Menace des systèmes logiques

[jreeman]

Bonjour,

Suite à la proposition de Médiat, puisque la question m'intéresse, je m'interrogeais sur le propos de jobherzt :

Et ce que prouve Gödel, c'est justement qu'il est illusoire d'essayer de reduire les maths a un simple jeu de deduction logique. Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systemes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles memes tu saisis la nuance ?

qui laisse sous entendre - si j'ai bien compris - que notre manière de raisonner (les systèmes logiques) ne serait pas capable de rendre compte de certaines vérités mathématiques. Par "notre manière de raisonner", j'entends en fait les systèmes formels concernés par les théorèmes de Godel, c'est à dire les théories récursivement axiomatisables.

Cela ouvre, il me semble, le choix entre deux possibilités seulement :

1. soit il ne faut rien trouver de choquant ou génant à ce que certains faits restent impossibles à prouver formellement,
2. soit suivant ce que jobherzt exprime comme pouvant être une menace, il est possible de trouver un système formel plus apte que ceux s'appliquant aux théories récursivement axiomatisables, à rendre compte des mathématiques.

Qu'en pensez-vous ?

[ù100fil]

[QUOTE=jreeman;2271045]

1. soit il ne faut rien trouver de choquant ou génant à ce que certains faits restent impossibles à prouver formellement,

A partir du même formalisme non ? N'est-il pas aussi que certaines propositions «indécidables» sont vraies. Le formalisme ne permet pas de les démontrer, mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies ?

Patrick

[jreeman]

A partir du même formalisme non ?

Oui mais la sémantique des mathématiques qu'on énonce, ne colle peut-être pas "bien" avec les règles d'inférence qu'on a choisi pour les démontrer.

Est-il nécessaire/possible de changer ces règles d'inférence pour les faire "coller" mieux à la sémantique des mathématiques ?

[invité576543]

N'est-il pas aussi que certaines propositions «indécidables» sont vraies. Le formalisme ne permet pas de les démontrer, mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies ?

Comment définis-tu "vrai"? Et comment "vois-tu" qu'une proposition indécidable est "vraie" plutôt que son contraire? (Exemple, l'hypothèse du continu.)

(Ces questions reviennent tout le temps sur ce forum... Il serait intéressant de faire un résumé clair, pas trop technique, satisfaisant pour ceux qui posent la question, de la réponse et la mettre en FAQ.)

Cordialement,

[jreeman]

mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies ?

Petite remarque : le but de cette discussion n'est pas de discuter qu'est ce que qu'"on voit" comme vrai, mais simplement d'étudier s'il est justifié et éventuellement possible de changer ou non les systèmes formels utilisés lors dans les démonstrations mathématiques.

[ù100fil]

Petite remarque : le but de cette discussion n'est pas de discuter qu'est ce que qu'"on voit" comme vrai, mais simplement d'étudier s'il est justifié et éventuellement possible de changer ou non les systèmes formels utilisés lors dans les démonstrations mathématiques.

Peut on dire en ce qui concerne la complétude :

Complétude : Une théorie formelle est complète si il n'existe pas de formule F telle que ni F ni son contraire (non F) ne puissent être démontrés, c'est à dire si tout ce qui est vrai dans la théorie est démontrable dans la théorie.

Une condition nécessaire et suffisante pour un système formel du premier ordre soit consistant est qu'il admette un modèle. La consistance c'est exactement équivalent au fait que l'on puisse trouver un modèle.


Maintenant comment définis tu l'incomplétude afin que l'on puisse participer au débat ? Car c'est de cela qu'il est question non ?

Une chose prouvable n'est pas nécessairement vraie et une chose vraie n'est pas toujours prouvable.

Il me semble qu'avant de vouloir changer de système formel il faudrait expliciter clairement pour tout le monde pourquoi le système actuel pose problème.


Patrick

[Médiat]

je m'interrogeais sur le propos de jobherzt :

Merci jreeman, je me sens moins seul.

Et ce que prouve Gödel, c'est justement qu'il est illusoire d'essayer de reduire les maths a un simple jeu de deduction logique. Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systemes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles memes tu saisis la nuance ?

Avant toute chose je veux dire que la façon d'exprimer l'idée de jobhertz est platonicienne, alors que je je suis formaliste, et j'ai à coeur d'expliciter cette différence, afin, dans un premier temps, de montrer qu'il n'y a pas de différence mathématique entre ces deux points de vue (donc pas de chapelles, pas de factions en guerre l'une contre l'autre, ou d'autistes incapables de comprendre d'autres point de vue).

Pour illustrer cette "différence" qui n'en est pas une, je vais prendre l'exemple des entiers naturels et de l'arithmétique de Peano (supposée consistante).
Un platonicien pourrait dire (que l'on me corrige si je m'égare) que les entiers naturels existent et que l'arithmétique de Peano en est une formalisation, qui se révèle (Gödel) incapable de tout dire sur les entiers naturels.
Un formaliste pourrait dire que l'ensemble des entiers naturels est un modèle de la théorie appelée arithmétique de Peano, et que celle-ci est esentiellement incomplète (Gödel) et donc cette théorie ne sait pas tout dire sur ses modèles.

1. soit il ne faut rien trouver de choquant ou génant à ce que certains faits restent impossibles à prouver formellement,
2. soit suivant ce que jobherzt exprime comme pouvant être une menace, il est possible de trouver un système formel plus apte que ceux s'appliquant aux théories récursivement axiomatisables, à rendre compte des mathématiques.

1) effectivement je ne trouve rien de choquant à ce qu'une théorie ne dise pas tout sur ses modèles, c'est d'ailleurs le cas, même pour des théories complètes. Un exemple sous spoiler :

 Cliquez pour afficher

La théorie des ordres totaux, denses sans extremums est complète, elle est même -catégorique (il n'y a qu'un seul modèle dénombrable : muni de la relation d'ordre naturelle), mais pas -catégorique (, muni de la relation d'ordre naturelle n'est pas isomorphe à , de la relation d'ordre naturelle). Mais il est impossible de distinguer ces deux modèles par une formule du langage utilisé.

2) Il existe des alternatives à la logique du premier ordre : les logiques d'ordre supérieur, ou les logiques avec des quantificateurs exotiques (il existe une infinité, par exemple).

N'est-il pas aussi que certaines propositions «indécidables» sont vraies

Cette façon de dire les choses doit être comprise d'un point de vue strictement platonicien, "vrai" voulant dire ici "vrai dans l'ensemble des entiers naturels (je reste sur cet exemple) ; j'ai plusieurs fois exprimé que je n'aime pas cette façon de dire les choses car je la trouve dangereuse à cause des connotation du mot "vrai", j'imagine que pour un platonicien les modèles non-standard existent autant que le modèle standard, et du coup je ne vois plus ce que peut vouloir dire "vrai" (pourquoi un objet serait tellement plus naturel que les autres que je ne peux parler que de lui ?).

Est-il nécessaire/possible de changer ces règles d'inférence pour les faire "coller" mieux à la sémantique des mathématiques ?

Changer les règles d'inférence est déjà possible : logique intuitionniste, logique linéaire, 2nd ordre, etc.

Ces questions reviennent tout le temps sur ce forum... Il serait intéressant de faire un résumé clair, pas trop technique, satisfaisant pour ceux qui posent la question, de la réponse et la mettre en FAQ

Si tu fais une liste des mots que tu voudrais voir définis, je veux bien me charger de ceux que je connais.

Complétude : Une théorie formelle est complète si il n'existe pas de formule F telle que ni F ni son contraire (non F) ne puissent être démontrés

Oui, on peut dire aussi que F est indécidable dans T si T U {F} est consistante et si T U {nonF} est aussi consistante.

c'est à dire si tout ce qui est vrai dans la théorie est démontrable dans la théorie.

Non, tu confonds la complétude de la logique classique du premier ordre (aussi de Gödel) et la complétude d'une théorie.

Une condition nécessaire et suffisante pour un système formel du premier ordre soit consistant est qu'il admette un modèle. La consistance c'est exactement équivalent au fait que l'on puisse trouver un modèle.

C'est bien le théorème de complétude de Gödel, qui n'a rien à voir avec la complétude d'une théorie.

Maintenant comment définis tu l'incomplétude afin que l'on puisse participer au débat ? Car c'est de cela qu'il est question non ?

Une théorie incomplète est ... une théorie qui n'est pas complète, une théorie essentiellement incomplète (ou incomplétable) est une théorie que l'on ne peut pas compléter (Peano, par exemple).

Une chose prouvable n'est pas nécessairement vraie et une chose vraie n'est pas toujours prouvable.

Que veux-tu dire exactement, car, il faudrait définir ce que "vrai" veut dire, pour un platonicien, je comprends que "vrai" veut dire "vrai dans le modèle standard", et la phrase "une chose vraie n'est pas toujours prouvable" est exacte (bien que dangereuse ) ; pour un formaliste, en tout cas, pour moi, "vrai" (que j'évite d'utiliser) ne peut vouloir dire que "vrai dans tous les modèles" avec cette interprétation, la phrase "une chose vraie n'est pas toujours prouvable" est fausse (Théorème de complétude). Quelque soit la définition de "vrai" prise parmi celles ci-dessus, la phrase "Une chose prouvable n'est pas nécessairement vraie" est fausse.

[ù100fil]

Comment définis-tu "vrai"?

En logique du premier ordre on parle de sémantique :

Deux étapes :

1. Donner un sens aux fonctions et prédicats (interprétation) :

– définition d’un domaine, ensemble d’« objets » du monde ;
– définition de la sémantique des fonctions (allant du domaine vers le domaine) et des prédicats (du domaine vers les booléens).

2. Donner, si nécessaire, un sens au variables libres (affectation).



il est tout à faire possible d’avoir un domaine avec une infinité d’éléments. Le nombre total d’interprétations peu donc être infini.

Patrick

[ù100fil]

Que veux-tu dire exactement, car, il faudrait définir ce que "vrai" veut dire, pour un platonicien, je comprends que "vrai" veut dire "vrai dans le modèle standard", et la phrase "une chose vraie n'est pas toujours prouvable" est exacte (bien que dangereuse ) ; pour un formaliste, en tout cas, pour moi, "vrai" (que j'évite d'utiliser) ne peut vouloir dire que "vrai dans tous les modèles" avec cette interprétation, la phrase "une chose vraie n'est pas toujours prouvable" est fausse (Théorème de complétude). Quelque soit la définition de "vrai" prise parmi celles ci-dessus, la phrase "Une chose prouvable n'est pas nécessairement vraie" est fausse.

La phrase ne veut rien dire volontairement. Si ce n'est qu'il faut comme tu le fais préciser les termes afin que l'on soit tous en phase.

Patrick

[ù100fil]

Une théorie incomplète est ... une théorie qui n'est pas complète, une théorie essentiellement incomplète (ou incomplétable) est une théorie que l'on ne peut pas compléter (Peano, par exemple).

Comment peut se traduire verbalement l'incomplétude de l'arithmétique de Peano par exemple ?

- La plupart des théories formelles, si elles sont consistantes, sont incomplètes. Si l'arithmétique est consistante, non seulement elle est incomplète, mais le sera toujours même si on y ajoute des axiomes supplémentaires.

- Il est impossible de prouver la consistance d'un certain nombre de théories formelles (dont l'arithmétique) en utilisant ces théories.


Patrick

[Médiat]

La plupart des théories formelles, si elles sont consistantes, sont incomplètes.

Je ne sais pas (d'ailleurs, je ne sais pas ce que veut dire "la plupart des théories formelles").

Si l'arithmétique est consistante, non seulement elle est incomplète, mais le sera toujours même si on y ajoute des axiomes supplémentaires.

Premier théorème d'incomplétude de Gödel si on parle de théories récursivement axiomatisables et travaux de Levin si on pense à ajouter des axiomes "au hasard".

Il est impossible de prouver la consistance d'un certain nombre de théories formelles (dont l'arithmétique) en utilisant ces théories.

Deuxième théorème d'incomplétude de Gödel.

[ù100fil]

Je ne sais pas (d'ailleurs, je ne sais pas ce que veut dire "la plupart des théories formelles").

Oui c'est flou. Quel est le périmètre (mathématiques) d'application des théorèmes d'incomplétudes ?

Je ne sais pas si c'est plus clair.

Patrick

[ù100fil]

Quel est le périmètre (mathématiques) d'application des théorèmes d'incomplétudes ?

Si jobherzt dit juste cela ne concerne donc pas les mathématiques en soi ?

Et ce que prouve Gödel, c'est justement qu'il est illusoire d'essayer de reduire les maths a un simple jeu de deduction logique. Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systemes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles memes tu saisis la nuance ?

L'axiomatisation des mathématiques est donc pleinement concerné dont la théorie des ensembles pourtant considéré (semble t-il) comme le fondement des mathématiques ?

Patrick

[God's Breath]

Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.

Je vais également soutenir Médiat tout en m'en démarquant.

effectivement je ne trouve rien de choquant à ce qu'une théorie ne dise pas tout sur ses modèles.

Un exemple peut-être plus parlant de théorie qui ne dit pas tout sur ses modèles, la théorie des groupes, et l'indécidable qui ne gêne personne, bien loin de là :

pour un formaliste, en tout cas, pour moi, "vrai" (que j'évite d'utiliser) ne peut vouloir dire que "vrai dans tous les modèles".

Et comme on ne connaît pas de modèles... le « vrai » nous échappe, comme le dit si bien Russell.

[ù100fil]

Un exemple peut-être plus parlant de théorie qui ne dit pas tout sur ses modèles, la théorie des groupes, et l'indécidable qui ne gêne personne, bien loin de là :

Cela doit être trop subtil pour moi.

N'est ce pas une autre forme d'indécidabilité qui est moins gênante car il est question d'égalité ? Si on a xy on a aussi yx (l'un ou l'autre c'est la même chose).

Si on a A on n'a pas non A (et réciproquement). On peut rajouter A ou Non A à une théorie consistante elle restera toujours incomplète.

Patrick