grille à 3 ou + dimensions, s'échappe - c'est à dire s'éloigne infiniment de son point d'origine

cf https://math.dartmouth.edu/~pw/math100w13/mare.pdf
ou paragraphe 4.2.1 de http://www.cmap.polytechnique.fr/~bo...AP432-Poly.pdf

[Deedee81]

Salut,

Ca me rappelle une propriété - purement mathématique pour le coup - dépendante du nombre de dimensions mais contre intuitive :
- Une particule qui se déplace aléatoirement sur une grille à 2 dimensions ne s'échappe pas - c'est à dire la probabilité qu'elle repasse un jour par son point d'origine = 1 (à plus forte raison dans un espace à une seule dimension)
- Une particule qui se déplace aléatoirement sur une grille à 3 ou + dimensions, s'échappe - c'est à dire s'éloigne infiniment de son point d'origine

En effet. Merci de cette piqure de rappel

Pour celui que cela intéresse, il y a les deux livres Théorie statistique des champs de Itzykson et Drouffe. Attention, ils ne sont pas donné et ils sont aussi sacrément ardus (je n'ai pas tout assimilé, loi de là). Mais le problème des marches aléatoires lui est abordable, au début du premier tome, je l'avais même trouvé passionnant. Ils calculent toutes sorte de situation et mettent en évidence des changements qualitatifs de comportement pour certaines dimensions. J'avais même quelque peu spéculé/fantasmé sur la possibilité que cela donne des indices sur "pourquoi notre monde a-t-il 3+1 dimensions et pas autre chose"

Sinon les pdf ci-dessus m'ont l'air très bien.

[mathiouzalem]

J'avais même quelque peu spéculé/fantasmé sur la possibilité que cela donne des indices sur "pourquoi notre monde a-t-il 3+1 dimensions et pas autre chose"

Finalisme ? Anthropisme ? ...
A ce propos, lire Penrose qui démontre s'il en était besoin qu'un finaliste anti-darwiniste peut être très intéressant.

[Deedee81]

Finalisme ? Anthropisme ? ...

Non, recherche d'une cause physique (ou d'autres considérations comme des considérations de consistances (*)) qui pourrait expliquer l'existence de contraintes.
(*) par exemple les anomalies conformes en théorie des cordes contraignent le nombre de dimensions.

J'avais lu un article sur ArXiv il y a quelque temps où les auteurs montraient (par calcul numérique sur des espaces à triangulations causales) que l'on voyait naturellement émerger un espace-temps 3+1
Mais je n'étais pas convaincu. Ils donnaient un hamiltonien plausible mais je me suis demandé dans quel mesure cet hamiltonien n'était pas ad hoc pour conduire à cette solution et s'il n'existait pas d'autres hamiltoniens plausibles. Bref, la question n'est pas simple.

[f.oreste]

l'on peut imaginer tout et rien à la fois à ce propos... comme vous le dites, les lois de la physique ne sont valide et n'ont de sens que dans un univers 3D+1(temp) (et à minima)...

bref, comme ce sont plus des constatations qu'autres choses, toutes production a-priori devient possible, puisqu'au final il seras impossible de faire une quelconque démonstration de la pertinence des dites propositions...

on peut toutefois penser à des êtres comme des ensembles (bulles) ayant des facultés elastique... donc des comportements proches des economiseur d'écran de windows XP ;o)

[0577]

Bonjour,

Par exemple, le fait que les forces longues portées sont en 1/R². J'ai déjà vu des raisonnements utilisant le fait que la surface d'une sphère est en R² et suivant ce raisonnement on trouve une force en 1/R pour un monde à deux dimensions (c'est le raisonnement qui était utilisé pour la gravité dans l'article auquel je faisais référence). Par contre, si on utilise les raisonnements de la théorie quantique des champs, avec l'échange de particules virtuelles, le résultat ne dépend pas du nombre de dimensions et ça reste en 1/R².
Ce qui fait que je me demande : qu'en est-il réellement (ou plutôt physiquement) ???

En théorie quantique des champs, la force effective à grandes distances engendrée par échange de particules virtuelles est en 1/R^(d-1) en d dimension d'espace, en particulier 1/R en deux dimensions d'espace.

Ca me rappelle une propriété - purement mathématique pour le coup - dépendante du nombre de dimensions mais contre intuitive :
- Une particule qui se déplace aléatoirement sur une grille à 2 dimensions ne s'échappe pas - c'est à dire la probabilité qu'elle repasse un jour par son point d'origine = 1 (à plus forte raison dans un espace à une seule dimension)
- Une particule qui se déplace aléatoirement sur une grille à 3 ou + dimensions, s'échappe - c'est à dire s'éloigne infiniment de son point d'origine

Cette propriété est fondamentalement identique à celle sur la croissance infinie de log(R) pour un potentiel harmonique (solution de l'équation de Laplace: laplacien =0) en dimension 2 et sur la décroissance vers zéro de 1/R^{d-2} pour un potentiel harmonique en dimension d>2. En effet, on peut résoudre l'équation de Laplace en suivant un mouvement brownien (on peut penser au laplacien dans l'équation de la chaleur et au mouvement brownien comme étant celui d'une particule en agitation thermique). Le mouvement brownien est la limite continue d'une particule se déplaçant aléatoirement sur une grille.

Pour celui que cela intéresse, il y a les deux livres Théorie statistique des champs de Itzykson et Drouffe. Attention, ils ne sont pas donné et ils sont aussi sacrément ardus (je n'ai pas tout assimilé, loi de là). Mais le problème des marches aléatoires lui est abordable, au début du premier tome, je l'avais même trouvé passionnant. Ils calculent toutes sorte de situation et mettent en évidence des changements qualitatifs de comportement pour certaines dimensions. J'avais même quelque peu spéculé/fantasmé sur la possibilité que cela donne des indices sur "pourquoi notre monde a-t-il 3+1 dimensions et pas autre chose"

Deux marches aléatoires ont une probabilité nulle de se rencontrer en dimension d>4 (la dimension "effective" du lieu décrit par une marche aléatoire est 2 et deux surfaces génériques ne se rencontrent pas en dimension d>4). C'est lié au fait qu'il n'existe pas de théorie quantique des champs non-triviale et faiblement couplée à petites distances en dimension d'espace-temps d>4.

[0577]

Y a-t-il un équivalent en 4D d'un tel "trou noir de deuxième genre", i.e., constante cosmologique négative, vide matériel et conditions à l'infini autres que Minkowski? (Il y a peut-être la réponse à cela dans l'article... je vais le lire!)

Il existe un analogue du trou noir de Schwarzschild (vide matériel) en toute dimension d'espace-temps , asymptotiquement anti-de Sitter (constante cosmologique négative) ou asymptotiquement de Sitter (constante cosmologique positive).

[Amanuensis]

Il existe un analogue du trou noir de Schwarzschild

Je persiste à trouver confusant d'appeler cela "de Schwarzschild"). Pour moi "asymptotiquement Minkowski" fait partie intégrante de la définition de "trou noir de Schwarzschild".

Par ailleurs, merci pour la réponse.

[coussin]

Au moins une version d'une théorie quantique des champs relativiste en 2+1 est connue et utilisée : c'est celle utilisée pour décrire les propriétés du graphène.
Bon bien sûr, aucun effets gravitationnels dedans

[0577]

Je persiste à trouver confusant d'appeler cela "de Schwarzschild"). Pour moi "asymptotiquement Minkowski" fait partie intégrante de la définition de "trou noir de Schwarzschild".

C'est pour cela que j'ai écrit "analogue de" (l'analogie étant: trou noir, car avec un horizon des évènements localisé, à symétrie sphérique, électriquement neutre, vide matériel). Certaines personnes emploient l'expression "Schwarzschild-de Sitter" et "Schwarzschild-anti de Sitter". Une raison est probablement la proximité formelle: en dimension n>3 d'espace-temps, la métrique



décrit un trou noir de Schwarzschild un sens usuel pour , "Schwarzschild-de Sitter" pour , "Schwarzschild-anti de Sitter" pour . En particulier, pour proche de 0, i.e. très petite constante cosmologique, un "trou noir avec constante cosmologique" ressemble vraiment à un trou noir de Schwarzschild au sens usuel.

Ce n'est qu'une question de terminologie et je ne prétend pas connaître la (une?) terminologie "idéale".