Filtrage

[LauretteB]

Bonjour,
Je ne parviens pas à répondre à certaine questions, je compte sur vous, pour m'éclairez un peu

Alors tout d'abord la fonction de transfert H(f) de mon filtre est une porte (rect) allant de -fc à fc d'amplitude 1. J'ai calculé à l'aide de la transformé de fourier inverse h(t). Jusque là tout va bien.
Voici ce qui me pose pb :

On place à l'entrée du filtre le signal e(t)=E1cos(pi*fc*t) + E2cos(4pi*fc*t) avec E1>E2

-faire le spectre d'amplitude : ok c'est fait
-Donner en justifiant, l'expression du signal s(t) à la sortie du filtre (Aucun calcul n'est nécessaire !!)

On place à l'entrée du filtre une impulsion de dirac e(t) = sigma(t). Donner en justifiant l'expression du signal s(t) à la sortie du filtre. (aucun calcul n'est nécessaire)

J'ai donc un problème pour les deux questions soulignées, sachant qu'il ne faut aucun calcul ...

J'attends vos réponses ..
Merci d'avance
-----

[erff]

Salut

Les réponses sont toutes bêtes...
Une porte, elle fait quoi pour les signaux dont la fréquence est < fc ? et pour ceux dont la fréquence est > à fc ?
Conclusion ?

- Pour le dirac :
Définition : la transformée inverse du spectre d'un filtre est la réponse impulsionnelle du filtre....
conclusion ?

[LauretteB]

La porte sert de filtre passe bande ?! Mais ça me donne pas l'expression de sortie ?!
La réponse impulsionnelle c'est h(t) ...

Je vois toujours pas comment faire ....

[LauretteB]

Ah mais en faite , peut être que j'ai trouvé la réponse à la première question, dite moi si j'ai tord. L'expression de sortie serait simplement s(t) =E1cos(pi*fc*t) ?

Par contre pour la seconde .... je ne vois toujours pas .

[A voir en vidéo sur Futura]

[erff]

OUI, la porte laisse passer tout ce qui est de fréquence inférieure à fc, et enlève tout le reste

Pour la 2- tu dis avoir calculé h(t) précédemment..mais c'est qui h(t) ? il correspond à quoi ?

[LauretteB]

La porte enlève tout ce qui est inférieur à fc ?? C'est pas plutôt elle laisse passer que ce qui se trouve entre -fc et fc ??

Alors en faite H(f) c'est la fonction de transfert du filtre, ensuite je calcule h(t) (je trouve h(t) =2fc*sinc(2*pi*fc*t) )
Ensuite on me demande se que représente h(t), pour moi c'est la réponse impulsionnelle. Et ensuite vient la question

[erff]

La porte enlève tout ce qui est inférieur à fc ?? C'est pas plutôt elle laisse passer que ce qui se trouve entre -fc et fc ??

J'avais répondu

OUI, la porte laisse passer tout ce qui est de fréquence inférieure à fc, et enlève tout le reste

La partie non rigoureuse est que j'ai raisonné en fréquence positive, car c'est toujours symétrique (dans la vraie vie je veux dire), mais à part ça j'ai dit la même chose

Ensuite :

Alors en faite H(f) c'est la fonction de transfert du filtre, ensuite je calcule h(t) (je trouve h(t) =2fc*sinc(2*pi*fc*t) )
Ensuite on me demande se que représente h(t), pour moi c'est la réponse impulsionnelle

Donc si on met une impulsion dans le filtre (un dirac quoi), quelle est sa réponse ?????

[LauretteB]

L'expression de la sortie quand on met un Dirac c'est h(t) alors ?!

[erff]

Eh oui

La définition de h(t), c'est la réponse impulsionnelle du filtre !!!!

Quand on te donne H(f), c'est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle...y a que ça à savoir
On a choisi la réponse impulsionnelle car le dirac c'est l'élément neutre de la convolution (voir cours de maths), donc filtrer revient à convoluer avec la réponse à l'élément neutre de la convolution.

[LauretteB]

Ahhh c'est bien ce qui me semblait. Donc ça marche que pour le dirac, parce que c'est l'élément neutre en faite, pour les autres, le calcul (convolution) est obligatoire ?

Merci bien en tout cas, de m'avoir aidé

[erff]

Rigoureusement, il faut toujours convoluer, même avec le dirac...mais la convolution d'une fonction avec un dirac, c'est la fonction elle même...(si tu convolues h(t) avec delta(t), tu retombes sur h(t))

[LauretteB]

Ah oui c'est bien ça merci !
Et je peux en profiter pour te poser une autre petite question que je me pose :

Quelle est l'effet de la période d'échantillonnage (d'une sinusoïde) sur un spectre de celui ci ? Je veux dire par là , que si on prend une période d'échantillonnage de 0.1 puis 1.1 par exemple, ça changera quoi ?

Je crois qu'il faut s'intéresser au théorème de shannon nyquist pour cela, mais j'ai pas bien compris, ça répond pas à ma question ....

[erff]

Salut

Faisons cela rigoureusement :

- Mathématiquement, échantillonner un signal s(t) c'est le multiplier par un peigne de dirac ce qui donne

Dans le domaine fréquentiel, cela revient à convoluer par la TF du peigne de dirac
Mais il y a un théorème qui nous dit que la TF d'un peigne de dirac :

Donc faisons la convolution de S(f) avec la TF du peigne (multiplier dans le domaine temporel=convoluer dans le domaine fréquentiel) ce qui donne, étant donner que delta(f) est l'élément neutre, et que convoluer S(f) par delta(f-n/Te) ça revient à prendre S(f-n/Te)

Maintenant dessinons tout ça : connaissant le spectre S(f), tu es capable de tracer S(f), S(f-1/Te), S(f-2/Te) etc...que remarques tu ?
(Dessine la situation pour Te faible et pour Te élevé)

[LauretteB]

Ben ... Plus Te est faible, plus le graphe est précis ?!

[erff]

Ben ... Plus Te est faible, plus le graphe est précis ?!

Ne donne pas une réponse au hasard, fais le dessin du spectre S_ech(f) avec la dernière formule de mon précédent post
Tu constateras que c'est le spectre bilatéral S(f) périodisé tous les 1/Te (j'insiste sur le fait que tu dois faire un dessin pour bien saisir le principe)
En somme, si Te est faible alors 1/Te est élevé donc les spectres sont très espacés entre eux...par contre si Te est élevé, alors les spectres sont très proches, et à la limite, les spectres originels et repliés peuvent se chevaucher ce qui signifie que l'on perd de l'information....Franchement fais un dessin, tu pars du principe que le spectre de s(t) c'est un petit rectangle (n'oublie pas la partie des fréquences négatives), et tu dessines le spectre de s_ech(t) (ça sera ce rectangle répété tous les 1/Te)

[LauretteB]

Ok ! Ah oui effectivement j'avais tout faux !

Merci beaucoup pour ton aide !