Signature(s) de la métrique de Schwarzschild et invariance des lois physiques

[bernarddo]

Bonjour,
le long désaccord que j’entretiens avec mach3 repose essentiellement sur le fait que je me refuse à considérer qu’on a le droit d’inverser la signature originale de l’auteur (qui est + - - -), pour l’écrire indifféremment également (- + + +), forme qui a fini par s’imposer dans la littérature académique.

J’ai montré, dans un fil non adapté à cette discussion, que cette dernière forme ne se justifiait que par la nécessité de donner, à l’intérieur de la sphère de Schwarzschild, des valeurs réelles aux longueurs et au temps . Cela conduit à des anomalies physiques à expliciter sur cette discussion nouvelles :

Rappelons ces formes :

La forme originale (sur Adler – Bazin - Schiffer par exemple)
MSH.JPG

La forme inversée (par ex sur sur Wikipédia)

Nega.JPG

Considérons un observateur immobile :

Alors : dr^2 = dθ^2 = dφ^2 = 0

Prenons ds^2 > 0 , positif : nous sommes dans le monde réel, à l’extérieur de Rs, le temps propre, dτ = ds/c, s’écoulera normalement :

- OK pour Adler
- Pour Wiki, ds^2 est négatif ! Ce n’est peut être qu’une convention entre dτ et ds.

Jusque là, physiquement au moins, tout va bien

Prenons ds^2 < 0, négatif: nous sommes à r < Rs, dans la sphère de Schwarzschild, (dans l’extension de Kruskal) :

- pour les deux, (Adler & Wiki), on se trouve devant un choix physique à faire relativement au temps propre dτ :

- ou acter que le temps de l’observateur est imaginaire, ce qui n’est pas un idéal de réalisme, mais qui ferait conclure à tous les anciens écoliers de 4ème que ce temps réel recherché est en fait imaginaire mathématiquement, tout comme les racines réelles, de x^2 + x +1 par exemple, et pour les mêmes raisons, et de façon bien plus riche au cosmologiste en particulier que remplir la condition de continuité de Karl Schwarzschild, ce qui avait fait de r = Rs un bord intérieur de l’espace temps, avait une vraie signification physique.

- bizarrement ces cosmologistes ont trouvé « naturel » (Adler : it would thus natural to reinterpret…), ou « non métaphorique », (A Barrau), d’inverser par convention temps et espace, pour conserver le bon genre au quadrivecteur, quitte à ramener, à l'intérieur de Rs, l’observateur à l’état d’être monodimensionnel dans un ET où le temps est tridimensionnel, ce qui me semble encore bien pire au plan du réel.
On appréciera au passage l'« arbitraire » des arguments, le rapport très étroit qu’ils entretiennent avec la foi et leur rejet des ressources mathématiques, puisqu’ils considèrent à la fois:
- contrairement à l'écolier, que l’ensemble des complexes ne peut leur être d’aucun secours.
- contrairement à Karl, qu'une condition de continuité ne s'imposait pas

La définition du genre sur Wikipédia montrait pourtant bien, dans sa dernière phrase, rappelant l’indépendance des lois physiques par rapport aux conventions, qu’après avoir choisi une convention (et la bonne), on ne pourrait pas, « en même temps », en accepter une nouvelle.

Genre.JPG
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[ordage]

Bonjour
Les deux signatures sont équivalentes, c'est purement conventionnel de prendre l'une ou l'autre. Si - +++ est plus d'actualité, c'est parce qu'il n'y a qu'un signe - donc moins de chance de se tromper dans les calculs...

Cordialement

[Deedee81]

Salut,

Je confirme que le choix est purement arbitraire, ça change juste la signification de ds (*), et le rapport entre le temps propre et s.
(pour avoir comme le dit Bernardo des valeurs réelles des longueurs et des durées)

(*) mais sans conséquence puisque l'important est l'invariance qui reste identique. Et pour le reste faut juste mettre les + et les - aux bons endroits
Evidemment, faut pas mélanger les deux !!!!! Mais par contre passer de l'un à l'autre n'est pas plus difficile que d'écrire x+y=0 ou x = -y qu'on apprend à l'école. Je ne vois pas trop la difficulté.

Pour le reste je n'ai pas trop compris l'intérêt du message de Bernardo. Beaucoup de blabla sans réelle conclusion. Peut-être que mach3 comprendre mieux puisqu'il dit que cela résulte d'un différent.

[mach3]

Bonjour,

Déjà il faudrait faire des rappels sur ce que c'est exactement une signature. Pour cela il faut parler des espaces quadratiques, qui sont des espaces vectoriels munis d'une forme quadratique. On se limite ici aux espaces vectoriels sur le corps des réels.

Une forme quadratique est telle que , avec un scalaire et un vecteur.

Elle définit automatiquement une forme bilinéaire symétrique qui permet d'effectuer des produits scalaires entre vecteurs de l'espace quadratique (la forme quadratique étant le carré scalaire).

Deux vecteurs non nuls et sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul : (on a , ce qui doit rappeler un théorème bien connu dès les petites classes).

Si pour tout non nul et si et seulement si , alors la forme quadratique (et la forme bilinéaire symétrique associée) est définie positive
Si pour tout non nul et si et seulement si , alors la forme quadratique (et la forme bilinéaire symétrique associée) est définie négative
Si le signe de dépend du vecteur, alors la forme quadratique (et la forme bilinéaire symétrique associée) est indéfinie

Pour classifier les différents types d'espaces quadratiques de dimension , on va compter le nombre de dimensions maximum des sous-espaces sur lesquels la forme quadratique est définie. On a :
-Le nombre de dimensions maximum des sous-espaces où est définie positive
-Le nombre de dimensions maximum des sous-espaces où est définie négative
-Le nombre qui est la dégénérescence de la forme quadratique.

La signature de la forme quadratique sera notée , mais elle est souvent raccourcie en , ce qui sous-entend que la dégénérescence est nulle, et même souvent notée (+,...,+,-,...,-) ou (-,...,-,+,...,+), le nombre de "+" étant égal à et le nombre de "-" étant égal à , ou l'inverse, car...
...Il y a isomorphisme entre un espace quadratique de signature et un autre de signature , car si le premier est muni d'une forme , le second est muni de la forme . Tout résultat obtenu dans le premier est identique dans le second, éventuellement au signe près. Cela simplifie la classification.

On aura dans cette classification :

-les espaces vectoriels euclidiens, de signature , ou (+,...,+) (avec signes "+") (qui incluent aussi par isomorphisme ceux de signature , ou (-,...,-)) et dans lesquels la forme bilinéaire associée n'est autre que la fameuse métrique d'Euclide,

-les espaces vectoriels de Minkowski, de signature ou (+,...,+,-) ou (-,+,...,+) (avec signes "+") (qui incluent aussi par isomorphisme ceux de signature ou (+,-,...,-) ou (-,...,-,+) (avec signes "-")) et dans lesquels la forme bilinéaire associée n'est autre que la fameuse métrique de Minkowski, . Ces espaces vectoriels de Minkowski contiennent des sous-espaces à dimensions où la forme quadratique est définie positive (=ces sous-espaces sont euclidiens de dimension n-1) et des sous-espace à 1 dimension où la forme quadratique est définie négative (=ces sous-espace sont euclidiens de dimension 1) ou l'inverse si on prend l'espace isomorphe muni de la forme quadratique opposée.

-plein d'autres cas qui ne nous intéressent pas ici

On peut définir une norme unique, , sur un espace vectoriel euclidien (prendre soin d'utiliser à la place de si est définie négative bien-sûr).
Par contre on ne peut le faire sur les espaces vectoriels non euclidiens (ceux de Minkowski et les autres) : on aura deux normes différentes, l'une définie sur les sous-espaces où est définie positive et l'autre sur les sous-espaces où est définie négative (et dans ce cas on utilise dans la définition de la norme afin d'avoir toujours un nombre positif sous la racine : une norme est un réel positif)

Opérationnellement, si on choisit vecteurs orthogonaux dans un espace quadratique de signature , tels que , alors on aura automatiquement pour d'entre-eux et pour d'entre-eux.

En particulier dans un espace vectoriel de Minkowski, de signature , si on trouve un vecteur tel que , alors tous les vecteurs orthogonaux à seront tels que . (et par isomorphosme si la signature est , si on trouve un vecteur tel que , alors tous les vecteurs orthogonaux à seront tels que ).

Voilà, pour la signature. A la lumière de ce qui précède, le premier paragraphe du premier message doit apparaître infondé. A la rigueur on peut juste dire qu'au sein d'une démonstration, d'une étude ou d'un ouvrage, quand on a choisi entre un espace quadratique et son isomorphe, il vaut mieux s'y tenir de bout en bout, sinon on risque de se planter. Les auteurs de travaux de relativité générale précisent généralement dans lequel des deux espaces de Minkowski à 4 dimensions ils ont choisi de travailler. Adler, Bazin et Schiffer travaillent en (1,3,0), tout comme Eddington, Einstein, Penrose, Thorne... alors que d'autres travaillent en (3,1,0), comme Hawking, Misner, Moller, Synge ou Wheeler. Gravitation de Misner, Thorne et Wheeler est entièrement rédigé en (3,1,0). Les résultats obtenus ne dépendent aucunement de ce choix arbitraire. C'est un peu comme le sens du courant électrique : peu importe celui qu'on choisi (dans le sens inverse ou dans le même sens que les électrons), à la fin on arrive aux mêmes prédictions.

Maintenant pour la suite du premier message, il faut faire le lien avec les variétés (pseudo-)Riemannienne et avec l'expression de la métrique. Ce sera dans un prochain épisode.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[bernarddo]

puisque l'important est l'invariance qui reste identique.

Voilà une affirmation qui nous avance énormément et ne risque pas d'être réfutée!

Je vais donc encore préciser ce qui est invariant ou plutôt intrinsèque:

Le premier § de Wikipédia indique pourtant bien que le genre du quadrivecteur est intrinsèquement lié au signe de sa norme, et que toute inversion de celle-ci, qu'elle apparaisse à l'occasion du calcul ou par convention, a une répercussion intrinsèque sur son genre et sur sa possibilité d'existence physique rappelée dans la dernière phrase.

Les conventions de signe sont utilisables sans problème, le hic ici c'est qu'une convention a été utilisée, et a conduit à un résultat physiquement acceptable pour r > Rs (ici, + - - -, qui donne des longueurs et des durées réelles dans le calcul, dans un domaine où l'espace temps est lui-même expérimenté comme réel), et on doit alors accepter que cette même convention régisse la suite du calcul, celle relative à r < Rs. Et si elle donne alors des valeurs imaginaires pour les durées, c'est encore quelque chose d'intrinsèque et qui doit être acté.
Aucun a priori de résultat (l'existence de l'espace-temps pour r <Rs) ne saurait justifier de transgresser la règle.

D'autant que la démonstration de Schw apporte une démonstration pro active de l'inexistence de cette fraction d'espace-temps, , mais qu'il n'avait pas pris la peine d'expliciter, probablement car l'état de l'astrophysique de son époque ne permettait pas d'imaginer la pertinence d'un questionnement à ce sujet.

[mach3]

Passons maintenant aux variétés. De base, elle contiennent des points, mais pas de vecteurs.

Pour y utiliser des vecteurs, il faut qu'il existe un espace vectoriel en chaque point de la variété, on les appelle "espace tangents", et ils viennent avec toute la machinerie usuelle qui accompagne les espace vectoriels : espace vectoriel dual, qui contient les applications linéaires allant de l'espace vectoriel vers le corps de base de cet espace (on les appelle aussi covecteurs), ainsi que tous les produits tensoriels possibles entre l'espace vectoriel et son dual, qui contiendront les applications multilinéaires (on les appelle tenseurs). On continue ici à se limiter uniquement au cas d'espaces vectoriels sur le corps des réels.
Si on muni une variété d'espaces vectoriels tangents en chacun de ses points, on obtient une variété différentielle. On aura comme vecteurs les opérateurs de dérivée directionnelle et comme covecteurs des formes différentielles de degré 1 (ou 1-forme).
On peut définir sur la variété différentielle des champs scalaires. Un champ scalaire , c'est une fonction associant à chaque point (d'un morceau) de la variété un nombre réel. Si cette fonction est différentiable, on peut définir son gradient, , qui est une 1-forme. Son application à un vecteur donne la dérivée directionnelle de suivant ce vecteur.

Un système de coordonnées défini sur (un morceau d')une variété est ensemble de n champ scalaires, , , ... , (ce sont des indices haut, pas des exposants), tels que leurs gradients, , , ... , forment une base de l'espace dual en tout point (du morceau) de la variété.
Il permet d'écrire le gradient de tout champ scalaire comme combinaison linéaire des gradients des coordonnées :
, les coefficients étant les dérivées partielles du champ scalaire par rapport à chacune des coordonnées.

On peut ensuite construire une base de l'espace vectoriel, , , ... , qui soit duale de la base formée par les gradients des coordonnées, c'est à dire telle que :
( appliqué sur le vecteur donne 1 si et 0 sinon)
Si on applique à un vecteur de cette base, cela donne sa dérivée directionnelle suivant ce vecteur. On a :



La dérivée directionnelle de suivant est donc la dérivée partielle de par rapport à . L'usage est donc d'utiliser la notation en lieu et place de pour montrer son statut d'opérateur de dérivée partielle.

La base , , ... , aura donc pour duale celle formée des opérateurs de dérivée partielle , , ... ,

Dans ce contexte, les formes multilinéaires peuvent aussi s'écrire comme des combinaisons linéaires. Prenons l'exemple d'un tenseur covariant d'ordre 2 (à dessein), . Définissons les scalaires résultant de son application sur les vecteurs de base :

Le tenseur peut s'écrire comme la combinaison linéaire :

avec les des tenseurs de base construits par produit tensoriel des 1-forme de base, avec comme propriété :




En fonction du type d'espace vectoriel tangent, on aura différentes sortes de variété.
Si les espace vectoriels tangents sont euclidiens, on aura une variété Riemannienne, sinon ce sera une variété pseudo-Riemannienne. Si les espace vectoriels tangents sont des espaces de Minkowski, on parle de variété Lorentzienne, un cas particulier de variété pseudo-Riemannienne.
La forme bilinéaire associée à la forme quadratique dont est muni l'espace tangent, est un tenseur covariant d'ordre 2 , nommé "tenseur métrique", souvent noté . Il y en aura un en chaque point, on parle de champ de tenseur métrique (et il y a aussi un champ de formes quadratiques associé, automatiquement). Le tenseur métrique prend en entrée deux vecteurs situés au même point que lui et donne un scalaire, le produit scalaire de ces deux vecteurs. Comme déjà dit auparavant, il définit l'orthogonalité (vecteurs orthogonaux si leur produit scalaire est nul).

Si on choisit un système de coordonnées , , ... , , le tenseur métrique peut s'écrire comme la combinaison linéaire (n² termes) :

Les produits scalaires entre vecteurs de base correspondent aux coefficients de cette combinaison linéaire :


Il existe des systèmes de coordonnées particuliers, donnant une expression plus simple de la métrique. Supposons que l'on ait choisi les champs scalaires servant de coordonnées de façon à ce que les vecteurs de base soit orthogonaux, c'est à dire que
si
Alors la métrique va s'écrire, dans ce système de coordonnées :

On peut maintenant s'intéresser aux carrés scalaires de ces vecteurs orthogonaux entre eux :

et surtout aux signes de ces carrés scalaires. Souvenons-nous :

Opérationnellement, si on choisit vecteurs orthogonaux dans un espace quadratique de signature , tels que , alors on aura automatiquement pour d'entre-eux et pour d'entre-eux.

Ainsi, en lisant les signes des , dans le cas d'une base orthogonale, on lit directement la signature de la forme quadratique, qu'on dit alors aussi signature de la métrique, et on identifie le type de la variété.
Si tous les sont non nuls et de même signe, l'espace tangent est euclidien et la variété Riemannienne.
Si tous les sont non nuls et de même signe sauf un, l'espace tangent est de Minkowski et la variété est Lorentzienne.
On ne mentionnera pas tous les autre cas.

En relativité générale, on s'intéresse aux variétés lorentzienne de dimension 4. Les vecteurs dont le carré scalaire est de signe minoritaire (négatif si -+++, positif si +---) sont dits de genre temps, par définition. Les vecteurs dont le carré scalaire est de signe majoritaire (positif si -+++, négatif si +---) sont dits de genre espace, par définition. Voyons quelques exemples :

Exemple 1, si dans une base orthogonale on a :
, , et ,
alors est un vecteur de genre temps tandis que , et sont des vecteurs de genre espace.

Exemple 2, si dans une base orthogonale on a :
, , et ,
alors est un vecteur de genre temps tandis que , et sont des vecteurs de genre espace.

Exemple 3, si dans une base orthogonale on a :
, , et ,
alors est un vecteur de genre temps tandis que , et sont des vecteurs de genre espace.

Nous appliquerons cela au cas concret de la métrique de Schwarzschild au prochain épisode...

m@ch3

[Archi3]

Considérons un observateur immobile :

Alors : dr^2 = dθ^2 = dφ^2 = 0

Prenons ds^2 > 0 , positif : nous sommes dans le monde réel, à l’extérieur de Rs, le temps propre, dτ = ds/c, s’écoulera normalement :

- OK pour Adler
- Pour Wiki, ds^2 est négatif ! Ce n’est peut être qu’une convention entre dτ et ds.

Jusque là, physiquement au moins, tout va bien

Prenons ds^2 < 0, négatif: nous sommes à r < Rs, dans la sphère de Schwarzschild, (dans l’extension de Kruskal)

un observateur ne peut pas être "immobile" à dr = 0 à r < Rs , pas plus qu'il ne peut voyager plus vite que la lumière en RR (ce qui donnerait aussi un ds^2 < 0 )

[Deedee81]

Salut,

Ah oui, je me disais bien qu'il y avait quelque chose qui me chiffonnait.

un observateur ne peut pas être "immobile" à dr = 0 à r < Rs , pas plus qu'il ne peut voyager plus vite que la lumière en RR (ce qui donnerait aussi un ds^2 < 0 )

Bien vu. Kip Thorn qualifie les TN de intrinsèquement dynamique pour cette raison d'ailleurs. Et il me semble voir une confusion entre un choix mathématique et un aspect physique dans le message 5. Pas sûr (les messages de bernardo sont souvent fort ambigus) :

une convention a été utilisée, et a conduit à un résultat physiquement acceptable pour r > Rs (ici, + - - -, qui donne des longueurs et des durées réelles dans le calcul, dans un domaine où l'espace temps est lui-même expérimenté comme réel), et on doit alors accepter que cette même convention régisse la suite du calcul, celle relative à r < Rs.

Il y a deux choses :
- On choisi une convention +--- ou -+++ et on s'y tien. Bien entendu qu'on ne va pas mélanger les deux, ça ce serait une bêtise. Et nul part je n'ai vu mach3 commettre cette bourde.
(on peut changer en cours de route... en faisant attention.... mais c'est risqué, on évite, et on peut choisir une convention différente d'un autre auteur, chacun est libre)
- Pour reprendre mon exemple où on écrit x + y = 0 ou x = -y. Aucun résultat physique au monde ne peut m'imposer d'écrire l'un ou l'autre. De même dans le choix d'un signe global (on a la même chose en physique quantique avec le choix de phase global, parfois utilisé pour simplifier certains calculs d'ailleurs).
(enfin trois chose en incluant la gaffe pointée par Archi3)

Donc Bernardo, je crois que :
- tu as mal lu les messages de mach3 (que je remercie pour cette analyse précise et détaillées, et la suite qui va arriver )
- tu enfonces une porte déjà largement ouverte
(bon y a jamais de mal à enfoncer un clou mais à un moment donné faut arrêter de frapper sur le clou)

[Archi3]

Salut,

Ah oui, je me disais bien qu'il y avait quelque chose qui me chiffonnait.



Bien vu. Kip Thorn qualifie les TN de intrinsèquement dynamique pour cette raison d'ailleurs. Et il me semble voir une confusion entre un choix mathématique et un aspect physique dans le message 5. Pas sûr (les messages de bernardo sont souvent fort ambigus)

oui, ils sont intrinsèquement dynamiques. Ce n'est pas tant que r n'est plus une coordonnée radiale mais temporelle sous l'horizon (ça pourrait etre du juste à un mauvais choix de coordonnées, un horizon existe aussi par exemple en coordonnées de Rindler dans un espace temps plat, pourtant tout à fait "statique" en coordonnées minkowskiennes) , mais il n'existe pas de système de coordonnées statiques (métrique indépendante de la coordonnée temporelle ) dans tout l'espace.
C'est d'ailleurs assez curieux, car on dérive la métrique de Schwarzchild en supposant que la métrique est statique (indépendante de t) et qu'elle correspond à une masse ponctuelle "au centre" (r = 0), mais en réalité la solution trouvée n'obéit à aucune des deux conditions : la métrique dépend de la coordonnée temporelle qui est r en dessous de l'horizon, et r= 0 n'est pas un "point" origine mais un "temps " (deux en fait). La métrique de Schwarschild ne décrit PAS une masse ponctuelle centrale, elle décrit une "énergie" donnant naissance à un champ de gravitation par une singularité passée "sans aucune masse dedans" qui disparait à nouveau en se retransformant en "énergie" dans une singularité future. Le problème initial de Schwarzchild n'a donc littéralement aucune solution. On le dit rarement quand on l'expose, ce qui fait qu'on entretient la confusion sur le fait que ça resterait "une métrique statique autour d'un point", ce que la plupart des gens continuent à se représenter mentalement(d'où les erreurs de représentation de type Bernarddo)

[Deedee81]

On peut travailler avec les coordonnées de Kruskal-Szekeres, plus de singularité. Mais bien entendu ça ne rend pas l'intérieur plus statique pour autant

Et oui, raisonner avec Schwarzschild conduit souvent à des erreurs d'interprétations. on l'a souvent vu dans ce forum.

[mach3]

oui, ils sont intrinsèquement dynamiques. Ce n'est pas tant que r n'est plus une coordonnée radiale mais temporelle sous l'horizon (ça pourrait etre du juste à un mauvais choix de coordonnées, un horizon existe aussi par exemple en coordonnées de Rindler dans un espace temps plat, pourtant tout à fait "statique" en coordonnées minkowskiennes) , mais il n'existe pas de système de coordonnées statiques (métrique indépendante de la coordonnée temporelle ) dans tout l'espace.
C'est d'ailleurs assez curieux, car on dérive la métrique de Schwarzchild en supposant que la métrique est statique (indépendante de t) et qu'elle correspond à une masse ponctuelle "au centre" (r = 0), mais en réalité la solution trouvée n'obéit à aucune des deux conditions : la métrique dépend de la coordonnée temporelle qui est r en dessous de l'horizon, et r= 0 n'est pas un "point" origine mais un "temps " (deux en fait). La métrique de Schwarschild ne décrit PAS une masse ponctuelle centrale, elle décrit une "énergie" donnant naissance à un champ de gravitation par une singularité passée "sans aucune masse dedans" qui disparait à nouveau en se retransformant en "énergie" dans une singularité future. Le problème initial de Schwarzchild n'a donc littéralement aucune solution. On le dit rarement quand on l'expose, ce qui fait qu'on entretient la confusion sur le fait que ça resterait "une métrique statique autour d'un point", ce que la plupart des gens continuent à se représenter mentalement(d'où les erreurs de représentation de type Bernarddo)

l'article de Schwarzschild est décortiqué dans ce fil là : https://forums.futura-sciences.com/d...trou-noir.html , à partir du message 32 (PS, plutôt à partir du message 68 finalement). A lire jusqu'au bout car il me semble qu'il y a eu des affirmations erronées de ma part au début qui ont été corrigées par la suite. Ce fil mériterait une synthèse. Un jour peut-être. Si j'ai le temps.

m@ch3

[ordage]

Les conventions de signe sont utilisables sans problème, le hic ici c'est qu'une convention a été utilisée, et a conduit à un résultat physiquement acceptable pour r > Rs (ici, + - - -, qui donne des longueurs et des durées réelles dans le calcul, dans un domaine où l'espace temps est lui-même expérimenté comme réel), et on doit alors accepter que cette même convention régisse la suite du calcul, celle relative à r < Rs. Et si elle donne alors des valeurs imaginaires pour les durées, c'est encore quelque chose d'intrinsèque et qui doit être acté.
Aucun a priori de résultat (l'existence de l'espace-temps pour r <Rs) ne saurait justifier de transgresser la règle.

.

Bonjour
Est-ce le fait que le ds² est négatif pour r < Rs dans les coordonnées de SCHWD qui te chagrine? Que les coordonnées de SCHWD soient mal adaptées à la description de la solution complète du corps central avec horizon, du fait de la singularité (fictive car de de coordonnées) pour r = Rs, ce n'est pas douteux. les coordonnées de Painlevé, par exemple n'ont pas ce défaut.

Mais il faut savoir que ds² n'est pas un carré de quoi que ce soit, en fait c'est un raccourci pour désigner le tenseur métrique, le chiffre 2 ne représente pas un carré mais l'ordre du tenseur métrique (tenseur à 2 indices).

Ce qui est important et a un caractère physique ce sont les lignes d'univers dans cet espace-temps, les géodésiques par exemple. Y-a -t'il une géodésique de type temps radiale par exemple qui traverse l'horizon jusqu'à la singularité centrale, en restant tout le temps de type temps et cela en un temps propre fini (de l'observateur parti loin de l'horizon, mais à une distance finie, qui la parcoure). La réponse est oui.

Cela est simple dans la métrique de Painlevé car elle n'est pas singulière pour r = Rs, mais cela peut aussi se faire avec la métrique de SCHWD, car s'il y a des divergences sur l'horizon, la ligne géodésique atteint l'horizon (et le traverse) à un temps propre fini. C'est pas pratique, mais ça marche.

Il ne faut pas se traumatiser sur les coordonnées, qui n'ont aucun caractère physique, on décrire aussi la solution avec certaines coordonnées nulles signature (0,0,+,+) coordonnées de Finkelstein et, localement, même avec 4 coordonnées nulles dont 2 imaginaires (Formalisme de Newmann-Penrose qui malgré son étrangeté simplifie les calculs pour les espaces temps de Kerr).
Bref, on voit de tout pour les coordonnées, sachant que quelles qu'elles soient pour un même problème elles vont conduire au même résultat pour tous les paramètres ayant un caractère physique.
Cordialement

[bernarddo]

un observateur ne peut pas être "immobile" à dr = 0 à r < Rs , pas plus qu'il ne peut voyager plus vite que la lumière en RR (ce qui donnerait aussi un ds^2 < 0 )

Il ne vous à pas échappé que pour moi il n'y a pas d'espace temps pour r < Rs, ce qui élimine toute gaffe possible !

Il aurait certes fallu dire "considérons la situation que rencontrerait un observateur immobile", mais je ferai remarquer qu'on ne pourrait pas non plus trouver un observateur immobile pour r > Rs, pour la bonne raison que ce serait également une situation parfaitement artificielle car il n'existe pas de masse M ponctuelle.
Si l'on ne peut plus imaginer des situations sur le plan purement mathématique...

Sans compter que dans la littérature, les horizons de trous noirs sont pleins d'images de bonhommes "déchiquetés" par les conditions rencontrées, je trouve rassurant qu'on puisse y trouver aussi un gentleman qui fume la pipe, d'autant que je conclus que ce n'est qu'un rêve...

[Deedee81]

Il ne vous à pas échappé que pour moi il n'y a pas d'espace temps pour r < Rs

Attention, hors charte, point 6. Sanction proche

[Archi3]

Il ne vous à pas échappé que pour moi il n'y a pas d'espace temps pour r < Rs, ce qui élimine toute gaffe possible !

je te parle de la métrique de Schwarschild, pas du résultat de ton imagination fertile ! En métrique de Schwarschild, une observateur ne peut pas rester immobile à r< Rs constante, donc ton raisonnement est invalide dès le départ.

Il aurait certes fallu dire "considérons la situation que rencontrerait un observateur immobile", mais je ferai remarquer qu'on ne pourrait pas non plus trouver un observateur immobile pour r > Rs, pour la bonne raison que ce serait également une situation parfaitement artificielle car il n'existe pas de masse M ponctuelle.

sauf que pour la même raison que la gravitation newtonienne, la métrique à l'extérieur d'un corps de symétrie sphérique (même si ce n'est pas un trou noir), est exactement la métrique de Schwarzchild. Un pilote d'hélicoptère trouverait bizarre ton assertion

Si l'on ne peut plus imaginer des situations sur le plan purement mathématique...

un observateur n'est pas "purement mathématique" : la relativité dit qu'on objet matériel ne peut que suivre des trajectoires de type temps, et une trajectoire à r< Rs constant serait une trajectoire de genre espace, donc impossible.

Après si tu veux proposer ta propre théorie de la Relativité, bon courage, mais alors écris une PRL, pas ici.

[ThM55]

Je dois avouer que la question du choix de la signature est en ce qui me concerne d'un intérêt totalement nul, puisqu'il s'agit d'une pure convention sans signification physique. Pourtant, j'ai personnellement une affection particulière pour +--- pour des raisons purement sentimentales . Je me sens toujours un petit peu dépaysé quand on utilise -+++. Quand j'étais jeune la plupart des textes étaient en +--- : Landau-Lifschitz, Adler-Bazin-Schiffer, Dirac, Papapetrou,... et même en théorie quantique avec par exemple Bjorken & Drell. Puis la mode a changé avec Hawking-Ellis et Misner-Thorne-Wheeler.

Mais je me suis parfois amusé à demander la raison du choix particulier lors de cours ou de séminaires et on m'a donné trois types de réponses. La première: "sans raison, c'est juste une convention, je n'ai pas de préférence". La seconde: "je choisis +--- car le ds2 est alors positif pour les lignes de genre temps et je n'ai pas besoin de signe moins dans la racine carrée pour avoir le temps propre". La troisième: "je choisis -+++ car la rotation de Wick donne alors l'espace-temps euclidien avec un ds2 positif". La dernière suggère que c'est l'influence de la physique des particules qui a prévalu, mais je n'en suis pas sûr.

[mach3]

Mettons en application les notions développées dans les posts précédents.

Exemple 1 :
, avec , et

Le premier coefficient est positif et les 3 autres négatifs. Le premier est donc de signe minoritaire. Le vecteur est donc de genre temps et les vecteurs , et sont de genre espace.

Le vecteur est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à tout en maintenant , et constant. Il est tangent aux lignes de , et constant, qui sont donc des lignes d'univers de genre temps.

Le vecteur est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à tout en maintenant , et constant. Il est tangent aux lignes de , et constant, qui sont donc des lignes de genre espace.

Exemple 2 :

, avec , et

Le premier coefficient est négatif et les 3 autres positifs. Le premier est donc de signe minoritaire. Comme dans l'exemple précédent, le vecteur est donc de genre temps et les vecteurs , et sont de genre espace.

Le vecteur est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à tout en maintenant , et constant. Il est tangent aux lignes de , et constant, qui sont donc des lignes d'univers de genre temps.

Le vecteur est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à tout en maintenant , et constant. Il est tangent aux lignes de , et constant, qui sont donc des lignes de genre espace.

Exemple 3 :
, avec , et

Le deuxième coefficient est positif et les 3 autres négatifs. Le deuxième est donc de signe minoritaire. Le vecteur est donc de genre temps et les vecteurs , et sont de genre espace.

Le vecteur est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à tout en maintenant , et constant. Il est tangent aux lignes de , et constant, qui sont donc des lignes d'univers de genre temps.

Le vecteur est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à tout en maintenant , et constant. Il est tangent aux lignes de , et constant, qui sont donc des lignes de genre espace.


Les notations et sont des dénominations neutres utilisées à dessein en lieu et place de et qui sont trop porteuses de sens.
Si on revient aux dénominations usuelles, on constate bien que pour , une ligne de , , constant est de genre temps (c'est une ligne d'univers) et une ligne de , , constant est de genre espace (ce n'est pas une ligne d'univers).
Et on constate également que pour , une ligne de , , constant est de genre espace (ce n'est pas une ligne d'univers) et une ligne de , , constant est de genre temps (c'est une ligne d'univers).
Notons qu'il n'est nulle part question d'interpréter, on ne fait que suivre les définitions.

On a donc à faire à deux morceaux d'espace-temps qui n'ont a priori en commun que l'écriture de la métrique (et seulement l'écriture, pas le sens, ce sont en quelque sorte des homonymes) et la nullité du tenseur de Ricci correspondant. Le reste est différent : le domaine de définition de r est différent, les genre des coordonnées r et t sont différents, on a stationnarité, symétrie sphérique et platitude asymptotique dans l'un et non stationnarité et symétrie cylindro-sphérique dans l'autre.
Un seul des deux, celui en , est une solution au problème que Schwarzschild a souhaité résoudre initialement, à savoir déterminer la géométrie d'un espace-temps vide, stationnaire, de symétrie sphérique et asymptotiquement plat. Et il n'est pas exactement la solution au problème posé car une masse ponctuelle statique étaient exigée alors que cette solution n'admet pas de corps central statique de rayon aréal inférieur à . L'autre morceau n'est pas compatible a priori avec ce problème (pas stationnaire, pas asymptotiquement plat), et sans examen plus approfondi, on pourrait être en droit de simplement l'ignorer. Il pourrait en effet s'agir d'une autre solution du vide, sans lien nécessaire avec l'autre. Ils pourraient être la description de deux espace-temps différents, disjoints.
L'examen plus approfondi, notamment en relâchant la contrainte sur la nullité des termes rectangles lors de la résolution, comme l'a fait Painlevé par exemple, montre cependant que ce n'est pas le cas et qu'il s'agit de deux morceaux du même espace-temps, des morceaux disjoints certes, mais bien du même espace-temps.

m@ch3

[ordage]

Bonjour Mach3
Je pense que le plus simple pour déterminer le "genre" (temps ou espace) d'un vecteur en RG c'est de faire son auto-produit scalaire (en RG), le signe du résultat donne le genre.

Cordialement

[mach3]

Bonjour Mach3
Je pense que le plus simple pour déterminer le "genre" (temps ou espace) d'un vecteur en RG c'est de faire son auto-produit scalaire (en RG), le signe du résultat donne le genre.

Je suis bien d'accord, et c'est évident quand on est expérimenté.

m@ch3

[mach3]

Il ne faut pas se traumatiser sur les coordonnées, qui n'ont aucun caractère physique, on décrire aussi la solution avec certaines coordonnées nulles signature (0,0,+,+) coordonnées de Finkelstein et, localement, même avec 4 coordonnées nulles dont 2 imaginaires (Formalisme de Newmann-Penrose qui malgré son étrangeté simplifie les calculs pour les espaces temps de Kerr).
Bref, on voit de tout pour les coordonnées, sachant que quelles qu'elles soient pour un même problème elles vont conduire au même résultat pour tous les paramètres ayant un caractère physique.
Cordialement

Je reviens juste là-dessus, oui, il ne faut mais se traumatiser sur les coordonnées vu que ce sont des étiquettes arbitraires, mais ce n'est pas parce qu'on utilise des coordonnées de genre nul que la signature change par contre. En Finkelstein, on est toujours en -+++ et pas 00++. C'est la loi d'inertie de Sylvester : la signature ne dépend pas du système de coordonnées.
D'ailleurs on peut très bien travailler avec 4 coordonnées temporelles et 0 spatiales, ou 4 coordonnées spatiales et 0 temporelles, on ne sera pas pour autant en ++++ ou ----.

m@ch3

[Deedee81]

loi d'inertie de Sylvester

Ah tiens, je n'en connaissais pas le nom (je savais que c'était un invariant). J'ai appris quelque chose

[ordage]

C'est la loi d'inertie de Sylvester : la signature ne dépend pas du système de coordonnées.

m@ch3

Bonjour

Cela dépend de quoi on parle.

On parlait de la signature dans les coordonnées globales qui couvrent une région voire la totalité de la variété.

Mais localement dans l'espace-temps, quelles que soient les coordonnées, en RG, en un point (s'il n'est pas singulier), on peut faire une transformation de coordonnées pour obtenir des coordonnées "en général qualifiées d'inertielles" qui sont de signature -+++ (un espace-temps local de Minkowski ). Cela caractérise tous les types d'espace-temps de la relativité générale et on peut donc affirmer que cette signature est caractéristique de la RG (d'où le théorème en question)
"
Alternativement à cette base orthonormée locale (au sens de la RR) on peut définir une base locale de type "spinoriel", constituée de 4 vecteurs nuls, équivalente à celle Minkowski, (elles se déduisent par une transformation de coordonnées) qui est tout aussi valide et conduit à une simplification remarquable des équations dans des solutions de TN en rotation, par exemple. Ici c'est une autre structure caractéristique des espace-temps de la RG qui est à l’œuvre.
Il est mathématiquement équivalent, mais les formalismes associées sont différents.
Cordialement

[Deedee81]

Salut

Il est mathématiquement équivalent, mais les formalismes associées sont différents.

Je vais peut-être dire la bêtise du siècle mais ce que tu expliques n'est pas lié au formalisme des tétrades ?
(c'est le "spinoriel" qui m'a fait penser ça car je sais que ce formalisme est nécessaire quand on parle de champs fermioniques en espace-temps courbe)

[bernarddo]

En relativité générale, on s'intéresse aux variétés lorentzienne de dimension 4. Les vecteurs dont le carré scalaire est de signe minoritaire (négatif si -+++, positif si +---) sont dits de genre temps, par définition. Les vecteurs dont le carré scalaire est de signe majoritaire (positif si -+++, négatif si +---) sont dits de genre espace, par définition.

m@ch3

Quel aveu !

Cela veut tout simplement dire que le choix de la signature revient à choisir le genre des vecteurs !

Mettons en application les notions développées dans les posts précédents.

Si on revient aux dénominations usuelles, on constate bien que pour , une ligne de , , constant est de genre temps (c'est une ligne d'univers) et une ligne de , , constant est de genre espace (ce n'est pas une ligne d'univers).
Et on constate également que pour , une ligne de , , constant est de genre espace (ce n'est pas une ligne d'univers) et une ligne de , , constant est de genre temps (c'est une ligne d'univers).
Notons qu'il n'est nulle part question d'interpréter, on ne fait que suivre les définitions.
m@ch3

On découvre donc alors que pour r < α, et par le seul fait de suivre les définitions, (mais aussi surtout par le résultat donné par la métrique), une ligne de , , constant est de genre espace, alors qu’elle devrait être de genre temps ! Que le carré du temps propre dτ^2 est négatif !, (en même temps que le ds^2 d’ailleurs), et que suivant ce qu’on apprend partout en mathématiques, cela nous donne un dτ imaginaire.

Et c’est là que je tombe de ma chaise en voyant l’interprétation qui en est faite:

On a donc à faire à deux morceaux d'espace-temps qui n'ont a priori en commun que l'écriture de la métrique (et seulement l'écriture, pas le sens, ce sont en quelque sorte des homonymes) ….

Un seul des deux, celui en , est une solution au problème que Schwarzschild a souhaité résoudre initialement, à savoir déterminer la géométrie d'un espace-temps vide, stationnaire, de symétrie sphérique et asymptotiquement plat.
m@ch3

Le coup de l’homonymie de la métrique !, et ce qui n’est pas dit, mais effectivement réalisé, le fait de s’assoir sur ses propres définitions pour retrouver des lignes de genre temps pour r < α. (ces définitions étant aussi probablement placées sous le signe de l’homonymie).

(et en prime une redéfinition différente du problème que Schwarzschild avait pourtant clairement posé, et parfaitement résolu, grâce au fait qu’il ait posé son exigence de continuité pour l’espace-temps, ce dont il n’a jamais été fait état dans la défense de la solution académique).

Il était pourtant bien simple de donner une interprétation au changement de signe de ds^2 devenu négatif dans une métrique parfaitement conclusive:
Il aurait suffi de constater qu’il se produit lorsque le module du trivecteur de l’élément de trajectoire excéde celui du vecteur de la quatrième composante, celle de l'élément de temps écoulé simultanément, ce qui implique physiquement que cet élément de trajectoire a été parcouru à une vitesse supérieure à celle de la lumière, ce qui situe r <Rs hors de notre espace temps.

[Deedee81]

Salut,

Quel aveu !
Cela veut tout simplement dire que le choix de la signature revient à choisir le genre des vecteurs !

Heu.... non !!!!! Tu as mal lu/compris !!!!!

Ca veut juste dire que les définitions des deux sont liées mais pas qu'on modifie le genre en choisissant la signature. Le vecteur il est ce qu'il est, indépendamment de la signature.

(c'est quand même une bourde phénoménale là, tu réponds trop vite !)

[ordage]

Salut



Je vais peut-être dire la bêtise du siècle mais ce que tu expliques n'est pas lié au formalisme des tétrades ?
(c'est le "spinoriel" qui m'a fait penser ça car je sais que ce formalisme est nécessaire quand on parle de champs fermioniques en espace-temps courbe)

Bonjour
Oui, mais pour les tétrades le choix usuel était de prendre une base de vecteurs orthonormés au sens de la RR (associés à un espace-temps local de type Minkowski), mais ce n'est pas forcément le meilleur, à témoin le temps (46 ans) qu'il a fallu pour trouver (par hasard) la solution du TN en rotation (Kerr -1963) alors que pour les TN statiques (sans charge ou chargés) c'était vers1916-1918. C'est en utilisant une tétrade nulle (décrite par le formalisme de Newmann-Penrose en 1962) que Kerr a trouvé sa solution. Voir l'autre fil créé à ce sujet.
Cordialement

[Deedee81]

Salut,

D'accord, merci. J'ignorais ces difficultés historiques.

[mach3]

Quel aveu !

Cela veut tout simplement dire que le choix de la signature revient à choisir le genre des vecteurs !

Ben non, pas du tout. Quelque soit la convention de signature, +--- ou -+++, un vecteur de genre temps et tel que son carré scalaire est du signe minoritaire dans la signature. Si on a choisit la convention de signature +---, les vecteurs de genre temps auront un carré scalaire positif. Si on a choisit la convention de signature -+++, les mêmes vecteurs de genre temps auront un carré scalaire négatif.

Je récapitule la procédure.

On a une expression de la métrique, avec un domaine de définition.
On choisit 4 vecteurs orthogonaux, on calcule leurs carrés scalaires, on obtient 4 nombres. On regarde combien sont positifs et combien sont négatifs. On en déduit la signature. Comme choisir 4 vecteurs orthogonaux peut être difficile dans le cas général d'une métrique avec des termes rectangles, on peut faire un changement de variable pour faire disparaitre les termes rectangles. La signature se lit alors directement en regardant les signes de coefficients diagonaux.

Si c'est +--- ou -+++, alors c'est (un morceau d')une variété Lorentzienne qui est décrite. Les vecteurs dont le carré scalaire est positif en +--- auront un carré scalaire négatif en -+++. Ces vecteurs là ont un carré scalaire du même signe que le signe le moins représenté dans la signature. On les appelle des vecteurs de genre temps.

Exemple générique, on donne l'expression de la métrique , avec A, B, C et D des fonctions réelles strictement positives. La signature est -+++ (expression diagonale avec un coefficient négatif et 3 coefficients positifs) et les vecteurs de genre temps auront un carré scalaire négatif. De plus le vecteur (=direction de m croissant avec k, l et n constants) aura pour carré scalaire -C, négatif, donc sera de genre temps.
Travailler sur l'expression est strictement équivalent. Signature +--- et vecteurs de genre temps de carré scalaire positif. Le vecteur aura pour carré scalaire C, positif, donc sera encore de genre temps.

On découvre donc alors que pour r < α, et par le seul fait de suivre les définitions, (mais aussi surtout par le résultat donné par la métrique), une ligne de , , constant est de genre espace, alors qu’elle devrait être de genre temps !

ben, non, rien ne dit que cette ligne devrait être de genre temps. On a demandé à ce que soit le cas dans les hypothèses de départ et à l'arrivée on constate que c'est le cas seulement pour r>α. Comme je l'ai déjà dit, en résolvant le problème de Schwarzschild, on arrive à une expression de la métrique avec comme domaine de définition r>α. On a la description d'un morceau de l'espace-temps qui répond aux impératifs (vide, symétrie sphérique, stationnarité, platitude asymptotique).
Si on prend cette même expression avec r<α, ce n'est pas la solution du problème de Schwarzschild : pas de stationnarité, pas de platitude asymptotique

Que le carré du temps propre dτ^2 est négatif !, (en même temps que le ds^2 d’ailleurs), et que suivant ce qu’on apprend partout en mathématiques, cela nous donne un dτ imaginaire.

répéter ad nauseam une ânerie ne la rend pas vraie. Si r<α, alors dans une représentation avec t en ordonnée et r en abscisse, une horizontale est une ligne d'univers. , un déplacement suivant r avec t, et constant, est un vecteur de genre temps.
En +---, son carré scalaire est , parce que r<α.
En -+++, son carré scalaire est , parce que r<α.
Si on s'intéresse au temps propre, précisons par ailleurs qu'on a en signature +--- et en signature -+++ (au facteur c² près, mais on prend c=1 ici). est toujours positif. Donc, le long d'une telle ligne, on a , quelque soit la signature.

Le coup de l’homonymie de la métrique !

J'ai cherché le concept simple et abordable qui se rapproche le plus de la situation. Il ne s'agit pas d'un "coup", juste d'une analogie pour aider à comprendre qu'on a beau écrire la même expression (la même série de signes), la signification n'est pas la même avec r<α et r>α.

et ce qui n’est pas dit, mais effectivement réalisé, le fait de s’assoir sur ses propres définitions pour retrouver des lignes de genre temps pour r < α. (ces définitions étant aussi probablement placées sous le signe de l’homonymie).

Non, les définitions sont strictement suivies. Penser qu'elles ne le sont pas ne fait que montrer qu'elles ne sont pas comprises.

Il était pourtant bien simple de donner une interprétation au changement de signe de ds^2 devenu négatif dans une métrique parfaitement conclusive:
Il aurait suffi de constater qu’il se produit lorsque le module du trivecteur de l’élément de trajectoire excéde celui du vecteur de la quatrième composante, celle de l'élément de temps écoulé simultanément, ce qui implique physiquement que cet élément de trajectoire a été parcouru à une vitesse supérieure à celle de la lumière, ce qui situe r <Rs hors de notre espace temps.

Voilà le retour du n'importe quoi. La fermeture du fil approche.

m@ch3

[Archi3]

manifestement les explications détaillées de Mach3 n'atteignent pas leur but

[mach3]

manifestement les explications détaillées de Mach3 n'atteignent pas leur but

Elles n'atteignent pas leur but explicite et évident, helas. Heureusement elles ont d'autres buts implicites, comme la vulgarisation du lecteur silencieux ou le renforcement de ma propre compréhension.

m@ch3