Interprétation d'un postulat

[invitebdf515f4]

Bonjour,

(soyez indulgents SVP, je marche sur des oeufs)

On lit souvent que les mathématiques sont basées sur des axiomes à partir desquels on raisonne logiquement pour en conclure toutes sortes de résultats.

Un axiome n'est pas démontrable. Il est censé être "évident" ou "aller de soit". On ne le remet pas en cause, par définition.

Et c'est là que je décroche : pour moi, rares sont les affirmations "évidentes" ou qui "vont de soit".

Voici quelques axiomes à partir desquels je vous propose d'essayer de raisonner "logiquement" (n'essayez pas réellement, c'est juste une astuce pour me faire comprendre) :

1- La riposité est moins saillante que la conciliabulité.
2- Si le grand Autre était un sujet, alors il serait barré, c'est-à-dire qu'il serait représenté par un signifiant dans un réseau méta.
3- X#YY $$4= [[ggh]]

(Bon, je sens que je suis complètement perdu dans ma propre question. Je continue péniblement et avec lassitude.)

Un axiome on doit l'admettre, ok, mais doit-on d'abord le comprendre ? Et ca veut dire quoi le comprendre ? Tout le monde ne donne peut-être pas le même sens au même axiome (question de culture, d'habitude, de profession, etc) ?

J'en arrive à me dire que l'échaffaudage mathématique est basée sur "une interprétation" des axiomes ... mais sur quoi se base cette interprétation ?

(là, ça y est, je m'enterre définitivement)
-----

[bb98]

Bonjour

Mes lectures me disent :

autrefois, les axiomes étaient considérés comme des "propriétés évidentes" des objets mathématiques
avec l'apparition de choses bizarres, comme la géométrie non euclidienne, les choses ont un peu changé et certains axiomes sont plutot vus comme des conventions que l'on peut accepter ou refuser
C'est Poincaré qui a posé que les axiomes sont des définitions déguisées
et Godel a "complété" en disant en substance que les axiomes d'une théorie forment une classe de structures : nn changeant d'axiomes, on change de modèle dans la théorie...

il y a une bonne entrée à ce sujet dans "Dictionnaire des sciences" de M. Serres et N.Farouki chez Flammarion, mais j'ai outrageusement résumé

[invitebdf515f4]

certains axiomes sont plutot vus comme des conventions que l'on peut accepter ou refuser

Si je refuse un axiome, je comprends bien que je n'ai pas besoin d'aller plus loin.

Mais si j'accepte un axiome, je vais peut-être comprendre quelque chose de différent de toi, car nous n'avons pas les mêmes antécédents, le même vécu.

Du coup, je vais peut-être refuser la toute première déduction que tu feras, bien qu'ayant accepté l'axiome (mais interprété différemment de toi).

[bb98]

Il me semble que l'on peut avoir un vocabulaire différent entre deux individus

Mais...pour tenir un dialogue, il me semble aussi que quelques prémises identiques sont nécessaires : "sommes nous bien d'accord sur ce que nous appelons , toi et moi, "droite" et "gauche", "haut" et "bas" ?....
Sinon, je crains que tout dialogue soit impossible

Après, il me semble aussi que les axiomes du genre :
"par un point , il passe une et une seule....."
ont été balayés par les géométries non euclidiennes, mais pas "refusé", cet axiome reste une base de la géométrie euclidienne et "fonctionne" bien dans cette "classe de modèle" à la Godel

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Vous mélangez deux aspects très différents des mathématiques (et peut-être même 3).

1) Fabriquer une théorie consiste à choisir un certain nombre d'axiomes, à vérifier qu'ils ne sont pas contradictoires les uns avec les autres (ensembles, ils ne permettent pas de démontrer p et non p), sinon la théorie est sans intérêt, à déterminer une partie (la plus grande possible) des conséquences des axiomes (les théorèmes) ; on peut, bien sur, se poser plein d'autres questions (comme la complétude par exemple).

2) Fabriquer un modèle d'une théorie consistante consiste à fabriquer un objet mathématique dans lequel on interprète les éléments du langage de la théorie, et qui pour cette interprétation vérifie bien les axiomes ; plusieurs modèles (interprétations) peuvent être extrêmement différents (cf, par exemple le groupe trivial comparé au groupe Monstre)

3) Trouver une interprétation "dans la vraie vie", par exemple utiliser l'arithmétique de Peano pour compter ses pommes (ça marche plutôt bien), ou démontrer l'"existence de Dieu" comme l'a fait Gödel (ça ne marche pas du tout).

Il est important de noter que le point 3) n'est plus de l'ordre des mathématiques.

Généralement les mathématiciens, par exemple à la demande d'un physicien qui lui décrit le point 3), fabriquera un modèle, puis cherchera des axiomes les mieux adaptées en s'attachant à utiliser un jeu d'axiomes qui soit facile à employer (moins il y en a et plus ils sont simples et plus la fabrication de modèles est facile).

Il est important de noter que dire "Un axiome n'est pas démontrable" n'a pas de sens mathématique, ce qui a du sens c'est de dire qu'une proposition est indécidable dans une théorie donnée.

[Médiat]

Après, il me semble aussi que les axiomes du genre :
"par un point , il passe une et une seule....."
ont été balayés par les géométries non euclidiennes, mais pas "refusé", cet axiome reste une base de la géométrie euclidienne et "fonctionne" bien dans cette "classe de modèle" à la Godel

En relisant ma précédente intervention, vous devriez comprendre que ceci n'a pas beaucoup de sens.

Je ne sais pas ce que veut dire "classe de modèles" à la Gödel, pourriez-vous expliciter ?

[invitebdf515f4]

Il me semble que l'on peut avoir un vocabulaire différent entre deux individus

Mais...pour tenir un dialogue, il me semble aussi que quelques prémises identiques sont nécessaires : "sommes nous bien d'accord sur ce que nous appelons , toi et moi, "droite" et "gauche", "haut" et "bas" ?....
Sinon, je crains que tout dialogue soit impossible

Grat, grat ... screugneugneu .. je crois que ça doit être çà :

Les axiomes des mathématiques se basent sur une supposée "culture commune" que l'on a (presque) tous acquis par nos vécus respectifs (ou notre ADN).

Sans cette base commune, tu refuseras tous mes axiomes ou bien tu les acceptera mais fera d'autres déductions que moi a partir de mes axiomes (et réciproquement).

(Faut encore que je retourne ça un moment dans mes méninges pour essayer d'imaginer ce que ça implique)

[invitebdf515f4]

Vous mélangez deux aspects très différents des mathématiques (et peut-être même 3).

1) Fabriquer une théorie consiste à choisir un certain nombre d'axiomes, à vérifier qu'ils ne sont pas contradictoires les uns avec les autres (ensembles, ils ne permettent pas de démontrer p et non p), sinon la théorie est sans intérêt, à déterminer une partie (la plus grande possible) des conséquences des axiomes (les théorèmes) ; on peut, bien sur, se poser plein d'autres questions (comme la complétude par exemple).

Prenons les 3 axiomes que j'ai choisi, donnés dans mon premier message. Quelles théorèmes pourrez vous démontrer à partir de ces axiomes ? Sont-ils contradictoires ou pas ?

J'anticipe la réponse (corrigez moi si ce n'est pas correct) :
Ces prétendus axiomes sont incompréhensibles. Cette logorrhée ne peut pas prétendre constituer des axiomes acceptables pour fonder une théorie.

Je suis bien d'accord !

Mais, quel sont les critères qui nous permettent de nous mettre d'accord sur ce point clé ?

Réciproquement, si quelqu'un prends des axiomes classiques des mathématiques et affirme "Cette logorrhée ne peut pas prétendre constituer des axiomes acceptables pour fonder une théorie", serez vous d'accord avec lui ? Et comment justifier votre conviction que se sont bien des axiomes à partir desquels on peut fonder une théorie ?

Et même si cette personne accepte les axiomes pour fonder une théorie, comment éviter qu'il les interprète de manière totalement différente de vous et moi ?

(Je crois que ma question ne se situe pas dans le champ des mathématiques, ni de la logique, peut-être de l'épistémologie et encore)

[Médiat]

Prenons les 3 axiomes que j'ai choisi, donnés dans mon premier message. Quelles théorèmes pourrez vous démontrer à partir de ces axiomes ? Sont-ils contradictoires ou pas ?

Avant de donner des axiomes, il vous faut préciser le langage utilisé.

J'anticipe la réponse (corrigez moi si ce n'est pas correct) :
Ces prétendus axiomes sont incompréhensibles. Cette logorrhée ne peut pas prétendre constituer des axiomes acceptables pour fonder une théorie.

Ils sont incompréhensibles tant que vous ne spécifiez pas le langage (au sens de la logique, pas du français)

Mais, quel sont les critères qui nous permettent de nous mettre d'accord sur ce point clé ?

Je le répète : précisez le langage, et tout le monde sera d'accord, sauf si vos axiomes sont contradictoires

Réciproquement, si quelqu'un prends des axiomes classiques des mathématiques et affirme "Cette logorrhée ne peut pas prétendre constituer des axiomes acceptables pour fonder une théorie", serez vous d'accord avec lui ? Et comment justifier votre conviction que se sont bien des axiomes à partir desquels on peut fonder une théorie ?

La question ne se pose pas, presque pas : respectez les règles de constitution d'une théorie, et tout le monde sera d'accord pour dire que c'est une théorie (je ne vous garantis pas que tout le monde trouvera que c'est une théorie intéressante)

Et même si cette personne accepte les axiomes pour fonder une théorie, comment éviter qu'il les interprète de manière totalement différente de vous et moi ?

Si vous parlez d'interprétation au sens "modèle", c'est à dire mon point 2, je n'ai aucune raison d'être gêné par un modèle auquel je n'aurais pas pensé, au contraire.
Si vous parlez d'interprétation au sens "dans la vraie vie", c'est à dire mon point 3, cela ne me regarde pas, puisque ce n'est plus dans le champ des mathématiques.

[invitebdf515f4]

Ok, je ne savais pas qu'avant de définir les axiomes, il fallait "définir un langage (au sens de la logique, pas du français)".

Et pour pouvoir définir ce langage, il faut autre chose (que je le sache avant de poser ma prochaine question idiote) ?

[Médiat]

Il suffit de savoir ce qu'est un langage .

Dans le cadre de la logique un langage comprend un certain nombre de choses, comme des symboles de variables de connecteur, de quantificateur (ceuxlà sont connus, si vous ne vous placez pas dans une logique exotique), la partie non logique d'un langage, celle que vous devez spécifier, c'est :
1) un ensemble (éventuellement vide) de symboles de constante
2) un ensemble (éventuellement vide) de symboles de relations avec leur arité
3) un ensemble (éventuellement vide) de symboles de fonctions avec leur arité

Si je prends votre axiome 1 : La riposité est moins saillante que la conciliabulité
Je peux tenter de l'interpréter en disant que vous utiliser deux symboles de constante "riposité" et "conciliabulité", que dorénavant je noterais r et c, par simplicité ; et un symbole de relation binaire "Saillant" qui ressemble un peu à une relation d'ordre (à vous de le confirmer) que je noterais S, toujours pas simplicité.
Du coup votre axiome s'écrit r S c, qui peut s'interpréter dans IN en choisissant r = 0 et c = 1, et S = < ; du coup votre axiome incompréhensible dit simplement (dans ce modèle) que 0 < 1 !

[invitebdf515f4]

Je crois que je me suis lancé sur quelque chose d'un peu plus difficile que je ne l'anticipais au départ de ce fil (quoique, j'y suis allé à reculons).

Bon, je vais essayer de lire cela, en espérant ne pas m'y perdre et que ce sera utile :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_mathématique

Bonsoir et merci.

[invite6754323456711]

Je crois que je me suis lancé sur quelque chose d'un peu plus difficile que je ne l'anticipais au départ de ce fil (quoique, j'y suis allé à reculons).

Ce cours m'avait aidé à y voir plus clair.

Patrick

[invite0e4ceef6]

la logique n'a de sens que si les symboles utilisé et les signes utilisé code bien les même concepts et idée pour tout un chacun.

soit, par exemple, un axiomes ou un principe en philosophie n'ont de sens que si par conventions culturelle, il est fait habitude de nomer tel ou tel chose d'une certainne façon

il est en effet impossible de démontrer que le fait d'associer le chiffre 1 a l'idée d'unité soit en-soi plus pertinant que d'y mettre le chiffre 5, ou encore une lettre quelconque ou un signe quelconque....

l'interet des langages est d'être une somme de "forme" symbolique" abstraite auquel l'on associe arbitrairement une idée. la performance d'un langage est d'avoir une sorte de fitness intrinsèque permettant de coder avec facilité et simplicité le plus grand nombre d'idée...

le langage mathématique sous sa forme "graphique" est tout étudié a cette fitness là, il est concis, minimaliste car le plus souvant un seul signe suffit pour représenter une idée importante a "exprimer"

le reste comme le dit médiat consiste en logique en un devellopement radical et implcable de toute les possibilités qu'offre ce langage...

un peu comme de prendre un alphabet, et de faire un dénombrement de toute les possibilités de celui-ci... l'on rajouteras que la notion d'opérateur est très importante, car en plus du dénombrement pur, il y a ces fonctions "première" permettant le calcul en-soi des possibilité d'un système non graphique ou de langage(ce n'est qu'une forme), mais des idées subjacente que code le langage.

soit toute la différence entre le monde des idées et la logique formelle d'aristote qui sommes toutes n'vait peut-être pas bien compris l'allégorie de la caverne, ou avait mal lu ses cours...

en-soi tout symboles est indiférencié et il peux être le représentant formel de toute chose (c'est bien un des problème en linguistique, ou chaque opulation chisie selon son gout des signes différent pour coder des sons pourtant identiques) d'ou la nécéssité du code phonétique international qui fait un pont entre tout les caprices locaux.

al logique en soi, ce ne sont que des principes, comme celui de non-contradiction (qui sont plus des propositions philosophique, puisqu'ecrite en toute lettre que des définitions mathématiques, ou logique)

c'est tout le problème de l'idée sub-jacente qui est toujours en question dans l'usage de tout langage. ton premier post Hblnet, démontre parfaitement cette difficulté epistémologique "fondamentale", celui tant de la pertiance de l'idée, que celle de son "apparence formelle", et surtout de la cohérence du vocabulaire et des idées elle-même dans le plan des idées, dont la forme est un peu comme ce qu'st une partitionen face de la musique, des ombres dançante sur les murs de la caverne.

l'important n'est pas la forme, et l'on pourrait se reférer ici aux carnets de Ramanujan, qui s'était fabriqué son propre formalisme... du travail nécéssaire à la traduction, l'on deduit aisément que l'interet du formalisme réside surtout dans la communication des idées, soit dans le fait même de pouvoir partager avec d'autres "ses propres idées"... en quoi l'on rejoint le principe propre des langage en tant qu'outil de communication. donc d'externalisation de la pensée. mais que vaidrait un langage si il nest pas partagé ? il perd de fait son utilité, car tout formalisme n'a en-soi aucune réalité commune avec les idées qu'il "code"
et c'est bien ici que se trouve la foultitude des langage humain, chaque peuple décide a son caprice quels seront les signes, les sons qu'il vas utilisé en commun pour communiquer.

pour revenir a la difficulté propre de la logique, elle reste toutefis bien dans une bonne détermination "locale" de l'idée a formaliser...

si par exemple l'on reprend euclide, et un axiome

le lus court chemin entre deux points est la ligne droite. est-ce de la topologie ou bien est-ce de la géométrie, que signifie ici "chemin" "par rapport au concept de "distance".

l'on peu facilement poser une différence notable, car la plus courte "distance" en géométrie reste la ligne droite, tendis qu'en topologie, il est tout aussi clair que ne pouvant parler que de chemin, le plus court trajet est la géodésique.

mais je suppose qu'il est possible de gloser assez longtemps sur ce petit exemple, qui fonde a eux seul deux grande façon de percevoir le monde, l'un purement abstrait la distance, et l'autre physique le chemin, ou le trajet.

l'on comprend ici, que le choix d'un seul mot aux source d'un système logique peux avoir des conséquence particulièrement redoutable dans toute les conséquence et compréhension que l'on peut avoir du monde par la suite en usant des systèmes considéré.

[invite29cafaf3]

50 lignes pour ne rien dire et pour terminer par une hérésie ..... "l'on comprend ici, que le choix d'un seul mot aux source d'un système logique peux avoir des conséquence particulièrement redoutable dans toute les conséquence et compréhension que l'on peut avoir du monde par la suite en usant des systèmes considéré." ...... Bravo

Ben non, justement, la logique et la mathématique utilisent un langage qui ne tolère ni le quiproquo ni l'interprétation ..... encore ,faut il apprendre ce langage, mais c'est tellement plus simple de faire de la réthorique et de la philosophie (de comptoir)!!!!!!!.

[Médiat]

la logique n'a de sens que si les symboles utilisé et les signes utilisé code bien les même concepts et idée pour tout un chacun.

Il est sans doute impossible d'écrire quelque chose de plus faux sur la logique, dont le rôle est justement de montrer comment manipuler les symboles quel que soit le concept ou l'idée que qui que ce soit peut avoir à leur sujet (vous en avez un exemple dans ce fil).

[invite0e4ceef6]

50 lignes pour ne rien dire et pour terminer par une hérésie ..... "l'on comprend ici, que le choix d'un seul mot aux source d'un système logique peux avoir des conséquence particulièrement redoutable dans toute les conséquence et compréhension que l'on peut avoir du monde par la suite en usant des systèmes considéré." ...... Bravo

Ben non, justement, la logique et la mathématique utilisent un langage qui ne tolère ni le quiproquo ni l'interprétation ..... encore ,faut il apprendre ce langage, mais c'est tellement plus simple de faire de la réthorique et de la philosophie (de comptoir)!!!!!!!.

vas dire cela a aristote, ou encore a descartes, enfin à toute la philosophie...

quand à ne pas comprendre qu'il puisse y avoir une légère différence entre le fait de ce placer dans tel ou tel parradigme logique, c'est ne rien à voir faire dans ce forum de theorie de la connaissance(espistémologie) qui est une branche de la philosophie.. reprend gallilé et tu vérras que le simple fait de passer du géocentrisme a l'héliocentrisme modifie intégralement la représentation que nous avons du monde...

et c'est exactement là même difficulté pour tout système logique qui sont très très sensible au choix et à la définition des axiomes (qui pour la plupard sont indémontrable, (médiat sans doute pourras te le confirmer meix que moi avec gödell)

ces problèmes fondamentaux, de choix parradigmatique, sont l'éssence de toute philosophie. reprend les système d'annaxagore, annaxagore, démocrite, ou autres comtemporains qui "jugeait" que tout provenait d'un seul element, soit le feu, soit l'eau soit la terre, et avec aristote un de plus l'ether..

je te rappelle aussi qu'aristote est le père de la logique formelle, et que celle-ci n'est pas né de la cuisse de zeus...

le problème ne viens pas du calcul opératoire des prédicats, mais de leur mise en forme, soit du choix des symboles les représentants et de leur agencement...

toute la difficulté de la logique n'est pas de pouvoir faire ses calculs, mais bien dans le fait qu'il en faille passer par une forme "langagière" pour pouvoir etudier la logique... c'est à dire qu'une somme de signe ordonné est nécéssaire pour "matérialiser" les prédicats. et sans ce langage il est difficile de proceder aux annalyses des concepts utilisé eux-même...

soit comme pourrait le wittgenstein, ce que l'on ne peux formaliser(écrire, vocaliser) on ne peu le penser.. toute la difficulté de tot système logique ne viens de ce qui connu, mais de l'ensemble des point formel de logique qui n'ont pas encore été découvert et qui sont pourtant indispensable en tant que limitations, ou opérateurs à la réalisation de système logique qui ne raconte pas n'importe quoi...

faut-il revenir au syllogisme aristotéliciens pour montrer combien un système formel peu "raconter n'importe quoi" si il ne contient pas les limitations nécessaire à son bon usage ...

[Médiat]

et c'est exactement là même difficulté pour tout système logique qui sont très très sensible au choix et à la définition des axiomes (qui pour la plupard sont indémontrable, (médiat sans doute pourras te le confirmer meix que moi avec gödell)

Il va de soi que je ne confirme pas cela puisque c'est faux.
Merci de noter qu'il s'appelle Gödel.

[invite0e4ceef6]

Il est sans doute impossible d'écrire quelque chose de plus faux sur la logique, dont le rôle est justement de montrer comment manipuler les symboles quel que soit le concept ou l'idée que qui que ce soit peut avoir à leur sujet (vous en avez un exemple dans ce fil).

ce devrait-être le cas mediat, et je suis assez d'accord avec vous surle point que vous mentionnez. toutefois la pertinence de la logique reste quand même lié à la connaissance que l'on en a, et si la logique etait parfaite, il n'y aurait point besoin d'y faire recherche, elle serait un donné à de naissance à tout un chacun... ce qui comme vous le percevez sans doute clairement est très loin d'être le cas. le bon usage de la raison, via des formalismes bien tenu, reste tout de même très très sensible aux choix parradigmatique et aux connaissance de l'époque sur la dites logique. aristote à fait beaucoup pour celle-ci, mais il en a fallut du temps pour arriver à toute les logique moderne... le théorème de Gödell que vus apprecier tant ne faisant qu'ajouter une connaissance fondamentale sur tout système formel de l'arithmétique...

il ne faut pas oublier l'historicité des système formel pour en juger des propres difficulté de tout système formel. lié a l'époque donc, auquel notre époque ne saurait échapper.

[Médiat]

toutefois la pertinence de la logique reste quand même lié à la connaissance que l'on en a

C'est aussi le cas de l'orthographe.
FSG est un forum scientifique, quand on y parle de logique, il ne s'agit de votre logique ; vous pourriez au moins savoir qu'il n'y a pas qu'une logique !

[karlp]

Bonjour Médiat

J'ai appris grace à vous à me méfier de tout ce que mes profs de logique ont pu m'enseigner.
J'aurais aimé votre éclairage sur cette définition qui m'avait été donnée d'un axiome (j'ai cru comprendre qu'elle n'était pas correcte): "proposition indémontrable qui fonde un système formel"
Pourriez vous m'indiquer en quoi elle serait incorrecte ?
Avec tous mes remerciements.

[Médiat]

Bonjour karlp,

C'est toujours un plaisir de vous lire :

J'aurais aimé votre éclairage sur cette définition qui m'avait été donnée d'un axiome (j'ai cru comprendre qu'elle n'était pas correcte): "proposition indémontrable qui fonde un système formel"

Je me permets de me citer :

Il est important de noter que dire "Un axiome n'est pas démontrable" n'a pas de sens mathématique, ce qui a du sens c'est de dire qu'une proposition est indécidable dans une théorie donnée.

Un axiome A est toujours démontrable dans une théorie qui contient cet axiome (les autres ne nous intéressent pas) puisque A ==> A.

Je peux préciser mon intervention citée ci-dessus :
Si on a une théorie T (c'est à dire un ensemble de propositions), et si on veut l'axiomatiser, on va choisir un sous-ensemble de T, qui génère T par application des règles d'inférence ; un tel sous ensemble est un système d'axiome pour T (notion de famille génératrice).

Bien sur on peut se poser la question de la minimalité du système d'axiome, mais ce n'est pas très facile à définir proprement, puisque tout système d'axiomes est soit infini (récursif, si on veut pouvoir travailler avec), soit réduit à un seul axiome.

Quand on a un ensemble d'axiomes, on peut aussi se demander s'ils sont bien tous indécidables dans la théorie générée par tous les autres (une espèce de notion de famille libre), mais ce n'est pas un impératif (c'est toujours intéressant de le savoir) ; et c'est cette notion qui me paraît la plus proche de l'affirmation fausse "proposition indémontrable qui fonde un système formel".

[karlp]

(1) Un axiome A est toujours démontrable dans une théorie qui contient cet axiome (les autres ne nous intéressent pas) puisque A ==> A.

.

C'est absolument "merveilleux"

Comment n'y ai -je pensé avant ?

Mais cette poposition : a implique a : quel est son statut ?

[Médiat]

Mais cette poposition : a implique a : quel est son statut ?

C'est une tautologie, c'est à dire une proposition "vraie" dans toutes les théories, quelque soit la proposition a, qui ne découle que de la définition de la logique utilisée.

[karlp]

C'est une tautologie, c'est à dire une proposition "vraie" dans toutes les théories, quelque soit la proposition a, qui ne découle que de la définition de la logique utilisée.

Ouf ! j'ai eu peur de dire une sottise au professeur de math à qui j'ai fait cette réponse (en m'appuyant simplement sur la table de vérité de l'implication).

Nous ne sommes pas parvenus à trouver une définition pleinement satisfaisante de l'axiome (nous nous sommes momentanément arrêtés à "proposition première à partir de laquelle on peut démontrer divers théorèmes", mais nous sommes très ennuyés pour définir "première"): auriez vous une définition (d'axiome) à me proposer ? (sauf si vous l'avez déjà fait : je vais relire vos précédents messages plus attentivement)
Merci encore!

[Médiat]

Un axiome est une proposition faisant partie d'un système d'axiomes (non je ne me moque pas, lisez la suite ).

En fait, être un axiome est une fonction et non une identité : une proposition n'est pas un axiome intrinsèquement, mais elle joue le rôle d'axiome pour telle théorie dans tel système d'axiomes.

Une même proposition peut être un axiome dans un système d'axiome d'une théorie T et un théorème dans un autre système d'axiomes de cette même théorie.

Je ne vois aucune autre définition pertinente que celle de système d'axiomes (famille génératrice, par forcément libre, même si c'est mieux) pour une théorie, un axiome étant tout simplement un élément de ce système d'axiomes (vous voyez, je ne me moquais pas).

[karlp]

Votre explication est parfaitement limpide (j'étais d'ailleurs parvenu à cette conclusion qu'il n'y avait aucune proposition qui puisse être tenue comme étant en elle même un axiome).

Je me retrouve désormais avec cette question : comment définir un "système d'axiome "? (je suppose, peut être à tort, que "système d'axiome" est équivalent à "axiomatique" ?)
Peut-on dire qu'il s'agit d'un ensemble cohérent de propositions premières (terme dont je dois encore essayer de préciser le sens) permettant de déduire d'autres propositions appelées théorèmes ?

[Médiat]

(je suppose, peut être à tort, que "système d'axiome" est équivalent à "axiomatique" ?)

C'est exact.

Peut-on dire qu'il s'agit d'un ensemble cohérent de propositions premières (terme dont je dois encore essayer de préciser le sens) permettant de déduire d'autres propositions appelées théorèmes ?

Tout ensemble de proposition peut être considérée comme une axiomatique, même les ensembles non consistant (pour ZF, par exemple on ne sait pas si l'axiomatique habituellement acceptée est consistante ou non, néanmoins on parle d'axiomatique).

Parmi les propriétés syntaxiques intéressantes d'une axiomatique, ont peut trouver
1) L'axiomatique est cohérente (la théorie générée est Consistante) ou non
2) L'axiomatique est constituées de propositions indépendantes (j'ai déjà parlé de notion de liberté, c'est pareil) ; ce qui est une façon de dire qu'elles sont toutes nécessaires pour la théorie qu'elles génèrent ; on pourrait dire aussi : en retirant une quelconque proposition à l'axiomatique, on ne peut plus démontrer les mêmes théorèmes.

Il y en a d'autres, mais moins fondamentales.

[karlp]

Encore merci pour vos explications Médiat (ce fut hier une joie immense de remettre en question ce que je croyais savoir, et de progresser d'un petit pas).

Je me demandais s'il était possible que les propositions de l'axiomatique d'une théorie T puissent "devenir" les théorèmes d'un autre ensemble de propositions de cette même théorie (ces propositions "passeraient" ainsi du statut de théorème à celui d'axiomes; tandis que les axiomes deviendraient des théorèmes) .

(HS : vos explications me conduisent à supposer une possible analogie entre la création en logique et en mathématiques et la création en musique. Je n'ai pas encore creusé cette idée)

[Médiat]

Je me demandais s'il était possible que les propositions de l'axiomatique d'une théorie T puissent "devenir" les théorèmes d'un autre ensemble de propositions de cette même théorie (ces propositions "passeraient" ainsi du statut de théorème à celui d'axiomes; tandis que les axiomes deviendraient des théorèmes).

Oh !

Mon message #26

Une même proposition peut être un axiome dans un système d'axiome d'une théorie T et un théorème dans un autre système d'axiomes de cette même théorie.

(HS : vos explications me conduisent à supposer une possible analogie entre la création en logique et en mathématiques et la création en musique. Je n'ai pas encore creusé cette idée)

Je vous laisse développer avant de réagir.