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Qu'est-ce qu'un nombre ?



  1. #1
    Deeprod

    Qu'est-ce qu'un nombre ?


    ------

    Bonjour à vous...

    Je ne sais pas si je dois rougir ou non de poser une telle question, mais je me posais la question à l'instant. Si un jour on me demande : "Qu'est-ce qu'un nombre", j'ai bien peur de ne pas savoir quoi répondre.

    Alors je vous le demande, comment définis t'on un nombre ?

    -----

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  3. #2
    meriadec17

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    une suite de chiffres fini ou infinie, classifiable en plusieurs ensembles (entiers rationnels irrationnels etc), ne pas oublier de parler de PI dt la connaissance de 11 décimales sufit a se poser sur la lune, du nombre d'Euler ou de racine de 2. Enfin un film qui te plairait: PI de Daren Aronofsky.
    ciao

  4. #3
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    ca n'est pas une question simple, au contraire...

    en fait, au depart on a les entiers : les entiers servent a compter, a denombrer des elements... donc un entier c'est la propriete commune de tous les ensembles qu'on peut denombrer avec cet entiers. pour ca on construit des ensembles "etalon"

    on part comme ca pour simplifier :

    - on definit 0 comme etant le nombre d'element de l'ensemble vide :{}

    - on definit 1 comme etant le nombre d'element de l'ensemble qui contient 0 {0}

    - on definit 2 comme etant le nombre d'element de l'ensemble qui contient 0 et 1 {0,1}

    - et ainsi de suite. ensuite, tu remarques que si 2 ensembles ont le meme nombre d'element on peut associer ces elements en couple, par exemple {a,b,c} et {0,1,2}

    a <-> 0
    b <-> 1
    c <-> 2

    donc on peut savoir si 2 ensembles ont le meme nombre d'elements sans avoir a les compter d'abord...
    donc on peut classer, trier, regrouper les ensemble suivant leur nombre d'element. et un entier c'est ce qui represente une de ces "classe".

    a partir des entiers, on fabrique les rationnels, les fractions comme des couples d'entier en enlevant les doublons...

    ensuite, les reels sont construits comme les limites des suites de cauchy de rationnels, la c'est peut etre un peu plus coton
    Dernière modification par jobherzt ; 16/04/2007 à 19h47.

  5. #4
    Ledescat

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Bonsoir.
    Oui,la construction des nombres a vite été indispensable à l'homme.
    Comment qualifier le fait d'avoir pêché "?" poissons.
    Sont arrivés naturellement les entiers naturels avec ses lois naturelles.
    Mais alors, pourquoi 3-4 n'existe-t-il pas? Ce serait bien pratique d'introduire (-1) pour faciliter les calculs, et ne pas se poser constemment la question du résultat d'une soutraction. Sont nés les entiers relatifs.
    Mais, 2x=3 n'admet alors pas de solutions... donc on a introduit les rationnels.
    Que vaut la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1? ou la circonférence d'un cercle de diamètre 1 ?
    Les rationnels ont trouvé leurs limites, d'où la création (plus compliquée) des réels.
    Puis les complexes, quaternions, octonions etc...

    Les nombres sont donc le support de base de tout raisonnement absractif, et leur nature évolue en fonction des besoins: a-t-on besoin de connaître les rationnels lorsque l'on compte le nombre d'élèves présents? ...
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    Deeprod

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Ok, en fait, vous m'avez expliqué comment en partant des entiers, on aboutit à Z,Q,R,C,H,0,S etc..

    Donc "pour faire simple", un nombre est donc un élement d'un des ensembles cité plus haut ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    je t'ai meme expliqué comment on partait de rien pour construire les entiers et oui, un nombre c'est en gros un element d'un de ces ensemble, ou meme plus simplement un element du plus gros de ces ensembles puisque il inclut les autres. tout depend de l'endroit ou tu t'arretes... pour la "vie courante", on peut considerer que "les nombres" sont les nombres reels, ou pour chipoter un peu on peut dire que ce sont les "nombres connaissables", qui sont beaucoup moins nombreux (en fait, l'infini des nombres connaissables est le "meme" que l'infini des nombres entiers, ce qui n'est pas le cas des reels... je ne sais pas quel est ton njiveau en math, mais formellement l'ensemble des nombres connaissables est denombrable).

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  10. #7
    Deeprod

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Je suis actuellement en première année de Maths sup MPSI. En fait je connaissais l'histoire des nombres de N à C (voir H que je traite en TIPE). Mais j'ignorais la construction de N comme tu la décrite précedement.

    En fait, je m'attendais à une définition plus "classique" au départ, du genre : "On appelle "nombre" tout ...". D'ou ma deuxième intervention.

    Mais j'y vois plus claire désomais, merci pour vos interventions. (Sinon mon niveau suffit pour comprendre le post précedent)

  11. #8
    fderwelt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Bonjour,

    En fait, tout le monde est d'accord pour dire que les éléments de N, Z, Q, R et C sont des nombres. Après... je crois me souvenir qu'on appelle "corps de nombres" toute extension finie du corps Q (donc en particulier R ou C), mais il y en a d'autres. On parle par exemple de nombres p-adiques (p entier naturel premier) et c'est vrai qu'ils ne se comportent pas très différemment des réels, mais ils sont beaucoup moins connus, et dans un cas comme celui-ci le mot "nombre" passe facilement pour un abus de langage. Alors, moralité?

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  12. #9
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    ok, donc du coup je peux employer un langage plus technique :

    l'entier n+1 est le cardinal de l'ensemble {0,..,n}. remarque que du coup il n'y a pas de serpent qui se mord la queue, tout est bien defini.. sauf la notion de cardinal !!! on ne peut pas parler du "nombre" d'element d'un ensemble si on cherche justement a construire les nombres !! pour sortir de ce cercle vicieux, on definit une relation d'equivalence sur la classe des ensembles finis, 2 ensembles etant equivalents s'ils sont en bijection (et donc, meme si on n'a pas le droit de le dire, s'ils ont meme nombre d'elements). la notion de bijection peut se definir sans faire appel au nombre d'element, donc tout marche bien.

    du coup, les entiers sont definis comme etant les representants des classes d'equivalences pour cette relation.

    pour plus de detail :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._des_ensembles
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_ordinal

  13. #10
    Ksilver

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Sachant qu'il existe d'autre facons de construire N. l'important est en fait juste qu'il vérifie les axiomes de base de N (principalement le principe de récurence, qui est la propriété fondamental de N...)

  14. #11
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    effectivement, oui, l'axiomatique de peano:

    tu peux regarder la : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

    disons que la construction precedente permet d'inclure l'artihmetique dans le cadre plus general de la theorie des ensembles. par exemple, je ne sais pas si on peut construire les rationnels et les reels a partir de l'arithmetique de peano.. mais je ne pense pas.

  15. #12
    Gre

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    [...]par exemple, je ne sais pas si on peut construire les rationnels et les reels a partir de l'arithmetique de peano.. mais je ne pense pas.
    On le peut. La démonstration est très simple: à partir de l'arithmétique de Peano tu peux coder toute formule de logique du calcul des prédicats du premier ordre. Et tu peux faire des déductions dessus. C'est le principe du théorème d'incomplétude de Gödel.

    Cependant, de manière plus pratique, pour illustrer, on pourrait faire ainsi pour les rationnels.
    Un rationnel peut-être vu comme un couple d'entier.
    Un couple (a,b) est une fonction qui a 1 associe a et à 2 associe b. C'est d'ailleurs l'idée du -calcul.

    Pour les réels, on peut les définir comme les limites de certaines suites de rationnels.

    Easy isn't it ?

    Certes il y a des détails techniques à régler, mais on peut tout construire à partir de AP.
    War does not decide who's right, but who's left. (Bertrand Russell)

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par Gre Voir le message
    Certes il y a des détails techniques à régler, mais on peut tout construire à partir de AP.
    Et des axiomes ZFC!

    Sauf erreur de ma part, on peut travailler sur les entiers (Peano) et les rationnels sans l'axiome du choix, mais on ne peut pas construire R sans.

    La différence est d'ailleurs manifeste: tout rationnel se décrit par une chaîne de caractère fini, ce qui est impossible pour les réels.

    Il y a donc une différence fondamentale entre le dénombrable (jusqu'aux algébriques) et le continu (R).

    Cordialement,

  18. #14
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    gre> je doute quand meme, pour construire les reels ils faut une relation d'equivalence, par exemple, qui se definit en terme d'ensemble.. ou meme pour definir la notion de limite, de completude.. il faut bien les ensembles, non ? si on a vraiment QUE les axiomes de peano, j'ai peur qu'il nous manque des outils que ZFC nous offre. je ne connais pas le lambda calcul, mais ca m'etonne que peano soit suffisant.

    mmy> euh, en fait on prend peano ou ZFC, pas les 2 a la fois et pour l'axiome du choix, non, on peut tres bien construire les reels, et a peu pres tout le reste sans, il n'intervient que dans des choses assez specifique comme des ensembles non lebesgue mesurables.cest pour ca qu'il a ete contesté, dailleurs... tu penses que si on en avait besoin pour construire R, on se serait depeché de l'accepter.

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    mmy> euh, en fait on prend peano ou ZFC, pas les 2 a la fois
    On ne doit pas parler de la même chose. Comment construis-tu les rationnels avec seulement les axiomes de Peano?

    Et réciproquement, la théorie ZFC ne contient pas par elle-même, il me semble, les entiers. Elle permet de construire les ordinaux finis, mais les axiomes définissant sont très proche de AP, non?

    Cordialement,

  20. #16
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    pour l'axiome du choix, non, on peut tres bien construire les reels, et a peu pres tout le reste sans, il n'intervient que dans des choses assez specifique comme des ensembles non lebesgue mesurables.cest pour ca qu'il a ete contesté, dailleurs... tu penses que si on en avait besoin pour construire R, on se serait depeché de l'accepter.
    Ca ne colle pas avec mes souvenirs. Pas le temps de vérifier des sources pour le moment. J'accepte le doute, c'est tout.

    Cordialement,

  21. #17
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Comment construis-tu les rationnels avec seulement les axiomes de Peano?
    ben justement, moi il me semble qu'on ne peut pas c'est ce que je dis plus haut !!!

    et pour les ordinaux, oui, c'est tres proche, le contraire aurait ete etonnant ! mais ZFC permet tout a fait de construire les entiers..

  22. #18
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    si on a vraiment QUE les axiomes de peano, j'ai peur qu'il nous manque des outils que ZFC nous offre. je ne connais pas le lambda calcul, mais ca m'etonne que peano soit suffisant.
    mmy> euh, en fait on prend peano ou ZFC, pas les 2 a la fois
    Alors je ne comprends pas comment ces deux citations sont cohérentes...

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  24. #19
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    ZFC permet de construire les entiers d'une maniere equivalente (mais non stricto senso identique) a celle de peano. donc il me semble qu'avec peano on ne peut pas construire les rationnels, parce que ZFC est plus puissant que peano.. donc si on a peano, je pense (mais je peux me tromper) qu'il va manquer des choses pour construire les rationnels, ce qui n'est pas le cas avec ZFC..

    je ne vois pas ce qui te choque.

  25. #20
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    c'est comme si je disais : si je n'ai QU'un petit sac, il va me manquer de la place qu'un grand sac pourrait m'offrir

    et

    je prend le petit sac ou le grand sac, pas les 2.

    cs 2 citations ne sont pas contradictoire

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    si on a peano, je pense (mais je peux me tromper) qu'il va manquer des choses pour construire les rationnels
    Ca d'accord.

    Mais dans l'autre sens, pour moi ZF ne définit pas les entiers. C'est un cadre permettant d'ajouter des axiomes supplémentaires définissant un ensemble identique aux entiers à un isomorphisme unique près.

    La manière dont tu présentes les choses laisse penser que ZF définit les entiers aussi bien que les axiomes de Peano les définissent. Est-ce le cas?

    Cdlt,

  27. #22
    shahinshah

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Bonsoir,
    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Et des axiomes ZFC!

    Sauf erreur de ma part, on peut travailler sur les entiers (Peano) et les rationnels sans l'axiome du choix, mais on ne peut pas construire R sans.
    Ma première réaction a été de dire "Meuh non..." car je me souviens pertinemment ne jamais avoir étudié ou utilisé explicitement l'axiome du choix en prépa, alors que la construction des réels par les suite de Cauchy, ça oui.

    Mais maintenant, j'ai un doute en regardant sur Wikipédia :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_r%C3%A9els

    Car on y explique que R est le seul corps à vérifier l'axiome de la borne supérieure.
    D'où 2 interrogations de ma part :
    1) est-ce-que ça ressemble au Lemme de Zorn (tout ensemble ordonné, inductif non vide admet un élément maximal) ? Or le Lemme de Zorn est complètement équivalent à l'axiome du choix.

    2) Est-ce-qu'on peut déduire directement des propriétés évoquées que R admet un bon ordre ? Auquel cas, il me semble que ça nécessite l'axiome du choix pour le démontrer.

  28. #23
    Médiat

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Mais dans l'autre sens, pour moi ZF ne définit pas les entiers. C'est un cadre permettant d'ajouter des axiomes supplémentaires définissant un ensemble identique aux entiers à un isomorphisme unique près.
    Il va de soi que ZF ne définit pas les entiers, mais on peut définir dans ZF (sans axiome supplémentaire, c'est à dire que la théorie est toujours ZF) une famille d'ensembles qui "prolonge" les entiers : les ordinaux, dont une définition est : "ensembles transitifs pour lesquels l'appartenance est un bon ordre strict", la similitude avec Peano ne saute pas aux yeux.

    En me relisant je m'aperçois que je ne suis pas très clair : ce que je veux dire c'est que je suis d'accord avec toi sauf pour l'utilisation du mot "axiome" qui laisse à penser que l'on n'est plus dans ZF mais dans ZF + XXX.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #24
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    effectivement, ZF ne definit pas directement les entiers, mais on peut les construire a partir de ZF sans axiome supplementaire.

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  31. #25
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    sauf pour l'utilisation du mot "axiome" qui laisse à penser que l'on n'est plus dans ZF mais dans ZF + XXX.
    Bonjour,

    A relire je pense effectivement que c'est juste un problème avec le mot axiome. Pour moi, définir un symbole supplémentaire (par exemple l'addition) est un axiome; c'est une vision très "système formel".

    Je vois bien que certains axiomes ne sont pas des définitions, mais des postulats d'existence. Mais dans les axiomes ZF il me semble que au moins un est une définition (j'ai tendance à comprendre l'axiome d'extensionnalité comme la définition de l'égalité entre ensembles par exemple). Du coup la subtile distinction entre "axiome" à ton sens ou celui de Jobherzt et définition d'une opération sous forme de règle de réécriture mettant en jeu un nouveau symbole n'est pas très claire dans ma tête.

    ---------

    Sinon, en faisant quelques recherches ce matin, Jobherzt a raison, la construction des réels ne demande pas AC.

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 18/04/2007 à 07h47.

  32. #26
    Médiat

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Du coup la subtile distinction entre "axiome" à ton sens ou celui de Jobherzt et définition d'une opération sous forme de règle de réécriture mettant en jeu un nouveau symbole n'est pas très claire dans ma tête
    Si je reprends l'exemple des ordinaux, leur définition s'exprime dans le système formel ZF, on pourrait donc écrire tous les théorèmes sur les ordinaux en n'utilisant jamais le mot ordinal, mais en le remplaçant par sa définition à chaque fois (ce qui serait d'une lourdeur épouvantable) et en n'utilisant que les notations et les axiomes de ZF pour faire les démonstrations ; c'est en cela que les ordinaux ne résultent pas de nouveaux axiomes mais seulement de définitions (exprimables avec les notations et les axiomes de la théorie dans laquelle elles sont plongées).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  33. #27
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Si je reprends l'exemple des ordinaux, leur définition s'exprime dans le système formel ZF, on pourrait donc écrire tous les théorèmes sur les ordinaux en n'utilisant jamais le mot ordinal, mais en le remplaçant par sa définition à chaque fois (ce qui serait d'une lourdeur épouvantable) et en n'utilisant que les notations et les axiomes de ZF pour faire les démonstrations ; c'est en cela que les ordinaux ne résultent pas de nouveaux axiomes mais seulement de définitions (exprimables avec les notations et les axiomes de la théorie dans laquelle elles sont plongées).
    Je vois bien cela. Mais ne pourrait-on pas aussi supprimer l'axiome d'extension (dans ZF) en écrivant toutes les égalités ou non égalités entre ensembles à partir de la relation d'appartenance? (Ce serait encore plus épouvantablement lourd)!

    C'est juste une interrogation de ma part, je suis loin de bien comprendre ce domaine, mais ça m'intéresse. Il me semble percevoir la différence entre les axiomes postulant une existence (et donc autorisant de parler de quelque chose), genre AC, ou axiome de l'infini, ou ne serait-ce que l'axiome postulant l'existence d'au moins un ensemble; et les axiomes de définition. Mais les groupements comme ZF ou AP me semble mélanger les deux.

    Cordialement,

  34. #28
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    ben non, parce qu'on ne peut prouver que 2 ensembles qui ont les memes elements sont egaux... de meme qu'on ne peut pas prouver que 2 droites qui passent par 2 meme points sont egales. ceci est d'autant plus vrai que les ensembles (et les droites) sont dans ce cadres des concepts purement formels, cad des objets purement logique qui ne sont pas sensé avoir de signification, meme si en pratique evidemment, on a tout fait pour que ca recouvre notre notion "intuitive" d'ensemble.

    meme si ca semble idiot, l'ensemble {a,b,c} et l'ensemble {a,b,c} n'ont pas de raison d'etre egaux, ce sont 2 objets distincts, ils ne sont pas a la meme place dans ma phrase, pas au meme endroit sur l'ecran, si tu imprime mon message ils ne seront pas constitutés des memes goutes d'encre... bref, pour identifier ces 2 objets, il faut un axiome, qui dit qu'un ensemble est uniquement determiné par ses elements.

  35. #29
    jobherzt

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    et donc non, il n'y a pas a proprement parler d'axiome de definition. il y a des axiomes qui affirme qu'une relation existe, ou qu'une propriete est vraie, et qui eventuellement lui donne un nom pour la rendre manipulable par les humains. mais c'est accessoire.

  36. #30
    invité576543
    Invité

    Re : Qu'est-ce qu'un nombre ?

    Sinon, toujours pour comprendre, la définition que tu donnes pour les ordinaux

    "ensembles transitifs pour lesquels l'appartenance est un bon ordre strict"
    demande de définir au préalable "transitif" et "bon ordre strict". On peut exprimer ces propriétés en utilisant comme seule relation l'appartenance, et utiliser les axiomes d'existence pour démontrer que l'ensemble ainsi défini n'est pas vide. ZF fini suffit ainsi à définir certains ensembles.

    Mais ce qui m'échappe est qu'est-ce qui permet d'appeler cela "construire les entiers". L'assimilation entre Ø et 0, et de la notion de successeur avec x --> x U {{x}} ne tombe pas sous le sens. Il y a une opération "sémantique" quelque part, dont la nature m'échappe. J'ai l'impression que "construire les entiers" ainsi revient à montrer que c'est construire un ensemble qui respecte la structure définie par les axiomes de Peano! Est-ce qu'on n'utilise pas ZF pour montrer que ZF implique l'existence d'au moins une structure respectant les axiomes de Peano? Ou est-ce qu'on peut juste se permettre de dire "ZF fini implique l'existence des ordinaux, et c'est la même chose que les entiers tels que conceptualisés par l'esprit humain sans chercher à définir rigoureusement ce qu'est cette conceptualisation"?

    Cordialement,

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