Bonjour, je suis en term S (bientot la fin d'ailleurs) et j'ai découvert sur internet qu'il existe des nombres hypercomplexes. Si quelqu'un pouvait me proposer une définition, ça m'interresserait. ( c'est vrai, à mon niveau ça va pas me servir, mais je suis d'un naturel curieux)
note: j'ai recherché sur wikipedia, mais la définition est assez ...indigeste, est-ce si compliqué que cela?
Bonjour.
Vu le succès de la construction d'une structure de corps sur R², c'est-à-dire les complexes, permettant de faciliter grandement beaucoup de raisonnements géométriques notamment, on s'est dit: et bien pourquoi pas construire une telle structure de corps sur R^3,R^4, etc...
Or, il s'avère que R^3 ne peut admettre une telle structure (ceci amènerait après de multiples déductions à l'existence d'un réel dont le carré serait strictement négatif...).
Cependant, Hamilton a réussi à mettre une structure de corps sur R^4, appelée les quaternions, mais là, ça devient non commutatif...puis on a construit les octonions sur R^8, mais plus on monte , plus ça devient l'horreur: pas de comutativité surtout!
Voilà.
Par exemple, pour construire les complexe, tu rajoute un nombre i telle que i²=-1
pour les Quaternions, ont rajoute i,j et k telle que
i²=k²=j²=ijk=-1
et :
ij=k
ji=-k
jk=i
kj=-i
ki=j
ik=-j
Bonjour,
Voici ce qui motive aussi le nom d'hypercomplexe :
Si on prend les notations de KSilver, on peut écrire un quaternion sous la forme a = A+ k B où A et B sont complexes (A=a+ib, B=a'+ib' ; a,b,a',b' réels)
D'où le nom
si j'ai bien compris, c'est l'application des complexes dans n dimensions.(n>2)
cela veut -il dire que l'on pourrait avoir pour les quaternions un repere a 4 dimensions?!
qu'aurait on alors: un axe des réels et 3 axes des imaginaires?
j'ai du mal à concevoir une perte de la commutativité....mais bon, faut se dire qu'on est dans les imaginaires.
Mais surtout, qu'elles peuvent être les applications concretes de ces opérations?
pour les sédenions et les Octonions (les hypercomplexe de dimension 8 et 16) je doute tres sérieusement qu'il y en ai ^^
pour les quaternion il y en a quelque unes :
- deux ou trois "bricole" en arithmetique... notement le th des quatres caré (tous nombre ce décompose comme une somme de quatre caré), ainsi que le nombre de décomposition d'un nombre en somme de 4 caré s'obtiennes assez bien en manipulant les quaternion... c'est histoiquement pour cela qu'Hamilton les a inventé.
-les quaternions servent en géométrie (enfin... plutot en informatique... typiquement pour les moteur 3d) pour coder des rotation. en effet un quaternion "normé" (de norme 1) represente une rotation de l'espace. (et la multiplication des quaternion corespond alors a la composition des rotation...)
Sinon, d'autre type d'Hypercomplexe aurait des applications en physique (mais la a part le coup des complexe fendu qui reprsente bien les transformation relativiste a une dimension... je connais vraiment rien sur la question)
je suis pas très calé en quaternion mais il me semble, d'après les dire d'un de mes profs de physique, que les quaternions ont aussi été utilisés par Maxwell pour formuler ces équations de l'électromagnétisme, avant que tout le formalisme de l'analyse vectoriel soit mis en place.
Corrigez moi si je dis une trop grosse bétise
aussi ouai, les quaternion permettent aussi de "remplacer" les opération vectorielle classique, et de retrouver un peu plus facilement certainnes formulle d'analyse vectorielle (genre le triple produit vectorielle)
enfait, on represente souvent les quaternion comme la somme d'un réel est d'un vecteur (genre a+ib+jc+kd, est assimilé a a+V ou V est le vecteur de coordoné (b,c,d) )
et dans ce cas le produit des quaternion est telle que si U et V sont des vecteur alors UV =-U.V+U^V
(ou ^ represente le produit vectorielle, et . le produit scalaire)
et ca fait apparaitre le produit vectorielle et le produit scalaire.
Là ton problème c'est la représentation d'espaces de dimension supérieure à 3. Evite d'essayer de te les représenter dans ta tête, car tu vas avoir une sacée migraineEnvoyé par ash117
merci beaucoup pour ces précisions...je crois que je vais attendre un peu avant d'attaquer les hypercomplexes...mais personellement, ça me donne vraiment envie de bosser pendant les vacances.
Soit dit en passant, je trouve ça géniale d'avoir des cours et des exo de maths sur le sites, je sens que je vais me régaler.
mais bon, le bac avant tout (......et tout aprés le bac!)
bonjour, je rectifie, pour les octonions, on n'a déja plus la commutativité, puisqu'ils contiennent les quaternions qui ne sont pas commutatifs; mais on perd surtout l'associativité. Voici un lien:puis on a construit les octonions sur R^8, mais plus on monte , plus ça devient l'horreur: pas de comutativité surtout!
Voilà
http://www.ilemaths.net/encyclopedie/Octonion.html
Je vient de finir mon TIPE justement sur les quaternions "hypercomplex" de dimension 4 pour faire simple.
Il faut d'abord que tu es bien compris l'existence des complexes, cad non pas "ben j'ai i²=-1, c'est le nombre imaginaire, on le connais pas car on l'imagine, car un carré négatif sa existe pooo"
L'ensemble des complexes n'est rien d'autre que l'ensemble R² muni d'operation x et + "spéciales" (pas vraiment pour +). Qui fait de lui un corps.
Ton niveau de terminale ne suffit pas pour comprendre les "hypercomplexes", tu as besoin de la notion de structure (ce qui ne tempeche pas d'aller jeter un oeil sur ce terme)
Une fois que tu auras compris "qu'est-ce que C", tu comprendra IMMEDIATEMENT ce que sont les hypercomplexes.
R^4 muni d'operations x et + "spéciales" pour les quaternions etc...
Après, l'histoire de perdre la commutativité est essentiel. Tu as des ensembles plus vaste, tu peut le faire grace à une perte d'information. Pour les complexes, tu as perdu l'ordre par rapport au réel. Tu perd de l'information au fur et a mesure que la dimension augmente.
On peut considerer qu'après les quaternions, on ne parle plus de nombre (deja les quaternions c plus difficile). Car tu ne peux decement multiplier 3 octonions (non associativité).
Voila
Pour ce qui est des quaternions, une application "concrete" est la description des rotations. Demande a un infographiste, en ce qui concerne l'imagerie 3D, si il connait les quaternions
Il utilise que ça, c'est le plus simple pour effectuer des rotations dans l'espace
t'as raison Deeprod, chaque chose en son temps, mais je suis curieux.
Je vais m'interresser à ces histoires de corps, de théorie des ensembles et tout ce qui va avec pendant les vacances.
Merci pour le lien memphisto, ma base de données de math grossit chaque jour sur mon pc, ça fait plaisir, et je vais avoir de quoi m'occuper!
je trouve ça dommage que l'on introduisent pas ces notions de bases dés le début.....en fait, pourquoi ne commence t-on pas par le début?(les ensembles n'étant abordé qu'en seconde!)
Est-ce si compliqué?( je ne parle plus spécialement des hypercomplexes)
"Il utilise que ça, c'est le plus simple pour effectuer des rotations dans l'espace"
ouai enfin c'est pas si universelle que ca quand meme. disons que c'est l'une des grandes facons de faire.
mais en fait, vous êtes à quel stade dans vos études?
si tu parle des notions d'algèbre (corps, anneaux et cie ? ) ce n'est pas du tous compliqué, c'est meme tres simple (en réalité, c'est juste du vocabulaire tous sa : on donne des nom savant a des choses que tu connais déja bien), mais c'est un peu trop abstrait, et il faut le reconaitre, trop peu utile hors des domaine scientifique pour etre enseigné en lycée.
Edit : "mais en fait, vous êtes à quel stade dans vos études?" >>> je termine mon année de math spé
M1 de physique fonda, post- prépa MP.
oui oui, c'est ...surement trés simple.....non mais garde en tête que je ne suis qu'en terminale, alors les anneaux.....bon, j'avoue avoir déjà vu ça, mais, là aussi je sais pas ce que c'est, et cela mériterai sans doute un autre topic pour plus tard
d'accord, bon, autrement dit, je suis un nain au pays des géants (perso une prepa me fait un peu peur et je m'orienterai plus vars une pc, mais bon c'est pas le sujet).Est-ce interressant les maths à ton niveau Gwyddon? je veux dire, est-ce que tu arrêtes un peu d'apprendre pour faire tes propres recherches?
(c'est en fait un peu ça l'intérêt des maths, de pouvoir controler tout ce qui nous entour, ou pour citer Descartes " pour devenir comme maître et possesseur de la nature")
T'inquiètes pas, ça va venir
Je suis orienté physique théorique, donc je fais tout plein de mathsEst-ce interressant les maths à ton niveau Gwyddon? je veux dire, est-ce que tu arrêtes un peu d'apprendre pour faire tes propres recherches?
Donc oui c'est intéressant
et, puisque c'est un peu le sujet, les hypercomplexes te servent?
ou en y allant directement au fait:tu vas faire quoi plus tard avec toutes ces connaissances.
j'ai encor du mal à voir l'utilité de ce genre de choses. mais si je demande à mon prof de me parler des hypercomplexes, il va me prendre pour un fou ( je vais peut être le seul de toute sa carriere à lui demandé!)
Salut,
Tout d'abord, en soit les connaissances m'intéressent, ça c'est ma curiosité de scientifique
Ensuite, pour mes recherches je ne me sers pas vraiment des quaternions (même si je pourrais, mais bon...)
Je me sers d'espaces de Hilbert, d'espaces de Minkowski, de géométrie algébrique, d'analyse complexe, d'intégrales fonctionnelles, de calcul tensoriel, spinoriel, de théorie des groupes, etc...
(oui bonjour, désolé,j'ai pas encore acquis les réflexes sur les forums, c'est mon premier)
ok, c'est bon, j'abdique,....eh ba, il ya encor du chemin avant d'y arriver.
Mais j'adore ça, alors il va falloir se jeter dans le bain.
Sur ce, je vous dit bonne nuit, j'ai justement 2 heures de maths demain matin.
et merci à tous pour toutes ces précisions, à plus tard!!!!
Normalok, c'est bon, j'abdique,
Imagine toi 4 à 5 ans plus tôt, quelles connaissances avais-tu en maths et en physique ?
Bonne nuit à toi (moi c'est le jourMais j'adore ça, alors il va falloir se jeter dans le bain.
Sur ce, je vous dit bonne nuit, j'ai justement 2 heures de maths demain matin.
et merci à tous pour toutes ces précisions, à plus tard!!!!)
ah ben un ptit bonjour aux californiens du forum alors ^^ ici c'est le milieu de la nuit
ash117, il y a déja de nombreuses choses à savoir sur les nombres complexes meme a ton niveau, et meme si c'est bien d'etre curieux et intéressé des choses plus complexes encore, une bonne compréhension des nombreuses propriétés des complexes permettent de comprendre l'essence de leur généralisations (aux quaternions, octavions et meme d'autre structures algébriques).
J'ai déjà oublié ce qu'il en est précisément.
Mais il me semble que les quaternions permettent d'écrire les équations de Dirac (Electron relativiste) de façon compacte, non ?
Une confirmation dans le public ?
oui et non, je nuancerais un peu.. disons que c'est un peu la specificité des maths, on part de choses un peu disparates, et c'est seulement apres qu'on se rend compte que des choses qu'on pensait tres differentes peuvent en fait se decrire de maniere tres similaire... et on est tenté de se dire alors "ah, mais c'etait juste ca ?"
effectivement, on aurait envie de partir du general, des structures de telle sore que tout ce qu'on apprend vienne de quelque part et ne semble pas parachuté.
seulement, ce que tu gagnes en elegance et en simplicité, tu le paie par un niveau d'abstraction élevé. et tu integre bien ce niveau d'abstraction justement parce que tu as deja vu des "concretisation" de ces structures, qui du coup te sont familiere et t'aident a te representer les choses.
partir de la base, de la theore "abstraite" des ensembles pour en deriver tout le reste, c'etait a peu de choses pres l'intention des maths modernes, et quand on comprend bien ces notions on comprend que ca partiat d'une intention louable (meme si c'etait quand meme poussé a la caricature).
donc finalement, meme si le general et l'abstrait rend le cas particulier limpide et evident, il est quand meme souvent necessaire de commencer de maniere un peu rebarbative avec le particulier.
mais c'est vrai qu'une fois qu'on a gouté au confort de travailler avec des structures, et compris un peu en profondeur la puissance de la notion d'homomorphisme entre ces structures, on touche vraiment a quelque chose de fascinant..... et on a envie d'en faire profiter son semblable
pour repondre a l'une de tes questions, oui d'une certaine maniere c'est comme si on avait 3 axes imaginaires et 1 reel. mais ca ne permet pas une generalisation en dimension quelquonque, en gros a cause du fait que la possibilité de pouvoir diviser un element par un autre est une chose "rare".
homomorphisme, c'est par exemple une application de R dans R
comme une fonction définie sur R prenant ses valeurs dans R? c 'est bien ça?
(pour les question ..euh.....tiens oui, j'y pense, qu'est-ce qu'une fonction injective?)
non, c'est pas ca. en fait, une grande partie des maths (celles qui m'interressent
par exemple, un ensemble est un groupe, s'il y a dedans quelque chose qui ressemble a l'addition. et une application f entre 2 groupes G et G' est un homomorphisme si f(a+b)=f(a)+f(b).
dans un corps, il ya une addition et une multiplication (en gros....) donc un homomrphisme entre des corps devrait verifier en plus f(a*b)=f(a)*f(b)
et ainsi de suite. donc ca permet de se "ballader" entre ces ensembles, de faire des calculs dans un, puis de les ramener dans un autre, etc....
et une application injective, c'est simplement une application qui n'envoie jamais 2 elements differents sur le meme element. ce qu'on formalise par :
si f est definie de E dans F :
pour tout x,y de E, si f(x)=f(y), alors x=y
