Émergence en physique

[Les Terres Bleues]

Peut-on considérer qu'un produit vectoriel équivaut à l'émergence d'une dimension ?

[invité576543]

La liberté de considérer est un privilège donné à chacun. Pas de raison de la limiter.

Cordialement,

[invité576543]

Traduction : La question n'est pas claire.

Cordialement,

[ù100fil]

Bonjour,

Je pense ce que veut dire Les Terres Bleues c'est lors d'un produit vectoriel entre deux vecteurs (e_i, e_j) dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 on obtient un vecteur e_k linéairement indépendant de e_i, e_j


Mais faut-il parler d'émergence ?

Patrick

[Les Terres Bleues]

Bonjour,
Je pense ce que veut dire Les Terres Bleues c'est lors d'un produit vectoriel entre deux vecteurs (e_i, e_j) dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 on obtient un vecteur e_k linéairement indépendant de e_i, e_j
Mais faut-il parler d'émergence ?
Patrick

Je suis certain que Michel avait parfaitement compris ma considération. Mais, il commence à me connaître, alors il ne se jette pas les deux pieds en avant dans n'importe quel trou.
Merci quand même Patrick pour ta traduction, bien que par force puisqu'elle est plus précise, elle limite le champ des interprétations.
J'attends maintenant une réponse (si possible à connotation physique mais ça n'interdit pas l'humour) à cette petite devinette.

Cordiales salutations.

[invité576543]

Juste quelques petits points techniques.

Le "produit vectoriel" est une notion générique mais qui a des propriétés spéciales en 3D. C'est seulement en 3D qu'on peut voir le résultat dudit produit comme un "vecteur". En 2D le produit "vectoriel" donne, si on veut, un scalaire (la surface, xY-Xy), en 4D cela donne un machin à 6 dimensions.

De fait, même en 3D, ce n'est pas un "vecteur" (et en 2D pas un scalaire). Pour s'en convaincre, il suffit de regarder le comportement du produit vectoriel lorsqu'on applique une symétrie planaire (miroir) : il est faux que s(v) x s(w) soit égal à s(v x w), ce qui interdit d'y voir un vecteur.

Finalement, voir dans le produit vectoriel l'apparition d'une troisième dimension ne peut être que faux, simplement parce que la vue qu'il s'agisse d'un vecteur est erronée, même si cela est enseigné "en masse".

(Si ce n'est pas un vecteur, qu'est-ce? Techniquement un opérateur antisymétrique, une matrice 3 x 3 dans le cas 3D...)

Cordialement,

[ù100fil]

Juste quelques petits points techniques.

Le "produit vectoriel" est une notion générique mais qui a des propriétés spéciales en 3D. C'est seulement en 3D qu'on peut voir le résultat dudit produit comme un "vecteur". En 2D le produit "vectoriel" donne, si on veut, un scalaire (la surface, xY-Xy), en 4D cela donne un machin à 6 dimensions.

De fait, même en 3D, ce n'est pas un "vecteur" (et en 2D pas un scalaire). Pour s'en convaincre, il suffit de regarder le comportement du produit vectoriel lorsqu'on applique une symétrie planaire (miroir) : il est faux que s(v) x s(w) soit égal à s(v x w), ce qui interdit d'y voir un vecteur.

Finalement, voir dans le produit vectoriel l'apparition d'une troisième dimension ne peut être que faux, simplement parce que la vue qu'il s'agisse d'un vecteur est erronée, même si cela est enseigné "en masse".

(Si ce n'est pas un vecteur, qu'est-ce? Techniquement un opérateur antisymétrique, une matrice 3 x 3 dans le cas 3D...)

Cordialement,

Le produit scalaire sert à définir une métrique. A quoi sert le produit vectoriel ? A définir une orientation ?

Patrick

[Les Terres Bleues]

Le "produit vectoriel" est une notion générique mais qui a des propriétés spéciales en 3D. C'est seulement en 3D qu'on peut voir le résultat dudit produit comme un "vecteur". En 2D le produit "vectoriel" donne, si on veut, un scalaire (la surface, xY-Xy), en 4D cela donne un machin à 6 dimensions.

Est-ce que c'est la "base" qui autorise l'utilisation des vecteurs, ou est-ce que ce sont les vecteurs qui valident la base ?

De fait, même en 3D, ce n'est pas un "vecteur" (et en 2D pas un scalaire). Pour s'en convaincre, il suffit de regarder le comportement du produit vectoriel lorsqu'on applique une symétrie planaire (miroir) : il est faux que s(v) x s(w) soit égal à s(v x w), ce qui interdit d'y voir un vecteur.

Dans le cas de 3D, la symétrie idoine est une symétrie ponctuelle (par rapport à un point et faisant alors appel à des nombres complexes). Et on constate alors que le reflet du produit vectoriel est bien le produit vectoriel du reflet.

Finalement, voir dans le produit vectoriel l'apparition d'une troisième dimension ne peut être que faux, simplement parce que la vue qu'il s'agisse d'un vecteur est erronée, même si cela est enseigné "en masse".

On nous aurait menti ? Non, ça je ne veux pas le croire.

(Si ce n'est pas un vecteur, qu'est-ce ? Techniquement un opérateur antisymétrique, une matrice 3 x 3 dans le cas 3D...)

Oui, quelque chose "d'abstrait" qui permet de comprendre une réalité, puis de transférer cette compréhension abstraite à une autre réalité. Exactement comme dans le cas du passage d'un spin 4D à un isospin 3D, on devait faire appel à la notion de groupe abstrait sous-jacent SU(2).
En fin de compte, ça paraît difficile la physique, mais c'est simplement dû à quelques aspects "abstraits très techniques" qui savent malgré tout faire preuve d'une grande souplesse. Je reste convaincu qu'avec un peu d'effort, j'arriverai à faire de notables progrès.

Cordiales salutations.

[invité576543]

Le produit scalaire sert à définir une métrique. A quoi sert le produit vectoriel ? A définir une orientation ?

Pas facile de répondre à "servir à"! Beaucoup de chose, clairement.

Personnellement, j'associe le produit vectoriel avec la mesure du volume (via le produit mixte). C'est cohérent avec la surface en 2D par exemple.

Notons qu'une métrique (usuelle) implique une notion de volume, mais pas le contraire.

L'orientation n'est qu'un sous-produit, liée à l'idée qu'on peut additionner et soustraire des volumes, d'où une notion de signe.

Cordialement,

[invité576543]

Est-ce que c'est la "base" qui autorise l'utilisation des vecteurs, ou est-ce que ce sont les vecteurs qui valident la base ?

Je ne comprends pas la question.

Dans le cas de 3D, la symétrie idoine est une symétrie ponctuelle (par rapport à un point et faisant alors appel à des nombres complexes). Et on constate alors que le reflet du produit vectoriel est bien le produit vectoriel du reflet.

Non. Si tu parles de l'inversion (changement de signe des trois coordonnées), elle ne conserve pas le produit vectoriel.

On nous aurait menti ? Non, ça je ne veux pas le croire.

"Menti" n'est pas le bon terme. C'est juste que l'interprétation usuelle du produit vectoriel n'est pas la plus générale, la plus "profonde". Ses avantages est d'être une "image" simple, et qu'elle "marche" à peu près bien (mais uniquement en 3D).

Cordialement,

[Ising]

Peut-on considérer qu'un produit vectoriel équivaut à l'émergence d'une dimension ?

Pour moi, non, parce que le nombre de vecteurs dans ton produit vectoriel est toujours égal à (d-1), où d est égal à la dimension de l'espace. Si à partir de deux vecteurs dans un plan, tu veux construire une 3ème dimension avec le produit vectoriel, tu vas devoir considérer ces deux vecteurs dans un espace de dimension au moins égale à 3, donc il n'y a pas réellement d'émergence.

[Les Terres Bleues]

Est-ce que c’est la "base" qui autorise l’utilisation des vecteurs, ou est-ce que ce sont les vecteurs qui valident la base ?

Je ne comprends pas la question.

Bien justement, ça permettrait de trancher entre le fait de savoir si c’est « l’interprétation usuelle du produit vectoriel » qui est correcte, ou s’il faut chercher une signification autre.

Dans le cas de 3D, la symétrie idoine est une symétrie ponctuelle (par rapport à un point et faisant alors appel à des nombres complexes). Et on constate alors que le reflet du produit vectoriel est bien le produit vectoriel du reflet.

Non. Si tu parles de l’inversion (changement de signe des trois coordonnées), elle ne conserve pas le produit vectoriel.

Je parlais très exactement d’une symétrie ponctuelle définie dans l’ensemble C³ des complexes à la puissance 3.

"Menti" n’est pas le bon terme. C’est juste que l’interprétation usuelle du produit vectoriel n’est pas la plus générale, la plus "profonde". Ses avantages est d’être une "image" simple, et qu’elle "marche" à peu près bien (mais uniquement en 3D).

Mais dans ce cas, comment déterminer, si ce que l’on apprend (ou que l’on a appris) est l’accessoire ou l’essentiel, tant qu’on n’a pas de réponse à la question de savoir qui des deux prime sur l’autre entre la base et les vecteurs ?
Ce qui ramène sur le tapis mais sous une forme différente : « l’orientation n’est qu’un sous-produit » s’opposant à « l’orientation est le sens d’un vecteur » (et là, le mot "sens" ayant pleine valeur dans les deux sens du terme).

Cordiales salutations.

[Les Terres Bleues]

Pour moi, non, parce que le nombre de vecteurs dans ton produit vectoriel est toujours égal à (d-1), où d est égal à la dimension de l'espace. Si à partir de deux vecteurs dans un plan, tu veux construire une 3ème dimension avec le produit vectoriel, tu vas devoir considérer ces deux vecteurs dans un espace de dimension au moins égale à 3, donc il n'y a pas réellement d'émergence.

Tu amènes un élément d'éclaircissement du débat, selon toi donc, si j'interprète correctement, c'est la définition
de la base qui primerait sur celle du vecteur.
Pourtant, la base, c'est un a priori théorique, alors que le vecteur, lui, il est chargé de "sens" et représente en plus une grandeur physique.
Je reste partagé.

Cordiales salutations.

[invité576543]

Bien justement, ça permettrait de trancher entre le fait de savoir si c’est « l’interprétation usuelle du produit vectoriel » qui est correcte, ou s’il faut chercher une signification autre.

Il n'y a pas d'ambiguïté! Cherche "vecteur axial", ou "pseudo-vecteur", tu y trouveras les acrobaties assez courantes pour arriver à parler de vecteurs qui ne sont pas des vecteurs.

Par ailleurs la théorie des formes antisymétriques (formes différentielles) est assez vaste, et c'est le cadre naturel du produit vectoriel.

Enfin, dès qu'on plonge dans la RG, il est patent que le produit vectoriel s'exprime correctement en tensoriel et que son extension en 4D ne peut être que tensorielle.

Cordialement,

[Les Terres Bleues]

Enfin, dès qu'on plonge dans la RG, il est patent que le produit vectoriel s'exprime correctement en tensoriel et que son extension en 4D ne peut être que tensorielle.

De mon point de vue, le problème est alors juste déplacé en 4D, il ne reste plus qu'à remplacer le terme de vecteur par celui de tenseur.

Je ne suis toujours pas convaincu que la définition de la base doive précéder celle du vecteur. Le cas du tenseur métrique fondamental me semble confirmer cette approche mais je n'en suis pas sûr.

Cordiales salutations.