Pour l'instant je cherche à comprendre. S'il y a choix c'est que nous avons deux théories possibles (par exemple ZFC ou ZF sans axiome de choix) ?Envoyé par Médiat
C'est le terme que tu emplois : (en prétendant : il existe !)
L'interrogation ne concerne que le premier théorème d'incomplétude de Gödel ?
Patrick
Je parlais justement des fonctions de choix dont l'existence (au sens mathématique) est assurée par AC.
Je l'emploie justement dans l'expression "(en prétendant : il existe !)" c'est dire à quel point je doute de la signification de cette existence, qui n'est absolument l'objet de la question que j'ai posée.
Le deuxième est une conséquence du premier, je ne pense pas qu'il soit nécessaire de faire une différence à ce niveau, mais il est vrai que je pensais au premier.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ne peut-on pas remplacer ces hypothèses par la notion de communication fiable. On ne sait pas ce qui se passe dans un esprit. Par contre, on peut analyser comment communiquent deux mathématiciens.
(Précisons que pour moi communiquer inclut les supports mémoire, comme l'écriture, les livres, etc.)
(Le mot "fiable" est important ici. L'idée est que l'égalité soit toujours parfaitement testable. Cela me semble interdire les données analogiques, continues.)
Ce qui est communicable fiablement entre deux mathématiciens apparaît comme un sous-ensemble que ce que manient leurs esprit. Mais est-ce gênant comme limitation?
En allant plus loin, on ne communique pas pour le plaisir de communiquer. On doit pouvoir limiter les cas à considérer en imposant que la communication ait un but, et le plus simple dans le cas présent semble être "se mettre d'accord". Vu ainsi, on s'intéresse à ce qui se passe dans une communication fiable et finie, la fin étant l'obtention de l'accord (par exemple, tomber d'accord sur la validité d'une démonstration portant sur les "objets maniés").
Pas d'autres que physiques.b) existe-t-il une limite à cette récursion ?
Oui, puisqu'on a limiter à des communications finies.c) la récursion doit-elle restée finie ?
d) l'esprit d'un être humain peut-il manier un objet qui n'entre pas dans cette description ?Si on restreint aux mathématiques, cela doit être oui tautologiquement (comment définir les maths autrement qu'en restreignant son objet à ladite description); sinon, la réponse semble non.
Si on parle de communication, la réponse est clairement oui.e) suffit-il de nommer un objet du type ci-dessus (en prétendant : il existe !), pour le manier ?
Je ne sais pas. Mais elle peut très bien être une limitation sur ce quoi deux mathématiciens peuvent se mettre d'accord en un temps fini en communicant.f) la "limitation" (théorème d'incomplétude de Gödel) des systèmes formels est-elle celle de l'esprit humain ?
Or qu'est ce que pourrait bien être des maths qu'on ne pourrait pas partager par communication? Même si cela avait un sens, en quoi serait-ce utile? Et en pratique, a-t-on jamais vu de maths autrement que communiquées?
Cordialement,
Bonsoir,
Oui, mais la limitation de l'esprit humain n'a pas besoin du théorème d'incomplétude pour s'illustrer, c'est à mon avis, la même, qui nous rend la tâche difficile de prouver certains théorèmes. C'est donc une limitation temporelle, "physique" et non conceptuelle.
Sinon pour ma part, je trouve que l'on a bien répondu à toutes les questions, merci s'il y a des relances, de les cibler le plus possible.
Je n’ai rien, a priori, contre cette interprétation (deux éclairages c'est mieux que un), elle a l’avantage de donner un peu de corps à « manier », mais elle a l’inconvénient de donner un peu de corps à « manier », comme tu le fais remarquer :Ne peut-on pas remplacer ces hypothèses par la notion de communication fiable. On ne sait pas ce qui se passe dans un esprit. Par contre, on peut analyser comment communiquent deux mathématiciens.
(Précisons que pour moi communiquer inclut les supports mémoire, comme l'écriture, les livres, etc.)
(Le mot "fiable" est important ici. L'idée est que l'égalité soit toujours parfaitement testable. Cela me semble interdire les données analogiques, continues.)
Non seulement je suis d’accord, mais j’ai peur que ce soit le cas de toute le monde.Pas d'autres que physiques.
Cette partie me paraît moins évidente (ce qui ne veut pas dire que je conteste ce oui), même avec l’interprétation de la communication ; est-ce que le passage à la limite (ou tout autre technique) est interdit ?Oui, puisqu'on a limiter à des communications finies.
Je me suis clairement restreint, dès le début aux mathématiques, donc je retiens que ta réponse est « oui tautologiquement », mais je ne comprends pas la partie entre parenthèse que j’interprète comme la négation de ce « oui ».Si on restreint aux mathématiques, cela doit être oui tautologiquement (comment définir les maths autrement qu'en restreignant son objet à ladite description); sinon, la réponse semble non.
Même si on ne parle pas de communication, il me semble que oui (mais c’est moins clair), l’exemple que j’avais à l’idée est certaines fonction de choix.Si on parle de communication, la réponse est clairement oui.
Je ne sais pas non plus ; j’en profite pour préciser que, dans cette phrase, j’aurais dû être plus précis (même si j’ai bien dit que je ne parlais que de mathématiques) :Je ne sais pas. Mais elle peut très bien être une limitation sur ce quoi deux mathématiciens peuvent se mettre d'accord en un temps fini en communicant.
f) la "limitation" (théorème d'incomplétude de Gödel) des systèmes formels est-elle celle de l'esprit humain dans sa pratique des mathématiques ?
Je ne sais pas, ce qui ne veut pas dire que cela n’existe pas
La question de l’utilité des mathématiques communiquées ou non est un marronnier dont on doit trouver des dizaines d’occurrences sur FSG.
La question que tu poses est de savoir si on a déjà communiqué des mathématiques qui ne sont pas communiquées, la réponse est tautologiquement non.
J’aurais pu poser la question de façon plus brutale : est-ce que l’hypothèse du théorème de Gödel « théorie récursivement axiomatisable » est une restriction (et il nous suffit d’étudier des théories qui n’ont pas cette restriction) ou une contrainte (nous ne pouvons pas faire autrement) ? L’enjeu étant : bien que nous ne puissions pas tout dire à partir de la formalisation de IN, est-il possible que nous puissions tout dire de IN (c’est le fond de la remarque initiale de jobhertz, et je me suis exprimé comme un platonicien pour coller au vocabulaire de jobhertz, mais, même si en tant que formaliste je l’aurais dit autrement, j’aurais exprimé la même idée)
Pour donner un exemple : le théorème de Goodstein est indécidable dans l’arithmétique de Peano, mais dans IN (pour un platonicien, comme pour un formaliste) ce théorème est soit vrai soit faux ; il me semble qu’alors certaines questions s’imposent :
Pourrons-nous le démontrer (ou son contraire) dans IN ?
Quels outils supplémentaires seront-ils nécessaires ?
Ces outils remettront-ils en cause profondément la formalisation (ou le formalisme) telle qu’on la pratique aujourd’hui ?
Il va de soi que je n’ai pas de réponses à ces deux dernières questions qui sont directement liées au point f) ci-dessus.
(dans le cas d'une réponse à la première des questions précédentes, il sera facile d'enrichir Peano pour que ce théorème ne soit plus indécidable)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je répète ce que j’ai répondu à Michel (mmy) :
Je ne sais pas […] ; j’en profite pour préciser que, dans cette phrase, j’aurais dû être plus précis (même si j’ai bien dit que je ne parlais que de mathématiques) :
f) la "limitation" (théorème d'incomplétude de Gödel) des systèmes formels est-elle celle de l'esprit humain dans sa pratique des mathématiques ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pour moi oui, mais c'est parce que je vois ce passage comme obligatoirement un infini du temps.
C'était une corroboration du oui. Je vois les mathématiques comme la science des "modèles" (pas nécessairement au sens de la théories des) symboliques.mais je ne comprends pas la partie entre parenthèse que j’interprète comme la négation de ce « oui ».
Même si on ne parle pas de communication, il me semble que oui (mais c’est moins clair), l’exemple que j’avais à l’idée est certaines fonction de choix.
Je ne sais pas non plus ; j’en profite pour préciser que, dans cette phrase, j’aurais dû être plus précis (même si j’ai bien dit que je ne parlais que de mathématiques) :
f) la "limitation" (théorème d'incomplétude de Gödel) des systèmes formels est-elle celle de l'esprit humain dans sa pratique des mathématiques ?
Ma remarque portant sur autre chose que l'utilité des mathématiques dans l'absolu. Si un mathématicien conçoit quelque chose dans sa tête mais qu'il est incapable d'en discuter avec d'autres, de transmettre l'idée, de l'enseigner, de la faire corroborer par d'autres, est-ce l'idée qu'il a eu peut être considérée comme "utile"?La question de l’utilité des mathématiques communiquées ou non est un marronnier dont on doit trouver des dizaines d’occurrences sur FSG.
Mon intuition me dit "contrainte" (ou une restriction indépassable par le cerveau humain ou les automates à états finis). Le langage utilisé par les mathématiques est fini, cela impose une contrainte sur ce qu'on peut dire.J’aurais pu poser la question de façon plus brutale : est-ce que l’hypothèse du théorème de Gödel « théorie récursivement axiomatisable » est une restriction (et il nous suffit d’étudier des théories qui n’ont pas cette restriction) ou une contrainte (nous ne pouvons pas faire autrement) ?
Je n'arrive pas à imaginer ce que pourrait être un langage non fini.
Est-ce que cela ne dépend pas du sens qu'on donne à "tout", selon qu'il est actuel ou potentiel?L’enjeu étant : bien que nous ne puissions pas tout dire à partir de la formalisation de IN, est-il possible que nous puissions tout dire de IN
Or un "tout" actuel n'a pas un sens pratique très clair : comment imaginer un livre dans lequel tout ce qu'on peut dire de N est écrit?
Par contre, un tout potentiel semble jouable : à toute question posée on peut, au bout d'un certain temps, conclure (avec enrichissement, j'imagine sous contrainte genre ce sur quoi Woodin travaille).
Cordialement,
Ce point n'est pas évident pour moi.Pour moi oui, mais c'est parce que je vois ce passage comme obligatoirement un infini du temps.
Pour moi, le oui veut dire qu’un esprit humain peut manier un objet mathématique qui n’entre pas dans une certaine forme de description, et la parenthèse que les mathématiques se restreignent à cette forme de description, j’en déduis que je ne comprends pas quelque chose.C'était une corroboration du oui. Je vois les mathématiques comme la science des "modèles" (pas nécessairement au sens de la théories des) symboliques.
Comme le fond de la question me semble être : « l’esprit humain, dans sa pratique des mathématiques, peut-il outrepasser les limites imposées par le théorème de Gödel », le problème de la communication n’intervient que si, déjà, on peut répondre oui à cette première question ; je suis d’accord que le problème de la communication se posera juste après.
Mon intuition me dit aussi « contrainte », le langage mathématique me semblant (acte de foi revendiqué comme tel) révélateur du fonctionnement de l’esprit (cf. Badiou, JL Krivine)Mon intuition me dit "contrainte" (ou une restriction indépassable par le cerveau humain ou les automates à états finis).
Et pourtant on peut étudier des langages autorisant des conjonctions ou des disjonctions infinies, et/ou un nombre infini de prédicats.
Nous sommes bien d’accord qu’un « tout » actuel n’a pas beaucoup de sens.Est-ce que cela ne dépend pas du sens qu'on donne à "tout", selon qu'il est actuel ou potentiel?
Or un "tout" actuel n'a pas un sens pratique très clair : comment imaginer un livre dans lequel tout ce qu'on peut dire de N est écrit?
Peut-être (je ne suis pas certain), mais en tout état de cause, cela ne permet pas de conclure sur un tout potentiel, et d’ailleurs il me semble que cela contreviendrait au théorème de Gödel ; bref cela me dérange de conclure sur ce point (pour le dire autrement : ce n'est pas parce qu'il existe une bijection entre n'importe quel ensemble dénombrable et IN que cette bijection est explicitable).
Cordialement
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je pense comprendre pourquoi. Mais la seule manière de montrer que la notion de limite puisse se ramener symboliquement à des symboles finis serait de présenter un exemple, non?
Pour moi, le oui veut dire qu’un esprit humain peut manier un objet mathématique qui n’entre pas dans une certaine forme de description, et la parenthèse que les mathématiques se restreignent à cette forme de description, j’en déduis que je ne comprends pas quelque chose.C'est moi qui me suis planté entre les non et les oui...
J'ai entrevu cela dans une lecture, me rappelle plus où. Mais je perds pied dans ce genre de considération. Etudier un langage hypothétique, qu'on ne peut ni montrer ni employer, m'apparaît "bizarre", même si j'entrevois que ce n'est qu'une extension d'étudier l'infini.Et pourtant on peut étudier des langages autorisant des conjonctions ou des disjonctions infinies, et/ou un nombre infini de prédicats.
C'est "au carré" : utiliser un langage fini pour parler d'un langage infini qui parlerait d'infini. Mais si contrainte il y a due au langage fini, ce qu'on peut comprendre sur le langage infini est peut-être trop contraint pour que aller bien loin dans l'étude des potentialités hypothétiques d'un langage infini hypothétique...
En tous cas, je ne vois pas trop comment cela pourrait permettre de nous sortir en pratique de la contrainte d'un langage fini.
Par contre, cela pourrait amener des réflexions très spéculatives sur des êtres ou des machines n'ayant pas la même limitation. Est-ce que nous ne savons pas faire des machines avec un langage infini suite à notre limitation? Ou à une limitation de l'Univers?
Une autre spéculation moins fumeuse est la "logique quantique" : l'information quantique pourrait être de nature différente de l'information telle que manipulée par les ordinateurs classiques (et, selon l'opinion à laquelle je me range, par nous-mêmes). Une mathématique à base de textes écrits comme des suites de qbits pourrait-elle être différente?
Cordialement,
Si j'avais un exemple sous la main je l'aurais donné dès le début, mais je ne fais que dire que ton "oui" n'était pas évident pour moi, cela ne veut pas dire que le "non" est vrai.
Je regarde ce soir, si je retrouve mes cours sur ce sujet, je me souviens juste (c'est l'âge, sans doute) que quelques théorèmes importants en logique du premier ordre ne sont plus valides (ce qui est la moindre des choses).
J'ai peur (et encore, pas vraiment) que cela ne fasse pas une différence "appréciable".
Désolé, mais je n'ai aucune des compétences dans ces domaines qui pourraient m'autoriser à donner un avis (même de loin
Cordialement
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Par exemple (un souvenir qui remonte) l'ensemble des formules vraies dans tous les groupes de torsion n'est pas une théorie du premier ordre pour un langage fini, alors que c'est une théorie de, ce n'est pas un détail car c'est lié au théorème de compacité.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je n'ai pas retrouvé mes cours sur leslangages infinis (rien dans le livre où je croyais que c'était traîté), mais j'ai trouvé ça sur le net :
http://pythagorean.theano.de/fileadm.../AWTThesis.pdf
Tu peux regarder le chapitre 5.2 qui est lisible facilement et expose les éléments de base.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Si je comprend bien c'est la vision formaliste (transformer l’intuition en rigueur) que tu exprimes.
Le point de vue réaliste (platonicien) consiste normalement à penser que les systèmes mathématiques et leurs propriétés sont une réalité indépendante, préexistant à leur étude, laquelle n’est qu’un acte d’exploration ? C’est l’approche de l’intuition ?
Maintenant réduire le raisonnement à une structure finie a un coté positif qui est une manière de vérifier que l’intuition ne nous trompe pas non ?
La difficulté de l'approche formaliste par contre n'est elle pas de trouver un point de départ auto-suffisant ?
Patrick
Non, pas du tout, j'exprime l'idée que platoniciens ou formalistes nous avons le même problème : "dire" (j'espère que ce verbe conviendra à Michel (mmy) autant qu'à moi, puisqu'il me semble évoquer autant le "manier" que j'avais utilisé, puisque dire c'est verbaliser, que le "communiquer" que Michel (mmy) avait employé) ; que ce soit dire la réalité des mathématiques, ce que leur formalisation échoue à faire complètement, ou dire les propriétés d'un modèle ce que le système formel ne sait pas faire complètement ; la question que je me pose c'est de savoir si cette impossibilité à dire est liée à la formalisation (pour un platonicien) ou au formalisme (pour un formaliste), ou si cette impossibilité est ontologique (une caractéristique constitutive de l'esprit humain, au moins dans sa pratique des mathématiques) ; il me semble que cette position est plus ou moins celle du philosophe Alain Badiou, et sans doute pas très éloigné de celle du logicien J.L. Krivine (mais il y a une part non nulle d'interprétation dans ces afirmations).
J'aurais pu aussi dire les choses autrement, mais un peu pédante : est-ce que la thèse de Church est une émanation de l'ontologie.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Cela a au moins l'intérêt de donner des pointeurs pour se documenter
Patrick
Et ce qu'il y a au dessus a aussi l'intérêt de permettre de prolonger la réflexion sur la base de la question formulée.Cela a au moins l'intérêt de donner des pointeurs pour se documenter
Patrick
Dernière modification par invite7863222222222 ; 02/04/2009 à 08h18.
Bonjour,
Ontologique est pris au sens philosophique (Parménide) et non informatique (http://fr.wikipedia.org/wiki/Ontologie_(informatique)) je suppose.
Patrick
Juste pour dire que ce n'est pas considéré comme équivalent par pas mal de personnes.
La thèse de Church ne concerne que les machines, et son extension à l'esprit humain est discutable (c'est le moins qu'on puisse dire!).
D'où la restriction que je propose à la communication. Il me semble plus facile à défendre (mais non évident) que ce qui est communiqué entre mathématiciens est équivalent à ce qui est calculable par une machine (au "détail" près du sens).
Cordialement,
Discuter, c'est bien le but d'un forum, non ? D'autant plus que cette extension a toujours été dans mes propos :
1) restreinte à la pratique des mathématiques
2) sous forme de question
3) la compréhension de mon résumé pédant ne peut se comprendre, si on a lu le reste, que comme une analogie (ou un portage) entre récursif/calculable (pour les machines) et "la récursion que j'ai présentée"/dicible (pour un mathématicien, puisque, tout cela ne concerne que la pratique des mathématiques)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Fallait pas le prendre pour une critique.
Je me contentais de faire remarquer que le rapprochement esprit humain/thèse de Church, que ce soit pris hors contexte, ou même dans le contexte, a de quoi faire sursauter et réagir moultes personnes.
Cordialement,
Pour dire aussi que si la communication n'englobe pas ce qu'elle ne permet pas de dire, effectivement cette thèse est plus facile à défendre, sinon il me semble que non (c'est pourquoi, sans doute, tu parlais juste avant de communication "fiable").
Dernière modification par invite7863222222222 ; 02/04/2009 à 11h23.
C'est peut-être là aussi où se trouve une différence entre formalistes et platoniciens. Si on associe "formalistes" avec forme, la communication, qui porta sur les formes, n'est pas une limitation. Mais si la forme n'est qu'une évocation de quelque chose qui est dans l'esprit, alors peut-être effectivement la communication couvre plus que ce qui est communiqué.
Je ne pense pas. J'ai ajouté le mot "fiable" pour distinguer (dans mes termes d'ingénieur) numérique et analogique. Le formalisme est "numérique" au sens où il utilise un langage qui est basé sur des suites de symboles, symboles discrets, d'un alphabet fini (aussi grand que nécessaire, mais fini).(c'est pourquoi, sans doute, tu parlais juste avant de communication "fiable").
Le formalisme mathématique me semble ramener toute égalité à une égalité formelle entre chaînes de symboles. Cela nécessite une communication fiable des symboles, ce qui n'est possible qu'avec des symboles discrets.
Le langage naturel n'est pas "fiable" à ce sens. L'égalité ne se ramène pas à l'égalité symbolique. La plupart des termes sont suffisamment flous pour que l'égalité ne puisse pas être établie fiablement : quels que soient les qualificatifs rajoutés, deux personnes utilisant le mot "rouge" ne désigneront pas nécessairement la même couleur.
La "communication" mathématique diffère sur ce point nettement de la communication entre humains en général. C'est cette différence que j'ai "résumé" par le mot "fiable".
Pas très clair tout ça. Mais c'est du langage naturel...
Cordialement,
Bonjour,
Il y a aussi le formalisme de la logique floue qui manie des termes qui expriment le flou.
Didier Dubois un Toulousain émérite dans le domaine :
Théorie des sous-ensembles flous
- Caractère graduel des informations subjectives
- Éléments de théorie des ensembles flous et de logique floue
- Règles floues
- Modèles flous de systèmes
- Applications
Patrick
merci de préciser le rapport avec la discussion.
La logique flou qui est du domaine des mathématiques voir la théorie des ensembles flous prend en compte en partie (voir en intégralité) cette problématique.Le formalisme mathématique me semble ramener toute égalité à une égalité formelle entre chaînes de symboles. Cela nécessite une communication fiable des symboles, ce qui n'est possible qu'avec des symboles discrets.
La plupart des termes sont suffisamment flous pour que l'égalité ne puisse pas être établie fiablement : quels que soient les qualificatifs rajoutés, deux personnes utilisant le mot "rouge" ne désigneront pas nécessairement la même couleur.
Patrick
Je ne suis pas sûr. La logique floue, considère, j'ai l'impression non pas ce qui n'est possible de prouver, mais ce qui est "non dit" ou "non connu" alors que la question de cette discussion, concerne ce qui n'est pas prouvable dans un système formel.
D'où ma demande, renouvellée, de mettre en évidence la pertinence de la relation entre cette "impossibilité" d'expression en langage naturel et sa relation avec ce qui est traitée par la logique floue.
Dernière modification par invite7863222222222 ; 02/04/2009 à 15h25.
Je ne serais pas aussi catégorique que toi.
A creuserClassical ontologies are not suitable to represent vague pieces of information, which has lead to the birth of Fuzzy Description Logics as an appropriate formalism to represent this type of knowledge. Different families of fuzzy operators lead to Fuzzy Description Logics with different properties. This paper studies Fuzzy Description Logics under a semantics given by the Gödel family of fuzzy operators. We investigate some logical properties and show the decidability of a fuzzy extension of the logic ...
http://www.sciencedirect.com/science...f9368fb2fd9787
Patrick
En toute logique, je pense que les pointeurs que tu donnes parles au mieux de résultats du type : il n'est prouvable/ou pas en logique floue que telle valeur de vérité vaut tant (valeur entre 0 et 1, au lieu de 0 ou 1 en logique classique).
Au mieux, les théories seront incomplètes et on retombera dans la même question.
Au pire, les théories seront complètes et on obtiendra : on peut prouver qu'on ne sait pas telle chose et là je ne vois plus du tout le rapport avec la la question de la discussion (pouvant être résumés en : les "limitations" des systèmes formels sont-elles celles de l'esprit humain ?) .
Dernière modification par invite7863222222222 ; 02/04/2009 à 18h11.
Justement c'est cette association que j'ai faite car je marche par intuition (je doit surement être platoniste). Il il a t'il équivalence relativement à la question entre toute les logiques qu'il existent classique et non classique.
La logique flou s'intéresser au traitement de diverses formes de connaissances imparfaites. Les chercheurs semble placer généralement dans cet ensemble diverses approches de l'incertain, du vague, de l'imprécision, de l'incomplétude et de l'inconsistance partielle.
Je ne suis pas spécialiste du domaine il faudrait poser la question à des experts tel que Didier Dubois (http://www.irit.fr/publications.php3...ubois%20Didier)Un troisième registre historiographique, d'inspiration plus logicienne, met avant tout l'accent sur les problèmes et les limites rencontrées par la logique binaire face aux paradoxes logiques classiques. Ces narrations présentent alors l'émergence de la logique floue comme une solution à ces problèmes et un dépassement de ces limites.
Patrick
Oui mais le sujet n'est pas d'étudier comment la logique flou traite de ce sujet.
Tout de même pour faire une tentative de rapprochement, penses-tu que les propositions de valeurs limites en logique floue (0 et 1) sont toutes prouvables ou non ?
Dernière modification par invite7863222222222 ; 02/04/2009 à 19h31.
