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Interprétation d'un postulat

  1. hlbnet

    Date d'inscription
    juillet 2008
    Messages
    833

    Question Interprétation d'un postulat

    Bonjour,

    (soyez indulgents SVP, je marche sur des oeufs)

    On lit souvent que les mathématiques sont basées sur des axiomes à partir desquels on raisonne logiquement pour en conclure toutes sortes de résultats.

    Un axiome n'est pas démontrable. Il est censé être "évident" ou "aller de soit". On ne le remet pas en cause, par définition.

    Et c'est là que je décroche : pour moi, rares sont les affirmations "évidentes" ou qui "vont de soit".

    Voici quelques axiomes à partir desquels je vous propose d'essayer de raisonner "logiquement" (n'essayez pas réellement, c'est juste une astuce pour me faire comprendre) :

    1- La riposité est moins saillante que la conciliabulité.
    2- Si le grand Autre était un sujet, alors il serait barré, c'est-à-dire qu'il serait représenté par un signifiant dans un réseau méta.
    3- X#YY $$4= [[ggh]]

    (Bon, je sens que je suis complètement perdu dans ma propre question. Je continue péniblement et avec lassitude.)

    Un axiome on doit l'admettre, ok, mais doit-on d'abord le comprendre ? Et ca veut dire quoi le comprendre ? Tout le monde ne donne peut-être pas le même sens au même axiome (question de culture, d'habitude, de profession, etc) ?

    J'en arrive à me dire que l'échaffaudage mathématique est basée sur "une interprétation" des axiomes ... mais sur quoi se base cette interprétation ?

    (là, ça y est, je m'enterre définitivement)

    -----

     


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  2. bb98

    Date d'inscription
    juin 2007
    Messages
    1 843

    Re : Interprétation d'un postulat

    Bonjour

    Mes lectures me disent :

    autrefois, les axiomes étaient considérés comme des "propriétés évidentes" des objets mathématiques
    avec l'apparition de choses bizarres, comme la géométrie non euclidienne, les choses ont un peu changé et certains axiomes sont plutot vus comme des conventions que l'on peut accepter ou refuser
    C'est Poincaré qui a posé que les axiomes sont des définitions déguisées
    et Godel a "complété" en disant en substance que les axiomes d'une théorie forment une classe de structures : nn changeant d'axiomes, on change de modèle dans la théorie...

    il y a une bonne entrée à ce sujet dans "Dictionnaire des sciences" de M. Serres et N.Farouki chez Flammarion, mais j'ai outrageusement résumé
     

  3. hlbnet

    Date d'inscription
    juillet 2008
    Messages
    833

    Re : Interprétation d'un postulat

    Citation Envoyé par bb98 Voir le message
    certains axiomes sont plutot vus comme des conventions que l'on peut accepter ou refuser
    Si je refuse un axiome, je comprends bien que je n'ai pas besoin d'aller plus loin.

    Mais si j'accepte un axiome, je vais peut-être comprendre quelque chose de différent de toi, car nous n'avons pas les mêmes antécédents, le même vécu.

    Du coup, je vais peut-être refuser la toute première déduction que tu feras, bien qu'ayant accepté l'axiome (mais interprété différemment de toi).
     

  4. bb98

    Date d'inscription
    juin 2007
    Messages
    1 843

    Re : Interprétation d'un postulat

    Il me semble que l'on peut avoir un vocabulaire différent entre deux individus

    Mais...pour tenir un dialogue, il me semble aussi que quelques prémises identiques sont nécessaires : "sommes nous bien d'accord sur ce que nous appelons , toi et moi, "droite" et "gauche", "haut" et "bas" ?....
    Sinon, je crains que tout dialogue soit impossible

    Après, il me semble aussi que les axiomes du genre :
    "par un point , il passe une et une seule....."
    ont été balayés par les géométries non euclidiennes, mais pas "refusé", cet axiome reste une base de la géométrie euclidienne et "fonctionne" bien dans cette "classe de modèle" à la Godel
     

  5. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 828

    Re : Interprétation d'un postulat

    Vous mélangez deux aspects très différents des mathématiques (et peut-être même 3).

    1) Fabriquer une théorie consiste à choisir un certain nombre d'axiomes, à vérifier qu'ils ne sont pas contradictoires les uns avec les autres (ensembles, ils ne permettent pas de démontrer p et non p), sinon la théorie est sans intérêt, à déterminer une partie (la plus grande possible) des conséquences des axiomes (les théorèmes) ; on peut, bien sur, se poser plein d'autres questions (comme la complétude par exemple).

    2) Fabriquer un modèle d'une théorie consistante consiste à fabriquer un objet mathématique dans lequel on interprète les éléments du langage de la théorie, et qui pour cette interprétation vérifie bien les axiomes ; plusieurs modèles (interprétations) peuvent être extrêmement différents (cf, par exemple le groupe trivial comparé au groupe Monstre)

    3) Trouver une interprétation "dans la vraie vie", par exemple utiliser l'arithmétique de Peano pour compter ses pommes (ça marche plutôt bien), ou démontrer l'"existence de Dieu" comme l'a fait Gödel (ça ne marche pas du tout).

    Il est important de noter que le point 3) n'est plus de l'ordre des mathématiques.

    Généralement les mathématiciens, par exemple à la demande d'un physicien qui lui décrit le point 3), fabriquera un modèle, puis cherchera des axiomes les mieux adaptées en s'attachant à utiliser un jeu d'axiomes qui soit facile à employer (moins il y en a et plus ils sont simples et plus la fabrication de modèles est facile).

    Il est important de noter que dire "Un axiome n'est pas démontrable" n'a pas de sens mathématique, ce qui a du sens c'est de dire qu'une proposition est indécidable dans une théorie donnée.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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  6. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Interprétation d'un postulat

    Citation Envoyé par bb98 Voir le message
    Après, il me semble aussi que les axiomes du genre :
    "par un point , il passe une et une seule....."
    ont été balayés par les géométries non euclidiennes, mais pas "refusé", cet axiome reste une base de la géométrie euclidienne et "fonctionne" bien dans cette "classe de modèle" à la Godel
    En relisant ma précédente intervention, vous devriez comprendre que ceci n'a pas beaucoup de sens.

    Je ne sais pas ce que veut dire "classe de modèles" à la Gödel, pourriez-vous expliciter ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  7. hlbnet

    Date d'inscription
    juillet 2008
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    Re : Interprétation d'un postulat

    Citation Envoyé par bb98 Voir le message
    Il me semble que l'on peut avoir un vocabulaire différent entre deux individus

    Mais...pour tenir un dialogue, il me semble aussi que quelques prémises identiques sont nécessaires : "sommes nous bien d'accord sur ce que nous appelons , toi et moi, "droite" et "gauche", "haut" et "bas" ?....
    Sinon, je crains que tout dialogue soit impossible
    Grat, grat ... screugneugneu .. je crois que ça doit être çà :

    Les axiomes des mathématiques se basent sur une supposée "culture commune" que l'on a (presque) tous acquis par nos vécus respectifs (ou notre ADN).

    Sans cette base commune, tu refuseras tous mes axiomes ou bien tu les acceptera mais fera d'autres déductions que moi a partir de mes axiomes (et réciproquement).

    (Faut encore que je retourne ça un moment dans mes méninges pour essayer d'imaginer ce que ça implique)
     

  8. hlbnet

    Date d'inscription
    juillet 2008
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    833

    Re : Interprétation d'un postulat

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Vous mélangez deux aspects très différents des mathématiques (et peut-être même 3).

    1) Fabriquer une théorie consiste à choisir un certain nombre d'axiomes, à vérifier qu'ils ne sont pas contradictoires les uns avec les autres (ensembles, ils ne permettent pas de démontrer p et non p), sinon la théorie est sans intérêt, à déterminer une partie (la plus grande possible) des conséquences des axiomes (les théorèmes) ; on peut, bien sur, se poser plein d'autres questions (comme la complétude par exemple).
    Prenons les 3 axiomes que j'ai choisi, donnés dans mon premier message. Quelles théorèmes pourrez vous démontrer à partir de ces axiomes ? Sont-ils contradictoires ou pas ?

    J'anticipe la réponse (corrigez moi si ce n'est pas correct) :
    Ces prétendus axiomes sont incompréhensibles. Cette logorrhée ne peut pas prétendre constituer des axiomes acceptables pour fonder une théorie.

    Je suis bien d'accord !

    Mais, quel sont les critères qui nous permettent de nous mettre d'accord sur ce point clé ?

    Réciproquement, si quelqu'un prends des axiomes classiques des mathématiques et affirme "Cette logorrhée ne peut pas prétendre constituer des axiomes acceptables pour fonder une théorie", serez vous d'accord avec lui ? Et comment justifier votre conviction que se sont bien des axiomes à partir desquels on peut fonder une théorie ?

    Et même si cette personne accepte les axiomes pour fonder une théorie, comment éviter qu'il les interprète de manière totalement différente de vous et moi ?

    (Je crois que ma question ne se situe pas dans le champ des mathématiques, ni de la logique, peut-être de l'épistémologie et encore)
     

  9. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Interprétation d'un postulat

    Citation Envoyé par hlbnet Voir le message
    Prenons les 3 axiomes que j'ai choisi, donnés dans mon premier message. Quelles théorèmes pourrez vous démontrer à partir de ces axiomes ? Sont-ils contradictoires ou pas ?
    Avant de donner des axiomes, il vous faut préciser le langage utilisé.

    Citation Envoyé par hlbnet Voir le message
    J'anticipe la réponse (corrigez moi si ce n'est pas correct) :
    Ces prétendus axiomes sont incompréhensibles. Cette logorrhée ne peut pas prétendre constituer des axiomes acceptables pour fonder une théorie.
    Ils sont incompréhensibles tant que vous ne spécifiez pas le langage (au sens de la logique, pas du français)

    Citation Envoyé par hlbnet Voir le message
    Mais, quel sont les critères qui nous permettent de nous mettre d'accord sur ce point clé ?
    Je le répète : précisez le langage, et tout le monde sera d'accord, sauf si vos axiomes sont contradictoires

    Citation Envoyé par hlbnet Voir le message
    Réciproquement, si quelqu'un prends des axiomes classiques des mathématiques et affirme "Cette logorrhée ne peut pas prétendre constituer des axiomes acceptables pour fonder une théorie", serez vous d'accord avec lui ? Et comment justifier votre conviction que se sont bien des axiomes à partir desquels on peut fonder une théorie ?
    La question ne se pose pas, presque pas : respectez les règles de constitution d'une théorie, et tout le monde sera d'accord pour dire que c'est une théorie (je ne vous garantis pas que tout le monde trouvera que c'est une théorie intéressante)

    Citation Envoyé par hlbnet Voir le message
    Et même si cette personne accepte les axiomes pour fonder une théorie, comment éviter qu'il les interprète de manière totalement différente de vous et moi ?
    Si vous parlez d'interprétation au sens "modèle", c'est à dire mon point 2, je n'ai aucune raison d'être gêné par un modèle auquel je n'aurais pas pensé, au contraire.
    Si vous parlez d'interprétation au sens "dans la vraie vie", c'est à dire mon point 3, cela ne me regarde pas, puisque ce n'est plus dans le champ des mathématiques.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  10. hlbnet

    Date d'inscription
    juillet 2008
    Messages
    833

    Re : Interprétation d'un postulat

    Ok, je ne savais pas qu'avant de définir les axiomes, il fallait "définir un langage (au sens de la logique, pas du français)".

    Et pour pouvoir définir ce langage, il faut autre chose (que je le sache avant de poser ma prochaine question idiote) ?
     

  11. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 828

    Re : Interprétation d'un postulat

    Il suffit de savoir ce qu'est un langage .

    Dans le cadre de la logique un langage comprend un certain nombre de choses, comme des symboles de variables de connecteur, de quantificateur (ceuxlà sont connus, si vous ne vous placez pas dans une logique exotique), la partie non logique d'un langage, celle que vous devez spécifier, c'est :
    1) un ensemble (éventuellement vide) de symboles de constante
    2) un ensemble (éventuellement vide) de symboles de relations avec leur arité
    3) un ensemble (éventuellement vide) de symboles de fonctions avec leur arité

    Si je prends votre axiome 1 : La riposité est moins saillante que la conciliabulité
    Je peux tenter de l'interpréter en disant que vous utiliser deux symboles de constante "riposité" et "conciliabulité", que dorénavant je noterais r et c, par simplicité ; et un symbole de relation binaire "Saillant" qui ressemble un peu à une relation d'ordre (à vous de le confirmer) que je noterais S, toujours pas simplicité.
    Du coup votre axiome s'écrit r S c, qui peut s'interpréter dans IN en choisissant r = 0 et c = 1, et S = < ; du coup votre axiome incompréhensible dit simplement (dans ce modèle) que 0 < 1 !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  12. hlbnet

    Date d'inscription
    juillet 2008
    Messages
    833

    Re : Interprétation d'un postulat

    Je crois que je me suis lancé sur quelque chose d'un peu plus difficile que je ne l'anticipais au départ de ce fil (quoique, j'y suis allé à reculons).

    Bon, je vais essayer de lire cela, en espérant ne pas m'y perdre et que ce sera utile :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_mathématique

    Bonsoir et merci.
     

  13. invite6754323456711
    Invité

    Re : Interprétation d'un postulat

    Citation Envoyé par hlbnet Voir le message
    Je crois que je me suis lancé sur quelque chose d'un peu plus difficile que je ne l'anticipais au départ de ce fil (quoique, j'y suis allé à reculons).
    Ce cours m'avait aidé à y voir plus clair.

    Patrick
     

  14. quetzal

    Date d'inscription
    mars 2004
    Messages
    4 546

    Re : Interprétation d'un postulat

    la logique n'a de sens que si les symboles utilisé et les signes utilisé code bien les même concepts et idée pour tout un chacun.

    soit, par exemple, un axiomes ou un principe en philosophie n'ont de sens que si par conventions culturelle, il est fait habitude de nomer tel ou tel chose d'une certainne façon

    il est en effet impossible de démontrer que le fait d'associer le chiffre 1 a l'idée d'unité soit en-soi plus pertinant que d'y mettre le chiffre 5, ou encore une lettre quelconque ou un signe quelconque....

    l'interet des langages est d'être une somme de "forme" symbolique" abstraite auquel l'on associe arbitrairement une idée. la performance d'un langage est d'avoir une sorte de fitness intrinsèque permettant de coder avec facilité et simplicité le plus grand nombre d'idée...

    le langage mathématique sous sa forme "graphique" est tout étudié a cette fitness là, il est concis, minimaliste car le plus souvant un seul signe suffit pour représenter une idée importante a "exprimer"

    le reste comme le dit médiat consiste en logique en un devellopement radical et implcable de toute les possibilités qu'offre ce langage...

    un peu comme de prendre un alphabet, et de faire un dénombrement de toute les possibilités de celui-ci... l'on rajouteras que la notion d'opérateur est très importante, car en plus du dénombrement pur, il y a ces fonctions "première" permettant le calcul en-soi des possibilité d'un système non graphique ou de langage(ce n'est qu'une forme), mais des idées subjacente que code le langage.

    soit toute la différence entre le monde des idées et la logique formelle d'aristote qui sommes toutes n'vait peut-être pas bien compris l'allégorie de la caverne, ou avait mal lu ses cours...

    en-soi tout symboles est indiférencié et il peux être le représentant formel de toute chose (c'est bien un des problème en linguistique, ou chaque opulation chisie selon son gout des signes différent pour coder des sons pourtant identiques) d'ou la nécéssité du code phonétique international qui fait un pont entre tout les caprices locaux.

    al logique en soi, ce ne sont que des principes, comme celui de non-contradiction (qui sont plus des propositions philosophique, puisqu'ecrite en toute lettre que des définitions mathématiques, ou logique)

    c'est tout le problème de l'idée sub-jacente qui est toujours en question dans l'usage de tout langage. ton premier post Hblnet, démontre parfaitement cette difficulté epistémologique "fondamentale", celui tant de la pertiance de l'idée, que celle de son "apparence formelle", et surtout de la cohérence du vocabulaire et des idées elle-même dans le plan des idées, dont la forme est un peu comme ce qu'st une partitionen face de la musique, des ombres dançante sur les murs de la caverne.

    l'important n'est pas la forme, et l'on pourrait se reférer ici aux carnets de Ramanujan, qui s'était fabriqué son propre formalisme... du travail nécéssaire à la traduction, l'on deduit aisément que l'interet du formalisme réside surtout dans la communication des idées, soit dans le fait même de pouvoir partager avec d'autres "ses propres idées"... en quoi l'on rejoint le principe propre des langage en tant qu'outil de communication. donc d'externalisation de la pensée. mais que vaidrait un langage si il nest pas partagé ? il perd de fait son utilité, car tout formalisme n'a en-soi aucune réalité commune avec les idées qu'il "code"
    et c'est bien ici que se trouve la foultitude des langage humain, chaque peuple décide a son caprice quels seront les signes, les sons qu'il vas utilisé en commun pour communiquer.

    pour revenir a la difficulté propre de la logique, elle reste toutefis bien dans une bonne détermination "locale" de l'idée a formaliser...

    si par exemple l'on reprend euclide, et un axiome

    le lus court chemin entre deux points est la ligne droite. est-ce de la topologie ou bien est-ce de la géométrie, que signifie ici "chemin" "par rapport au concept de "distance".

    l'on peu facilement poser une différence notable, car la plus courte "distance" en géométrie reste la ligne droite, tendis qu'en topologie, il est tout aussi clair que ne pouvant parler que de chemin, le plus court trajet est la géodésique.

    mais je suppose qu'il est possible de gloser assez longtemps sur ce petit exemple, qui fonde a eux seul deux grande façon de percevoir le monde, l'un purement abstrait la distance, et l'autre physique le chemin, ou le trajet.

    l'on comprend ici, que le choix d'un seul mot aux source d'un système logique peux avoir des conséquence particulièrement redoutable dans toute les conséquence et compréhension que l'on peut avoir du monde par la suite en usant des systèmes considéré.
     

  15. pelkin

    Date d'inscription
    septembre 2009
    Âge
    64
    Messages
    2 982

    Re : Interprétation d'un postulat

    50 lignes pour ne rien dire et pour terminer par une hérésie ..... "l'on comprend ici, que le choix d'un seul mot aux source d'un système logique peux avoir des conséquence particulièrement redoutable dans toute les conséquence et compréhension que l'on peut avoir du monde par la suite en usant des systèmes considéré." ...... Bravo

    Ben non, justement, la logique et la mathématique utilisent un langage qui ne tolère ni le quiproquo ni l'interprétation ..... encore ,faut il apprendre ce langage, mais c'est tellement plus simple de faire de la réthorique et de la philosophie (de comptoir)!!!!!!!.
     


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