qu'est-ce qu'un nombre hypercomplexe?

[ash117]

Bonjour, je suis en term S (bientot la fin d'ailleurs) et j'ai découvert sur internet qu'il existe des nombres hypercomplexes. Si quelqu'un pouvait me proposer une définition, ça m'interresserait. ( c'est vrai, à mon niveau ça va pas me servir, mais je suis d'un naturel curieux)

note: j'ai recherché sur wikipedia, mais la définition est assez ...indigeste, est-ce si compliqué que cela?

[Ledescat]

Bonjour.
Vu le succès de la construction d'une structure de corps sur R², c'est-à-dire les complexes, permettant de faciliter grandement beaucoup de raisonnements géométriques notamment, on s'est dit: et bien pourquoi pas construire une telle structure de corps sur R^3,R^4, etc...
Or, il s'avère que R^3 ne peut admettre une telle structure (ceci amènerait après de multiples déductions à l'existence d'un réel dont le carré serait strictement négatif...).
Cependant, Hamilton a réussi à mettre une structure de corps sur R^4, appelée les quaternions, mais là, ça devient non commutatif...puis on a construit les octonions sur R^8, mais plus on monte , plus ça devient l'horreur: pas de comutativité surtout!
Voilà .

[Ksilver]

Par exemple, pour construire les complexe, tu rajoute un nombre i telle que i²=-1

pour les Quaternions, ont rajoute i,j et k telle que

i²=k²=j²=ijk=-1

et :
ij=k
ji=-k
jk=i
kj=-i
ki=j
ik=-j

[Gwyddon]

Bonjour,

Voici ce qui motive aussi le nom d'hypercomplexe :

Si on prend les notations de KSilver, on peut écrire un quaternion sous la forme a = A+ k B où A et B sont complexes (A=a+ib, B=a'+ib' ; a,b,a',b' réels)

D'où le nom

[ash117]

si j'ai bien compris, c'est l'application des complexes dans n dimensions.(n>2)
cela veut -il dire que l'on pourrait avoir pour les quaternions un repere a 4 dimensions?!
qu'aurait on alors: un axe des réels et 3 axes des imaginaires?

j'ai du mal à concevoir une perte de la commutativité....mais bon, faut se dire qu'on est dans les imaginaires.

Mais surtout, qu'elles peuvent être les applications concretes de ces opérations?

[Ksilver]

pour les sédenions et les Octonions (les hypercomplexe de dimension 8 et 16) je doute tres sérieusement qu'il y en ai ^^


pour les quaternion il y en a quelque unes :

- deux ou trois "bricole" en arithmetique... notement le th des quatres caré (tous nombre ce décompose comme une somme de quatre caré), ainsi que le nombre de décomposition d'un nombre en somme de 4 caré s'obtiennes assez bien en manipulant les quaternion... c'est histoiquement pour cela qu'Hamilton les a inventé.


-les quaternions servent en géométrie (enfin... plutot en informatique... typiquement pour les moteur 3d) pour coder des rotation. en effet un quaternion "normé" (de norme 1) represente une rotation de l'espace. (et la multiplication des quaternion corespond alors a la composition des rotation...)


Sinon, d'autre type d'Hypercomplexe aurait des applications en physique (mais la a part le coup des complexe fendu qui reprsente bien les transformation relativiste a une dimension... je connais vraiment rien sur la question)

[Le_Ced]

je suis pas très calé en quaternion mais il me semble, d'après les dire d'un de mes profs de physique, que les quaternions ont aussi été utilisés par Maxwell pour formuler ces équations de l'électromagnétisme, avant que tout le formalisme de l'analyse vectoriel soit mis en place.
Corrigez moi si je dis une trop grosse bétise

[Ksilver]

aussi ouai, les quaternion permettent aussi de "remplacer" les opération vectorielle classique, et de retrouver un peu plus facilement certainnes formulle d'analyse vectorielle (genre le triple produit vectorielle)


enfait, on represente souvent les quaternion comme la somme d'un réel est d'un vecteur (genre a+ib+jc+kd, est assimilé a a+V ou V est le vecteur de coordoné (b,c,d) )

et dans ce cas le produit des quaternion est telle que si U et V sont des vecteur alors UV =-U.V+U^V

(ou ^ represente le produit vectorielle, et . le produit scalaire)
et ca fait apparaitre le produit vectorielle et le produit scalaire.

[Ledescat]

cela veut -il dire que l'on pourrait avoir pour les quaternions un repere a 4 dimensions?!
qu'aurait on alors: un axe des réels et 3 axes des imaginaires?

Là ton problème c'est la représentation d'espaces de dimension supérieure à 3. Evite d'essayer de te les représenter dans ta tête, car tu vas avoir une sacée migraine . Mais considère qu'ils existent bel et bien: espace-temps de dimension 4; manipuler un torseur c'est manipuler 6 dimensions...bref!

[ash117]

merci beaucoup pour ces précisions...je crois que je vais attendre un peu avant d'attaquer les hypercomplexes...mais personellement, ça me donne vraiment envie de bosser pendant les vacances.
Soit dit en passant, je trouve ça géniale d'avoir des cours et des exo de maths sur le sites, je sens que je vais me régaler.
mais bon, le bac avant tout (......et tout aprés le bac!)

[memphisto]

puis on a construit les octonions sur R^8, mais plus on monte , plus ça devient l'horreur: pas de comutativité surtout!
Voilà .

bonjour, je rectifie, pour les octonions, on n'a déja plus la commutativité, puisqu'ils contiennent les quaternions qui ne sont pas commutatifs; mais on perd surtout l'associativité. Voici un lien:
http://www.ilemaths.net/encyclopedie/Octonion.html

[Deeprod]

Je vient de finir mon TIPE justement sur les quaternions "hypercomplex" de dimension 4 pour faire simple.
Il faut d'abord que tu es bien compris l'existence des complexes, cad non pas "ben j'ai i²=-1, c'est le nombre imaginaire, on le connais pas car on l'imagine, car un carré négatif sa existe pooo"

L'ensemble des complexes n'est rien d'autre que l'ensemble R² muni d'operation x et + "spéciales" (pas vraiment pour +). Qui fait de lui un corps.
Ton niveau de terminale ne suffit pas pour comprendre les "hypercomplexes", tu as besoin de la notion de structure (ce qui ne tempeche pas d'aller jeter un oeil sur ce terme)

Une fois que tu auras compris "qu'est-ce que C", tu comprendra IMMEDIATEMENT ce que sont les hypercomplexes.
R^4 muni d'operations x et + "spéciales" pour les quaternions etc...

Après, l'histoire de perdre la commutativité est essentiel. Tu as des ensembles plus vaste, tu peut le faire grace à une perte d'information. Pour les complexes, tu as perdu l'ordre par rapport au réel. Tu perd de l'information au fur et a mesure que la dimension augmente.

On peut considerer qu'après les quaternions, on ne parle plus de nombre (deja les quaternions c plus difficile). Car tu ne peux decement multiplier 3 octonions (non associativité).

Voila

[Deeprod]

Pour ce qui est des quaternions, une application "concrete" est la description des rotations. Demande a un infographiste, en ce qui concerne l'imagerie 3D, si il connait les quaternions
Il utilise que ça, c'est le plus simple pour effectuer des rotations dans l'espace

[ash117]

t'as raison Deeprod, chaque chose en son temps, mais je suis curieux.
Je vais m'interresser à ces histoires de corps, de théorie des ensembles et tout ce qui va avec pendant les vacances.
Merci pour le lien memphisto, ma base de données de math grossit chaque jour sur mon pc, ça fait plaisir, et je vais avoir de quoi m'occuper!

je trouve ça dommage que l'on introduisent pas ces notions de bases dés le début.....en fait, pourquoi ne commence t-on pas par le début?(les ensembles n'étant abordé qu'en seconde!)
Est-ce si compliqué?( je ne parle plus spécialement des hypercomplexes)

[Ksilver]

"Il utilise que ça, c'est le plus simple pour effectuer des rotations dans l'espace"


ouai enfin c'est pas si universelle que ca quand meme. disons que c'est l'une des grandes facons de faire.