infini et 1

[invite6754323456711]

J
J'ai l'impression que tu cherches une définition ontologique de l'infini. Pourtant on peut "comprendre" l'infini au travers de ses propriétés qui sont formalisables sans se soucier de ce qu'il est en tant qu'être incommensurable comme tu le désignes.

Patrick

formalisable et non formalisation

Patrick
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[invite6754323456711]

Cette discussion montre, si besoin était, que la notion de l'infini est loin d'être simple pour tout le monde, et donc n'est pas si inutile.

On peut même en perdre la raison (Cantor, éminent mathématicien finissant sa vie à l’asile)

Sur des interrogations plus modestes, au premier regard on peut être tenté de dire que N est plus grand que N ou que Z si on fait le constat qu'il existe des surjections :

- Quotient de division entière par le diviseur 2 entre l'ensemble des entiers naturels eux mêmes

Ou comme la surjection de N vers Z :

n multiple de 4 --> -n/4
n=1 mod 4 --> (n-1)/4
n=2 mod 4 --> -(n+2)/4
n=3 mod 4 --> (n-3)/4

L'infinie semble dont être totalement malléable.

Maintenant si on s'intéresse de plus prés à la notion de bijection on lève le voile de ses apparentes incohérences :

Dire que deux "choses" sont traitables de la même manière pour au moins certains aspects, on fait toujours appel à une bijection qui conserve certaines propriétés structurelles (iso/homo/difféo/etcetaromorphisme).

La structure d'ensemble, la plus simple dans le montage à partir de la théorie des ensembles, amène la notion de bijection elle-même, qui conserve une structure et donc certains attributs, et le cardinal est le plus évident ce ces attributs.

Si tu comprends la notion de bijection, tu comprends la notion de cardinal (c'est une simple conséquence des propriétés de la bijection, propriétés qui permettent de construire une relation d'équivalence et donc des classes d'équivalence; le mot "cardinal" n'est qu'un alias pour ces classes d'équivalence). Il n'y a là aucune notion d'extrapolation.

Les surjections ne permettent pas de casser la symétrie, pas plus que les injections.

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

de plus tu as une idée fausse de ces deux mots comme ton intervention sur un fil en épistémologie le prouve (et il me semble te l'avoir déjà signalé), mais c'est un autre débat.

La difficulté vient peut être aussi de l'ambiguïté dans l'usage des mots maintenue par les mathématiciens.

Extrait de l'ouvrage de L'infini mathématique

Les nombres irrationnels ont été inventés (ù100fil : est non découvert ?) pour combler les coupures de l'ensemble des nombres rationnels et le transformer en un ensemble continu.

Malgré le nom trompeur de l'hypothèse du continu qui concerne des ensembles non dénombrables, il n'y a pas de lien entre discret et dénombrable (il y a des ensembles discrets qui sont non dénombrables) ; pour le continu je ne pourrais réellement donner un avis que quand je saurais ce que tu veux dire par là (par exemple si c'est synonyme de densité (au sens de la relation d'ordre), alors il existe des ensembles dénombrables et denses).

...
Ordre discret : malheureusement plusieurs définitions sont utilisées

1. tous les éléments ont un successeur (sauf le dernier s'il existe) et tous les éléments ont un prédécesseur (sauf le premier s'il existe)
2. tous les éléments ont un successeur (sauf le dernier s'il existe)
3. identité (pour les anglophones)

Personnellement j'utilise la 1. La 2 permet de considérer les ordinaux comme discret

Patrick

[Médiat]

Louis Couturat est mort en 1914, et tu aurais pu citer tous les mathématiciens du XIX^ième qui nous ont laissé la célèbre "Hypothèse du continu" qui n'a rien à voir avec la continuité, oui, le vocabulaire a évolué depuis plus de 100 ans (nous sommes au XXI^ième).

Je maintiens qu'il n'y a aucun rapport entre discret et dénombrable, pas plus qu'il n'y en a entre non dénombrable et complet au sens où les suites de Cauchy ont une limite (ce qui s'approche, à mon avis, le plus du "continu", au sens du XIX^ième siècle, pour un ensemble).

[invite7cf0b55f]

La notion d'infini, vient de la theorie des ensembles et si je me souviens bien, c'est un axiome 'axiome de l'infini'.

Sinon, votre discusion est infertile, puisque vous ne parler pas tout à fait de la même chose. Je vous conseille plus tôt de soit rester dans le cadre d'un systeme formel (mathématique), ou bien du côté philosophique avec le danger de la subjectivité.

[pelkin]

comme tu l'a remaqué, je me suis contredit, mais toutefois en affirmant deux chose vraie mais intrinsèquement contraticdoire.

il y a un problème a vouloir décrire l'incomensurable avec la notion d'infini, l'on tombe sur un parradoxe du a la notion même d'incomensurabilité propre a l'infini.
personnelement pour l'instant je n'y vois pas de soutions a moins d'inventer des concept mathématique nouveau qui ne se rapporte pas à la notion d'infini.

Bonjour,

Pas besoin de nouveaux concepts, la notion d'inconsistance suffit.

Amicalement

[pelkin]

La notion d'infini, vient de la theorie des ensembles et si je me souviens bien, c'est un axiome 'axiome de l'infini'.

Zenon d'Elée n'a jamais connu la théorie des ensembles, mais s'intéressait beaucoup à l'infini, il n'était pas le seul à l'époque d'ailleurs.

Sinon, votre discusion est infertile, puisque vous ne parler pas tout à fait de la même chose. Je vous conseille plus tôt de soit rester dans le cadre d'un systeme formel (mathématique), ou bien du côté philosophique avec le danger de la subjectivité.

Dans le cadre présent, l'aspect mathématique se suffit à lui-même; encore faudrait-il savoir de quel infini l'on parle (question que je pose pour la Xième fois dans ce genre de discussion ..... Mediat aussi d'ailleurs); réel ou potentiel ?
L'aspect philosophique n'a rien à faire ici.

Amicalement

[pelkin]

Sur le simple titre de ce post : "Infini et 1" on pourrait peut être citer un nom aussi : Leibniz

[invite7cf0b55f]

Zenon d elée se pose la question de l'infini, mais pour comprendre l'infini, et la définition n'est pas définitive.Si je parlais de philosophie et subjectivité , c'était à cause de la distinction entre infini réel et potentiel qui est à débat entre les constructiviste et les platoniciens si je me trompe pas, la théorie des ensemble donne un cadre à la notion d'infini, certes dans le cadre d'un système formel, mais cela me permet de déduire des choses.

[Médiat]

la distinction entre infini réel et potentiel qui est à débat entre les constructiviste et les platoniciens

Je ne pense pas qu'il y ait débat sur le thème l'infini est-il potentiel ou actuel ; je ne vois pas ce qui pourrait empêcher un platonicien de considérer les deux, et je crois que les constructivistes ne sont pas tous finitistes (mais je connais mal) ; en tout état de cause, en tant que formaliste, les deux me conviennent parfaitement tant qu'ils sont bien différenciés dans la tête de celui qui emploie le mot "infini" et mieux, si, dans le cadre de discussions telles que celles-ci, le choix est explicite.