Pour les nombres clairement, c'est l'arithemtique de Peano, ou la theorie des ensembles.Envoyé par philname
Pour les autres en quelque sorte, avec les structure associée : espace vectoriel, espace metrique ou espace topologique, espace mesurable respectivement.
Sur cette page :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...s_mod%C3%A8les
il est écrit :
"Un modèle donne donc la certitude de travailler sur une théorie qui ne débouchera pas sur une contradiction."
A ce que je comprends ici, on peu créer une infinité de modèles, avec nos axiomes.
Ici théorie = "assemblage des axiomes" ?
Enfait quand on parle de consistance d'une théorie, c'est la non-contradiction des axiomes, et non la cohérence (pour moi assemblage des axiomes) de la théorie.
Donc toujours d'après cette phrase, on pourra donc créer n'importe quel modèle avec des axiomes prédéfinis qui ne se contredisent pas dans ce modèle ? Tout modèle sera donc "juste" seulement si ces axiomes sont bien "assemblés". Un modèle sera donc un modèle sans définition de cohérence du "tout", puisque ce modèle est donc le tout. Il est donc absurde de prouver sa cohérence, puisque seul l'assemblage des axiomes non contradictoire défini ce modèle. Il serait aussi absurde de se demander si ce modèle est complet ou incomplet.
Oui, c'est le fameux théorème de complétude (pour la logique classique du premier ordre) de Gödel dont baguette et moi ne cessons de dire qu'il est extrêmement important.
Tout ce que je vais dire ne concerne que la logique classique du premier ordre.
Il faudrait définir ce que veux dire modèles différents, si on veut dire "modèles non isomorphes", acception habituelle, alors ce n'est pas obligatoire, par exemple la théorie des groupes à un élément n'a qu'un seul modèle.
Par contre dès que l'on aborde le domaine des modèles de cardinal infini, alors le théorème de Löwenheim Skolem assure qu'il existe au moins un modèle en chaque cardinal infini (plus grand qu'un certain minorant), donc une infinité.
En général Théorie = ensemble de formules clos par inférence.
C'est pareil, puisque que cohérence = non-contradiction
Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Je ne sais pas ce que veux dire "Modèle juste". Je ne comprends pas le reste.
Exact, la théorie d'un modèle est toujours complète.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Hum.. toute théorie mathématique finalement se résout à peu de chose :Comment construire une théorie "cohérente" après avoir définie des axiomes ?
Le problème à mon avis c'est de construire un "tout" cohérent, est-ce que c'est plus de la logique que de la théorie ?
- Une liste de proposition dont certaine sont "vrai" et d'autres "fausses" (la cohérence)
- Des propositions déductive des si "prop" (est vrai) alors "prop" (est vrai)
avec des 'inconnus', c'est à dire des implications. Par exemple :
si 'x appartient à A' (est vrai) et 'A est inclus dans B' (est vrai)
alors 'x appartient à B' (est vrai)
On a ensuite deux cohérences différentes :
- la cohérence interne (une proposition est vrai si elle est déductible des axiomes)
- la cohérence avec la réalité quand il s'agit d'une théorie physique.
(on confond souvent les deux avec le mot "vrai")
A priori, la réalité n'est pas paradoxale : on peut écrire des axiomes efficaces et des théories physiques. La réalité est "intelligible".
Mais si la réalité est basé sur une axiomatique, alors cette axiomatique est forcément infiniment complexe (il n'y a pas d'axiome définitif à la réalité), sous peine de ce contenir elle-même et donc d'être paradoxale..
Donc toute description de la réalité finit (toute axiomatique) est une approximation de la réalité (comme le modèle de gravitation de Newton est une approximation de la mécanique céleste).
Donc construire une théorie aprés avoir définit les axiomes.. on pourrait toujours sortir toute les propositions qui découle des axiomes, qui auront donc bien une cohérence interne.
Attention, les mathématiques, en elle-même, parle de la réalité.
Si on prend l'ensemble des axiomatiques possible (ce que sont les mathématiques) on tombe sur quelque chose qui n'a pas d'axiome (mais qui est plus vaste que la réalité). Les mathématiques finalement, c'est l'étude du potentiel de la réalité... (l'idée même de l'abstraction des nombres est une globalisation et permet d'envisager des nombres qui n'existe pas réellement, voir l'infinie, etc.. ).
En fait, c'est comme si la réalité était une sculpture infiniment complexe qu'on chercherait à reconstruire avec des outils qui nous permettent d'en envisager d'autre (on peut imaginer n'importe quoi).
Comme la réalité n'a pas d'axiome, la théorie qu'on fera ne serait pourtant toujours qu'une approximation..
@philname :
Je crois que je viens de comprendre : tu fais une confusion entre "modèle" tel que les physiciens utilise ce mot et "théorie des modèles" qui est la façon dont les logiciens comprennent ce mot ; l'article de wikipedia que tu cites est bien celui sur la théorie des modèles, il n'y a pas d'ambiguité sur le sens à donner à ce mot ici.
Il me semble que ce que tu appelles modèles est en fait un ensemble d'axiomes qui peuvent être consistants ou non et leurs conséquences, autrement dit : une théorie.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui dans ma tête, j'ai compris que le modèle était un ensemble d'axiomes qui peuvent être consistants ou non et leurs conséquences.
J'ai vraiment pas compris alors ce qu'était un modèle ! Enfin peut-être, un modèle est-ce la géométrie euclidienne ou non euclidienne. Une définition de la géométrie euclidienne (triangle où la somme de ses 3 angles est égale à 180°, alors qu'en géométrie non-euclidienne, cette définition est incompatible?).
Si l' idée que je me fais ci-dessus est fausse, j'aimerais que l'on m'explique clairement la définition du mot "modèle" et son rapport avec le théorème de complétude qui dit en gros qu'un modèle donne la certitude de travailler sur une théorie qui ne débouchera pas sur une contradiction.
Et donc m'expliquer aussi pourquoi la théorie d'un modèle est toujours complète.
Deuxième encore une définition un peu trop matheuse pour moi, j'ai du mal à comprendre cette phrase :
"En général Théorie = ensemble de formules clos par inférence"
Pour toi ici les formules ce sont des opérateurs + - x :, et non des propositions ? Clos par inférence ?
Je pourrais très bien créer une théorie sur une construction logique où il n'y a aucune formule mathématique.
Ici ils ont aussi du mal avec un modèle et ses axiomes. Je ne comprends vraiment pas bien :
http://les-mathematiques.u-strasbg.f....php?16,431031
Tout ceci à expliquer pour quelqu'un qui n'est pas dans la filiale scientifique. Mais grandement intéressé par le comment du pourquoi d'une théorie.
Merci
Axiome conséquence.
En gros : une théorie c'est un ensemble d'axiome, d'enoncé "abstrait" qui serve de base, et tous les énoncés que tu peux construire a partir de ces regles en utilisant les regles logiques habituelles (ou d'autres, mais passons..)
Un modele c'est une "concretisation" d'une theorie : les axiomes d'une theorie ne porte que sur des symboles sans signification. Un modele est une maniere de faire correspondre les symboles a des "vrais" objets.
Exemple classique : la theorie des groupes :
La theorie est :
Des variables x,y,z
Une constante e
un operateur binaire *
Des axiomes :
Pour tout x,y,z, x*(y*z)=(x*y)*z
Pour tout x, il existe y t.q. x*y=e
pour tout x, x*e=e*x=e
Donc pour l'instant x, y, z ne signifie rien, ce ne sont que des symboles.
Un modèle de cette theorie, c'est n'importe quel groupe : on donne un "sens" aux symboles, et on regarde si les axiomes sont vérifiés :
Exemple : l'ensembles des entieres relatifs Z
x,y,z deviennent des variables prises dans Z
'e' devient 0
'*' devient +
Donc Z est bien un modele de la theorie des groupes.
JE veux revenir à la définition d'une formule close.
Une proposition signifie aussi une formule close (c'est-à-dire sans variable libre) ?? Je n'est pas trop compris le sens de variable libre, toutefois sur wikipédia :
"une variable libre est une notation qui spécifie à quelles places dans une expression mathématique une substitution peut avoir lieu"
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%B...%C3%A9matiques)
En mathématiques, on dit qu'un ensemble est clos pour des fonctions ou opérations si ces opérations appliquées à des éléments de l'ensemble produisent un élément de l'ensemble
http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_pr%C3%A9dicats
(partie Prédicats, formules closes, variables libres, variables liées )
Une formule close est une formule dont toutes les variables sont liées. Un prédicat est une formule qui contient une ou plusieurs variables libres.
Il y a tellement de définitions, qu'un "non-mathématicien" s'y perd.
Une théorie peut donc être cohérente seulement si la formule est close avec des variable liées? Une formule closes contient des prédicats, qui eux peuvent contenir des variables libres ??
Ai-je à peu prêt compris ces concepts ?
salu tu fai des etude de medecine ??? est ce que c'est dure repon moi par messages prives stp
la fac de medecine ,c'est dure ??? svp reponder moi
D'un point de vue orthographe,
Pour toi,
Ca va être très mais alors vraiment très dur
Question à cinq balles, on peut savoir ce que ta question vient faire dans ce post ????
Je sais que les modos vont me dégommer, mais j'en ai vraiment par dessus la tête des t.... d. c.. qui viennent s'incruster, et meredith8 est un t... d. c..
Il est bien évident que je comprendrai que les modos passent ma réponse à la trappe.
Encore des pollueurs.
On reprend le sujet s'il vous plait !
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2134413
Le fondement d'une théorie ne repose-t-elle pas tout simplement sur un équilibre ou un bouclage ?
Je m'explique. C'est plus philosophique, qu'autre chose.
On suppose que l'on a prouvé la cohérence entre les axiomes.
La construction et l'assemblage des axiomes serait tel, que mon système avec les bonnes constantes de départ, serait périodique. On pourrait le comparer à un oscillateur.
A t=0 mes variables sont tel que: a=1;b=2;c=3 par ex.
Après plusieurs itérations, et après un certain temps t+x, mon système se retrouve au point de départ, et ainsi de suite. Avec bien sûre les même valeurs de variables entre les temps : 0<variables<t+x;t+x<variables< t+2x etc.
J'ai donc crée un équilibre dans ma théorie, d'où un rebouclage.
PS : c'est juste une pensée philo-logique, existe-t-il néanmoins quelqu'un qui a traité mon point de vue ?
C'est quoi le temps dans la théorie des groupes, par exemple ?
J'ai vu apparaître le temps en mathématiques dans très peu de circonstances :
1) logiques modales temporelles (au pluriel)
2) correspondance de Curry Howard où l'axiome du choix correspond à l'horloge (autrement dit : "temps" = "axiome du choix")
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Quelles problématiques vises tu avec cette volonté d'introduire le temps dans le formalisme du discours mathématiques ?
Il existe (http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_r%C3%A9cursive) la notion de fonction récursive (calculable: dont le calcul termine pour toute entrée) mais aussi la notion de théorie récursive (l'ensemble des théorèmes est récursif). Une théorie récursivement axiomatisable est une théorie pour laquelle on peut trouver un ensemble d'axiomes récursif, ou de façon équivalente, dont l'ensemble des théorèmes est récursivement énumérable (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._axiomatisable) mais cela ne fait toujours pas intervenir le temps.
Patrick
Une formule où l'on a une suite avec des variables "n", ne peut-on pas dire que "n" est une image temporel ? A chaque succession de "n", "j'incrémente" d'où cette idée d'image temporel.
Le seul lien que je vois c'est la notion de terminaison (en un nombre fini d'étape). Donc dans un temps fini.
Patrick
