Qu'est-ce qu'un nombre ?

[titanic]

Si les nombres étaient "abstraits" des objets auxquels on les fait se rapporter, alors ils seraient inhérents à la nature de ces objets et ainsi on aurait des nombres qui sentent le chou, d'autres la lavande et d'autres encore la menthe ! Le numéro qu'on peint sur une boule du loto est complètement arbitraire. C'est une con-struction, pas une ab-straction. Les nombres rationnels et irrationnels se rapportent à la réalité sensible, mais indirectement par con-struction. Seuls les nombres entiers se rapportent directement à la réalité sensible.
note : plus haut, j'ai oublié de mentionner le zéro.

C’est extraire l’objet de ce qui fait qu’il n’est pas distinct.
C’est l’abstraire (du latin abstrahere , détourner) du réel qui le contient

Le nombre est donc bien une abstraction, distincte du réel, servant à le représenter.

Je dirais plutôt ab-straire = tirer de (d'ou tracteur, tracter ...) et non pas détourner de. Mais peut-être que je confonds avec extraire

[Aigoual]

L'unité ne trouve sa signification que confrontée au pluriel.

Oui, bien sûr.
Mais impossible de concevoir le pluriel si tu n’as pas l’unité.
C’est la démarche cartésienne par excellence :
Je ne peux résoudre la complexité que si je la réduis à ses unités.
Ensuite (mais seulement ensuite) je reconstruis la complexité.

Cependant, tu as raison lorsque tu dis qu’il faut au préalable être en présence de la multitude.
Sans elle, nulle besoin de développer la démarche.

Oui, dès qu'on plaque le "1" sur un objet quelqu'il soit, on conceptualise et donc on "abstrait", mais ici ce n'est pas à proprement parler "ab-straire" mais "con-struire" au sens de "façonner avec".

Hé bien oui, c’est un peu la même remarque :
Je commence par abstraire, pour ensuite construire.

Au sens propre, c’est du boulot de maçon :
Je commence par acquérir les briques, pour ensuite construire le mur.

Qu'on ait un seul objet sensible ou plusieurs, c'est toujours de la conceptualisation au sens de transcription en objets de pensée de phénomènes sensibles.

Oui.
Il ne faut pas tenter de cloisonner le concret et l’abstrait.
En fait, tout commence par une abstraction, y compris le sensible immédiat.
Voir une rose et la définir comme telle, c’est un processus hautement abstrait.
Simplement, ainsi que tu le fais d’ailleurs justement constater, il y a ensuite transformation (tu dis "transcription") de l’abstraction en objet sensible.

Ce nouvel objet est alors prêt pour une nouvelle abstraction, qui elle aussi sera susceptible d’être rapportée à un nouvel objet, et ainsi de suite.

Ainsi que tu le faisais remarquer plus haut, le mathématicien ne fait pas autrement.
A force de manier les inconnues, les fonctions et les équations, elles en deviennent aussi concrètes que la rose pour nous (ou la brique pour le maçon)
Il peut alors passer au niveau d’abstraction supérieur, en reproduction théoriquement sans limite, du même mécanisme de transition par la matérialisation sensible de l’objet.

D’où (si je l’ai bien compris) la remarque de Mathias :

TOUS les nombres sont abstraits, et ils le sont encore plus si on veut qu'ils ne sentent plus le chou.

Pour être à l’aise avec les nombres, il faut "qu’ils sentent le chou", ou autre chose, qu’ils aient une couleur, un poids, une forme, bref, une matière tangible, sensible, "incarnée".

C’est un mécanisme continu, partagé à l’identique par tous les hommes, y compris les non-matheux comme moi. Et c’est heureux. Cela me gênerais de penser que le matheux soit une sorte d’extra-terrestre, ou pire, le résultat d’un accident génétique incompréhensible…

Amicalement,

Aigoual.

[titanic]

Mais les mathématiciens sont tout à leur aise avec des nombres qui ne sentent pas le chou.

[matthias]

Si les nombres étaient "abstraits" des objets auxquels on les fait se rapporter, alors ils seraient inhérents à la nature de ces objets et ainsi on aurait des nombres qui sentent le chou, d'autres la lavande et d'autres encore la menthe !

Justement, c'est pour cela que le nombre ne se rapportant plus à un objet (ne sentant plus le chou) nécessite un niveau d'abstraction supplémentaire.

C'est ce que j'essayais d'expliquer ici:

Il n'est pas si évident que ça de passer de 5 vaches, 5 moutons, 5 cailloux au concept du nombre 5.

Pour être à l’aise avec les nombres, il faut "qu’ils sentent le chou", ou autre chose, qu’ils aient une couleur, un poids, une forme, bref, une matière tangible, sensible, "incarnée".

Une fois le niveau d'abstraction supplémentaire effectué, alors non, on peut très bien être à l'aise avec des nombres désincarnés. La "construction" (et là je rejoins titanic, mais il a fallu beaucoup de travail et d'abstraction pour en arriver là) des entiers naturels et des autres nombres à partir des axiomes de Peano est assez édifiante à ce sujet. Il ne s'agit même plus de savoir ce que peut bien être un nombre (on ne se risque surtout pas à les définir), il s'agit seulement de savoir quels sont leurs propriétés, quels rapports ils entretiennent les uns avec les autres, comment on peut les structurer.

Mais la démarche initiale est bien une abstraction. La construction ne peut venir qu'après.

[matthias]

Voilà deux discussions qui peuvent vous intéresser, avec des nombres qui pour le coup ne sentent plus le chou du tout, surtout quand C.B. s'en mêle:
http://forums.futura-sciences.com/th...322-Peano.html
http://forums.futura-sciences.com/th...-chouette.html

[Aigoual]

Il ne s'agit même plus de savoir ce que peut bien être un nombre (on ne se risque surtout pas à les définir), il s'agit seulement de savoir quels sont leurs propriétés, quels rapports ils entretiennent les uns avec les autres, comment on peut les structurer…

… c’est à dire les manipuler comme des objets concrets, aussi facilement et avec autant d’aisance immédiate et spontanée.
Oui, c’est bien cela que j’ais voulu dire.

Mais la démarche initiale est bien une abstraction. La construction ne peut venir qu'après.

Oui, absolument.
C’est le cap le plus difficile, mais ça vaut largement la peine…

Justement, c'est pour cela que le nombre ne se rapportant plus à un objet (ne sentant plus le chou) nécessite un niveau d'abstraction supplémentaire.

Ici, j’ai donc fait une inversion de compréhension de tes propos, qui a du troubler Titanic.
Mais ce n’est pas grave, il me semble bien qu’on se rejoint quand même.

Amicalement,

Aigoual.

(PS. : je prends le temps de regarder tes liens, mais plus tard...
...vais me coucher, demain je travaille.)

[titanic]

Mais la démarche initiale est bien une abstraction. La construction ne peut venir qu'après.

tout dépend comment tu définis les entiers naturels.
Dans l'axiomatique de Peano, on dispose d'une opération de succession (le +1) et donc on appelle 2 le successeur de 1, qui est lui-même le successeur de 0 (et il y a un axiome qui dit que 0 n'est le successeur d'aucun nombre)..

Salut !
L'axiomatique de Peano ne se préoccupe en effet pas du tout de la nature des nombres !

Ab-straire, ex-traire dérivent de la racine latine trahere traxi tractum = tirer. Ab-straire = tirer de; ex-traire = tirer hors de.
Extraire des pépins d'une orange = retirer les pépins, les séparer réellement de l'orange. Après l'opération d'extraction, on a d'un côté les pépins, de l'autre le reste de l'orange sans les pépins. Abstraire c'est pareil mais seulement par la pensée.

Pour que l'abstraction ait un sens encore faut-il que les pépins existent au préalable dans l'orange ! Abstraire des pépins d'une banane ce n'est pas abstraire, c'est faire travailler son imagination grâce à la mémoire qui conserve les images (idem un cheval avec des ailes ...).

Donc abstraire un nombre d'un objet, ça ne veut rien dire du tout. Si on numérote dix boules du loto de 0 à 9, alors si les nombres étaient inhérents aux boules alors on aurait boule n°1 + boule n° 2 = boule n° 3 ce qui est absurde !

En revanche ce qui est proprement abstrait, en tout début , c'est l'individualité par rapport à la pluralité, c'est cela qui est nombré.

Les numéros qu'on peint sur les boules du loto permettent de repérer les boules les unes par rapport aux autres, mais cela seul qui est "abstrait" parce qu'existant réellement dans l'ensemble des boules, c'est l'individualité des boules dans l'ensemble des boules.

L'ensemble des mesures de la planète qui tourne autour du soleil est un ensemble d'individualités, ordonné, nombré quand on dessine la courbe sur une feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur. On spécifie par là des individualités les unes par rapport aux autres, ce sont les RELATIONS qui sont transcrites par cet artifice de pensée.

Faut voir ...

[titanic]

Euh... il y a deux côtés dans les nombres : un côté dénombrement (i.e relations), et un côté quantité. 1l d'eau + 1l d'eau ça fait deux volumes d'eau et ça pèse deux fois un litre d'eau !

Citation:
Posté par titanic
Mais pour les nombres fractionnaires, 1/2;3/5;7/11 ... cela ne renvoie à rien du tout dans l'expérience sensible



Ho que si !
Je sais très bien ce qu’est un quart de tarte aux pommes…
… surtout si mon voisin à gardé les trois quart restant pour lui !

Il me semble que seuls les nombres entiers servent à quantifier. Encore une fois on peut diviser une tarte en cinq, à vue de nez ou avec un instrument très perfectionné, mais dans les mains on aura toujours des nombres entiers de morçeaux de gâteau. Même si on broie le gâteau, on aura des millions de morçeaux de gâteau donc des nombres entiers de morceaux de gateau (sauf si on passe au dessous du niveau moléculaire mais alors ce ne sera plus du gâteau).

Pour quantifier, n'y a-t-il besoin en définitive que de nombres entiers ? Que veut dire 1 dixième de litre d'eau ? En fin de course, ne ramène-t-on pas tout à l'unité pour quantifier ? Les nombres irrationnels et rationnels servent-ils à quantifier ?
Bonne journée.

[matthias]

Il me semble que seuls les nombres entiers servent à quantifier.

Dit comme ça non, certainement pas. Ou alors les physiciens ont un sérieux problème. Mesurer une longueur, un volume, etc, c'est quantifier.

Pour quantifier, n'y a-t-il besoin en définitive que de nombres entiers ?

Seulement dans la mesure où on peut reconstruire les autres nombres à partir des entiers, mais pas de manière simple loin de là, à moins de se limiter aux rationnels (mais va quantifier le périmètre d'un cercle de rayon 1 unité de longueur avec des rationnels ....).

[titanic]

C'est-à-dire que si on ramène tout corps à son unité indivisible qu'est sa molécule, il suffit de connaître la masse et le volume de ladite molécule pour en déduire la masse et le volume de l'objet, en nombres entiers de la masse ou du volume de cette unité indivisible.

Pour n'importe quelle quantité d'eau (pure) par exemple, on peut toujours (théoriquement) se ramener à la molécule d'eau H2O. Si on a des corps composés, il suffit d'additionner les valeurs respectives des différents composants...Mais il faut compter soigneusement, une à une, toutes les molécules en présence ...

Cela dit, on se représente bien ce qu'est 1/2 litre de lait ou d'eau, mais le "1/2" c'est en quelque sorte une "formule" comparable à n(n+1)/2 pour la somme des n premiers entiers. C'est un artifice de pensée con-struit par l'intelligence humaine pour simplifier les choses, et parvenir par ce biais rapidement à des résultats impossibles à obtenir "à la main".

Voir en chimie les règles de trois qu'on fait incessamment en utilisant le volume molaire ou/et le nombre d'Avogadro : on a là des calculs tout à fait exacts, grâce à des outils mathématiques performants. Mais ce ne sont que des outils, seuls sont véritables les nombres entiers (c'est pour cela qu'on les appelle "naturels" d'ailleurs ) ...

Bonne soirée.

[matthias]

J'abandonne.

[invité576543]

Bonjour,

ab-straire, c'est séparer (tirer à soi en arrachant)

Abstraire au sens philo, c'est séparer ce qui est pertinent et ce qui n'est pas pertinent. (Et garder ce qui est pertinent.)

Il me semble que les nombres entiers 2 et ensuite, correspondent à une construction et une abstraction simultanée. J'explique. Un nombre entier est essentiellement une classe, c'est à dire une propriété commune à plusieurs choses. Le processus mental demande à la fois:

- d'attribuer une propriété par abstraction: 5 choux, j'enlève la notion de chou, et il me reste 5;

- de construire une relation entre 5 choux, 5 moutons et 5 pierres, pour reconnaître la propriété obtenue par abstraction comme la même.

Il me semble qu'on ne peut pas faire l'un sans l'autre, ou l'un avant l'autre. Si on n'avait de dénombrables que des choux, on s'arrèterait à des nombres qui sentent le choux. Si on était incapable d'abstraire la notion de choux dans cinq choux, pas de notion de nombre.

Un parallèle peut être fait avec les symétries. La notion de symétrie miroir est aussi une abstraction (la forme) et une construction (différents objets présentent la même symétrie).

Les nombres gardent leurs deux aspects. Une propriété "être divisible par 2" est une propriété de 6 moutons, 6 chèvres ou 6 choux, mais comme on la corrèle avec le nombre, par abstraction elle devient une propriété du nombre. On peut ensuite construire des propriétés du nombre n en tant qu'abstraction, propriétés qui se vérifient alors comme propriétés de n objets, quel que soit le type d'objet.

L'apprentissage très tôt de l'arithmétique brouille, à mon avis, pas mal l'intuition "naturelle". C'est visible dans au moins deux cas, le 0-nombre, et la distinction cardinal/ordinal.

L'abstraction/construction ci-dessus est celle du cardinal. Elle a donné deux, trois, quatre, cinq, ... Il y a une autre abstraction/construction de nombres, celle des ordinaux, qui a donné prime/primaire/premier, second/seconde/secondaire, tiers/tierce, quart/quarte, quint/quinte, ... qui ont été remplacés ensuite dans le langage, par influence des cardinaux et mélange conceptuel qui n'existait pas avant, par deuxième, troisième, quatrième, cinquième, ... (Les anciens termes perdurent dans tiers-état (troisième état), tiers-monde et quart-monde, tiers exclu, Charles Quint, des prénoms comme Quentin (le cinquième), Sixte ou Octave.)

Le 0-nombre est une construction, un cardinal qui a) ne correspond à rien et b) correspond à rien. N'ayant pas de sens, n'étant pas attribuable à quoi que ce soit de concret, il n'apparaît que tardivement d'abord comme signe nécessaire dans l'écriture positionnelle (d'où son nom, zéro est "chiffre", via zefiro, en italien), il est appris maintenant très tôt comme nombre par l'apprentissage de l'arithmétique, en contradiction non perçue avec l'intuition. Sans éducation "arithmétique", donner un nombre à rien n'a pas de sens, le processus abstraction/construction décrit au début étant impossible.

De manière intéressante, le mélange entre 0 et ordinaux est une source de confusion bien montrée dans les langages informatiques, ou dans les ascenseurs! Le premier entier est 0 selon la vision moderne, alors que le premier entier était 1 selon la vision ancienne. Noter 0 le premier élément d'une suite, 1 le deuxième, 2 le troisième, est ce qui est le plus cohérent d'un point de vue "arithmétique construite", mais choque l'intuition (via le vocabulaire). Du coup certains langages informatiques démarrent les indices de tableau à 0, d'autres à 1. De même les ascenseurs en France démarre à 0 (ou plus couramment note RDC) le point le plus bas, et 1 le premier étage; d'autres pays note 1 le RDC, et 2 le premier étage...

J'ai omis le cardinal 1, dont le statut est intermédiaire, et qui a fasciné les philosophes médiévaux. Il est construit par nécessité une fois qu'on a les nombres 2, 3, 4, ... Son nom (un, unus) sert d'article, avec la nuance "quelconque", et d'opposition au pluriel (à ce qui a un nombre!). Comme construction, il ne peut pas procéder de la même manière que 2, 3 ou les autres nombres, parce que abstraire "chou" de un chou, il ne reste rien. Le concept de cardinal 1 découle des cardinaux supérieurs, pas d'une propriété commune de tout ce qui est seul, car chaque chose est seule: la propriété commune est triviale, sans intérêt. L'isolement se dénote par les mots "seul", "seul" opposé à plusieurs, ou "singulier", le singulier contre le pluriel. 1 contre tous les autres nombres...

Cordialement,

[titanic]

Bonjour,

Il semble qu'un nombre qui dénombre et qui situe les objets les uns par rapport aux autres dans l'espace et dans le temps (boules du loto), ça se conçoit aisément. Mais un nombre qui quantifie , c'est plus difficile à comprendre . J'ai beau avoir des nombres entiers de volumes ou de masses indivisibles (i.e moléculaires), si les volumes et les masses indivisibles sont des fractions de l'unité de mesure choisie (en l'occurence le kg et le m^3), alors on aura des nombres rationnels ou irrationnels en fin de course ...Et ça se complique avec des corps composés (ce qui est le cas généralement)

Autre remarque :abstraction n'est pas déduction. L'ellipse de la planète qui tourne autour du soleil est une déduction, pas une abstraction. Elle n'existe que dans l'esprit du mathématicien et dans la courbe dessinée sur une feuille de papier ou sur l'écran d'un ordinateur. Mais elle n'existe pas actuellement, et elle n'a jamais existé dans le passé. Cette déduction débouche sur une "réalité" qui n'existe pas !

Comme disait Augustin (à propos du temps) : "si on ne me le demande pas je crois savoir ce qu'est un nombre. Si on me le demande, je ne le sais plus." ...

[invité576543]

Une citation, en entracte à cette belle discussion...


"Le physicien traite les problème du véhicule à une roue (la brouette), à deux roues (tilbury ou bicyclette), à trois, à quatre roues.
Le mathématicien traite le problème général du véhicule à n roues, n étant entier ou fractionnaire, positif ou négatif, réel ou imaginaire."

(Bouasse cité par Duffieux, Dissertations pour Monique)

[Ibn Idris]

Définition claire, concise, explicite :

Un nombre, c'est une quantité.
A ne pas confondre avec un chiffre : un chiffre est un symbole qui sert à écrire les nombres.


Ayoub.