Qu'est-ce qu'un nombre ?

[invitebe0cd90e]

comme je te le disais, d'un point de vue logique, tous ces trucs la n'ont pas a avoir une signification.... donc on a tout a fait le droit d'utiliser ZF pour montrer qu'il existe un ensemble qu'on construit comme tu dis (0={}, 1={0}, etc..) et on dit "c'est ca qu'on appelle les entiers". sauf qu'on a evidemment fait expres de faire en sorte que ca recoupe notre conception intuitive des entiers. je ne sais pas si je suis tres clair.... donc en fait, cet ensemble n'a pas a respecter quoi que ce soit, ni meme a s'appeler "ensemble des entiers"...

mais en pratique, evidemment que c'etait en partie le but qu'il y ai une analogie avec peano... sinon on aurait 2 definition distinctes des entiers, ca serait emmerdant..
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[Médiat]

Mais ce qui m'échappe est qu'est-ce qui permet d'appeler cela "construire les entiers".

Ce qui permet cela c'est que les ordinaux vérifie les axiomes de Peano (c'est donc plus qu'une analogie) en interprétant la fonction successeur et 0 dans les ordinaux, bien sur c'est une opération sémantique, et j'avoue que depuis le temps je ne sais plus si c'est intuitif ou non .

[invité576543]

et donc non, il n'y a pas a proprement parler d'axiome de définition. il y a des axiomes qui affirme qu'une relation existe, ou qu'une propriété est vraie, et qui éventuellement lui donne un nom pour la rendre manipulable par les humains. mais c'est accessoire.

Je n'arrive pas a te suivre. Je vois des axiomes d'existence. Qui disent "ceci existe qui a telles propriétés". Je vois des axiomes de réécriture, qui rende manipulable quelque chose dont l'existence est montrée par ailleurs.

La relation "tout élément de l'un est élément de l'autre" existe par elle-même, du simple fait qu'elle utilise des notions licites, non? En quoi un axiome est nécessaire pour l'existence d'une telle formule?

Tu dis

parce qu'on ne peut prouver que 2 ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux...

Je comprends bien cela, mais simplement parce que le terme "égaux" n'est pas défini. C'est tout. Il me semble que l'on peut utiliser "tout élément de l'un est élément de l'autre" sans axiome particulier, non? D'ailleurs, si on ne pouvais pas, comment pourrait-on même exprimer l'axiome d'extension?

Désole d'être obtus, mais je sais qu'il y a diverses choses qui m'échappent dans ce domaine, et peut-être cette discussion est-elle une occasion pour moi de clouer une de ces choses une bonne fois pour toute! Mes questions sont moins des objections qu'une méthode pour moi de délimiter ce qui m'échappe.

Cordialement,

[Médiat]

Comme l'a dit jobherzt sans l'axiome d'extentionnalité, on pourrait avoir plusieurs ensembles différents ayant exactement les mêmes éléments, il faut un axiome pour l'empêcher.

[invitebe0cd90e]

je sais que c'est un peu etrange.. dis toi qu'on manipule des objets purement abstrait. quand je dis "l'ensemble {a,b,c}" c'est deja un abus de langage..

et la notion d'egalité est toujours bien definie, on dit que A=B si A et B ne sont que deux "etiquette" pour designer le meme objet.

l'axiome dit donc que dans l'"univers" des ensembles (qui est un objet purement abstrait) il n'existe pas 2 ensembles distincts qui ont exactement les memes elements.

[Médiat]

J'ai, peut-être, compris ce qui te dérange : tu projette ta compréhension intuitive des ensembles et de l'appartenance sur l'axiomatique. Dans le cas qui nous intéresse, la relation d'appartenance est une relation binaire, tant que je n'ai pas dit plus, toutes les relations binaires fonctionnent, y compris celles pour lesquelles (je note R une relation binaire, a et b deux symboles de constantes (c'est pour me simplifier la vie et ne pas écrire des "il existe" et des pour tous")) {x/ xRa} = {x/ xRb} n'entraîne pas que a = b. Un exemple stupide sur les entiers :
xRy <==> x <= y et x est pair, cette relation ne vérifie pas l'axiome d'extentionnalité.

[invité576543]

Bonjour,

Vos réponses laissent penser que la notion d'égalité est première, est définie préalablement à l'axiome d'extension. Je n'arrive pas à voir où ni comment.

La phrase

la notion d'égalité est toujours bien définie, on dit que A=B si A et B ne sont que deux "étiquettes" pour désigner le même objet.

n'a pas de signification (désolé) à cause du mot "même". Pour moi "même" et "égalité" réfèrent à un seul et même concept. Ce n'est pas avec une telle phrase que j'arriverai à comprendre pourquoi la notion d'égalité est première.

J'ai, peut-être, compris ce qui te dérange : tu projette ta compréhension intuitive des ensembles et de l'appartenance sur l'axiomatique. Dans le cas qui nous intéresse, la relation d'appartenance est une relation binaire, tant que je n'ai pas dit plus, toutes les relations binaires fonctionnent, y compris celles pour lesquelles (je note R une relation binaire, a et b deux symboles de constantes (c'est pour me simplifier la vie et ne pas écrire des "il existe" et des pour tous")) {x/ xRa} = {x/ xRb} n'entraîne pas que a = b.

Non, ce n'est pas ce qui me dérange. Je vois simplement exactement le contraire. La relation d'appartenance est posée d'abord, sans signification, et on définit l'égalité à partir de cette relation sans sémantique particulière. Là encore, dans ton texte, tu semble considérer une sémantique à "=" qui précède sa définition. Comme je ne sais pas d'où vient cette sémantique, si j'osais je te renverrais ton texte en disant "tu projettes ta compréhension intuitive de l'égalité sur l'axiomatique".

En gros, ce que je ne comprends pas semble simplement être d'où vient la notion d'égalité qui apparaît dans l'axiome d'extension si celui-ci ne sert pas à la définir formellement à partir de la notion d'appartenance. Je veux bien considérer que je me trompe en pensant que l'axiome définit l'égalité (statistiquement c'est hautement probable que je me trompe dans ce domaine!), mais rien de ce que vous me proposez ne comble le manque ainsi créé.

Cordialement,

[invitebe0cd90e]

La phrase



n'a pas de signification (désolé) à cause du mot "même". Pour moi "même" et "égalité" réfèrent à un seul et même concept. Ce n'est pas avec une telle phrase que j'arriverai à comprendre pourquoi la notion d'égalité est première.

si, elle en a une. effectivement, c'est redondant, mais je ne sais pas trop comment expliquer ca.. dans la vraie vie, on ne devrait pas en theorie pouvoir parler d'egalité parfaite, puisque tout bouge, tout est imprecis... dans un systeme formel, par definition figé, intemporel, immateriel, on peut sans probleme. par definition, on manipule des symboles, qui peuvent designer des objets precis (constantes) ou permettre de manipuler une classe d'objet qui ont une propriété commune (variable). mais dans tous les cas, ces symboles ne sont rien d'autre que des symboles, des etiquettes, qui designent des objets qui n'ont pas de signification ni de realite physique. donc quand on met un signe egal entre 2 symboles, cela signifie qu'il n'y a qu'un seul et unique objet abstrait qui est "pointé" par 2 "etiquettes" differentes. meme si je l'explique mal, c'est parfaitement rigoureux. la on on croyait qu'il y avait 2 objets, il n'y en a en realité qu'un seul. c'est tout.

[invitebe0cd90e]

un petit exemple qui vaut ce qu'il vaut.. est ce que tu concois qu'il y a une difference fondamentale entre dire de 2 personne qu'elles ont le meme age, et dire de 2 personnes qu'elles ont le meme prenom ?

dans le premier cas on commet une imprecision, c'est quelque chose de mal defini.

par contre, le prenom est une notion abstraite, qui ne depend pas de l'encre utilisée pour l'ecrire sur ta carte d'identité, ou du papier utilisé pour ton acte de naissance. si 2 personnes ont le meme prenom avec la meme orthographe, il y a bien une identité parfaite !

ca n'est pas un exemple tres rigoureux, mais j'espere que tu vois l'idee

[Médiat]

Je suis d'accord avec jobherzt sur son explication de l'égalité, qui est préalable à la définition des systèmes formels (par exemple il n'y a pas de définition de l'égalité dans l'axiomatique de Peano).

J'ajoute que l'axiome d'extentionnalité de dit pas que "deux ensembles sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments", mais que "l'appartenance vérifie que deux ensembles sont égaux ssi", ces deux phrases disent la même chose (formellement), la première pouvant se comprendre (nous mettons donc de la sémantique là de dans) comme la définition de l'égalité à partir de l'appartenance, la deuxième exprime une des propriétés que doit posséder l'appartenance pour que la théorie décrite soit celle des ensembles (c'est à dire : est un axiome de la théorie des ensembles). Il est clair que l'on est dans le domaine du pinaillage à l'intérieur du pinaillage, mais si tu as d'autres questions (sur ce point précis ou d'autres), ne te gène surtout pas.

[invite9cf21bce]

Bonjour.
Je me permets de me joindre à vous dans cette conversation passionnante.

Vos réponses laissent penser que la notion d'égalité est première, est définie préalablement à l'axiome d'extension. Je n'arrive pas à voir où ni comment.

Elle est première. L'idée du formalisme du premier ordre avec égalité est d'éviter de se farcir des tas d'axiomes du type :

et
et

en disant simplement que si deux termes/formules sont égales, alors on peut remplacer l'une par l'autre dans toutes les propositions les concernant.

Exemple 1.
Prenons l'axiomatique des groupes (sans mettre le neutre dans le langage) :




Il est naturel d'écrire que (((ab)c)y)z=(a(bc))(yz).

En faisant cela tu as remplacé x par (ab)c dans le membre gauche de l'axiome d'associativité, et par a(bc) dans le membre droit. Tu as spontanément remplacé un truc par un truc qui lui est égal.

Exemple 2.
L'exemple 1 donnait une égalité en partant d'égalités. Mais ça s'applique à tout prédicat, même un prédicat du langage lui-même.
Prenons l'axiomatique des groupes abéliens totalement ordonnés.
<axiomes des groupes abéliens>
<axiomes de l'ordre total>


Essaie donc de montrer que



L'idée :

1. mettre dans la logique ce qui est sous-tendu par la notion intuitive d'égalité (c'est-à-dire, pour chaque règle de substitution, inférence, etc., prendre en compte l'égalité)
2. mettre dans les axiomes à quelle condition deux termes ou deux formules sont égales

Vu le fourmillement de paradoxes qui entourent la théorie des ensembles, il vaut mieux savoir précisément ce qu'on fait quand on pratique une forme de logique, et ZF n'entre pas dans le cadre de la logique des prédicats du premier ordre sans égalité (cf Wikipedia).. Parallèlement, la logique des prédicats du premier ordre avec égalité dispose d'un théorème fort, certes métalogique, mais fortement convaincant, appelé théorème de complétude (je me trompe peut-être, mais je crois que Gödel l'a prouvé sans l'égalité, puis que ça a été adapté plus tard avec l'égalité).

Taar

[invité576543]

Est-ce que:

et
et

n'est pas simplement la version formelle de

si deux termes/formules sont égales, alors on peut remplacer l'une par l'autre dans toutes les propositions les concernant.

Mais que la réponse soit oui ou non, cela ne définit pas l'égalité. Cela décrit des conséquences de l'égalité (tous tes exemples sont cas où l'égalité implique quelque chose, pas le contraire). Ce sont des conditions nécessaires, mais pas suffisantes. A moins de dire quelle que soit P(,), mais ce n'est plus du premier ordre, si? (Et pas très pratique, comment faire une démo avec ça?)

Prenons une question autrement. Soit A et B deux ensembles. Existe-t-il une manière de démontrer A=B qui ne passe pas par l'étape de montrer que tous les éléments de A appartiennent à B et réciproquement? Si la réponse est non à cette dernière question, alors toute la discussion n'est que du pinaillage de vocabulaire.

Cordialement,

[invitebe0cd90e]

en fait : tu as l'air de croire que l'axiome d'extensionnalité definit l'egalité de 2 ensembles. en fait, d'une certaine maniere, c'est le contraire qui se passe : cette axiome contribue a definir les ensembles en expliquant a quelle condition ils sont egaux.

ce qu'il faut comprendre, c'est qu'on ne part pas des ensembles pour detailler leur propriétés, mais au contraire qu'on les construit a partir de certaines propriete qu'on veut avoir.
l'egalité n'a pas a etre definie. on sait toujours ce que ca veut dire que 2 objets formels sont egaux. par contre, on va contraindre la notion même d'ensemble pour la forcer a avoir une propriété qui nous interresse.

[invitebe0cd90e]

un ensemble bidon :

si je prends comme systeme formel les 3 constantes a,b et c. "l'univers" de mon systeme comporte 3 objets, distincts.


si maintenant j'ajoute l'axiome a=b, je ne definis pas l'egalité, je sais deja ce que ca veut dire. ajouter cet axiome va simplement modifier, contraindre, mon systeme formel, et donc j'obtiens un systeme different du premier, qui lui ne contient que 2 objets :

- l'objet c
- et un deuxieme objet, que je peux appeler a ou b comme ca me chante.

[invité576543]

un ensemble bidon :

si je prends comme systeme formel les 3 constantes a,b et c. "l'univers" de mon systeme comporte 3 objets, distincts.


si maintenant j'ajoute l'axiome a=b, je ne definis pas l'egalité, je sais deja ce que ca veut dire. ajouter cet axiome va simplement modifier, contraindre, mon systeme formel, et donc j'obtiens un systeme different du premier, qui lui ne contient que 2 objets :

- l'objet c
- et un deuxieme objet, que je peux appeler a ou b comme ca me chante.

Je n'y comprend rien. Pourquoi l'alternative suivante n'est pas acceptable:

si je prends comme système formel les 3 constantes a,b et c. "l'univers" de mon système comporte 3 constantes distinctes. En l'absence de quelconques règles suffisantes pour déterminer l'égalité, l'univers peut contenir 1, 2, ou 3 objets.

En ajoutant a=b, le nombre d'objets ne peut plus qu'être 1 ou 2, on ne sait pas.

La preuve en est simple. Prenons l'assertion a=b. Si on considère qu'ajouter l'axiome a=b a un sens, c'est que l'assertion a=b n'avait pas de valeur avant l'ajout.

Il en est par symétrie de même de a=c. L'axiome ajouté ne permettant pas de dire quoi que ce soit sur a=c, on en conclut que a=c reste indéterminée.

Cordialement,

[invitebe0cd90e]

non, tu ne comprends pas. l'univers ne contient pas de constante. les constantes ne sont que des symboles qui designent les objets, j'aurai pu les appeller carotte choux-fleur et robert, ca ne changerait rien.

ce qu'il faut comprendre c'est que c'est moi qui decide !! si je prend 3 constante sans rien preciser d'autre, c'est qu'il y a 3 objets differents tant que je n'en ai pas decidé autrement !!

autrement dit, le signe '=' n'intervient qu'au nveau des symboles, un objet formel est egal a lui meme et a absolument rien d'autre. si j'ajoute l'axiome a=b, c'est que je decide que les etiquette a et b pointent vers un unique objet. donc il n'y a pas 2 objets dont je decide q'ils sont egaux, il y a un seul objet et 2 etiquettes qui le designent.

[invité576543]

c'est qu'il y a 3 objets différents tant que je n'en ai pas décidé autrement !!

Sûr que je ne comprend pas! Mais j'aimerais. Comment comprendre "il y a 3 objets différents" autrement que comme l'affirmation de : non(a=b) et non(a=c) et non(b=c) ?

Si cette assertion tient, alors l'introduction de a=b comme axiome rend le système incohérent non?

Ca paraît bien plus simple (et clair, et sans risque de contradiction) de dire à la place "le nombre d'objets différents est indéterminé tant que je n'ai pas décidé ce qu'il en était", non? C'est-à-dire que les assertions "a=b", "b=c", "a=c" sont indécidables tant que tu n'as pas décidé ce qu'il en était. Non?

Cordialement,

[invité576543]

Question plus large: Peut-on proposer d'ajouter à un système S un axiome qui ne serait pas indécidable dans le système S?

Sinon, mon autre question reste: peut-on démontrer une égalité entre ensemble autrement qu'avec l'usage explicite de l'axiome d'extensionalité?

Par ailleurs, je commence à comprendre un aspect des choses. L'égalité est pré-définie dans ses conséquences seulement (ce qu'on peut dériver de a=b, pas comment montrer que a=b). Il est donc obligatoire de donner les conditions nécessaires à l'égalité pour pouvoir utiliser ces conséquences prédéfinies. Ca explique le "si" à la place du "ssi". Et ça explique aussi pourquoi l'axiome d'extensionalité n'est pas (seulement) une règle de réécriture.

Autrement dit il y a au préalable non pas une définition de l'égalité, mais une liste de conséquences de a=b. Mais pour chaque type d'objet, il faut décrire les conditions nécessaires pour, disons, compléter (et rendre pleinement opérationnelle) la notion d'égalité pour ce type d'objet.

Tout cela est cohérent avec comme réponses aux deux questions liminaires de ce message, non et non.

Cordialement,

[invitebe0cd90e]

l'idee c'est qu'au depart tes objets peuvent etre tout et n'importe quoi : on se place toujours par defaut dans le cas le plus general.

de ce point de vue, un axiome est une sorte de contrainte, qui restreint tes possibilités de manipulation des objets.

je pense que ce qui te bloque est de voir les objets qui se cachent derriere comme des trucs plus ou moins concret, en tout cas ayant une sorte "d'existence" propre. en realité, une theorie logique est une sorte de systeme "a trou" qui ne contient rien de susbtantiel, si je me donne des constantes ce n'est pas pour le plaisir de pointer des trucs abstrait, mais pour pouvoir definir des regles, demontrer des choses, et ensuite "remplir" les trous de la theorie avec des choses concretes.

ceci dit, tu as en partie raison. il est exact de dire que a=c est indecidable. pour reprendre mon exemple :

{a,b,c tq a=b}

est donc mon systeme formel. si je prend maintenant

{a,b,c, tq a=b et a=c}

c'est d'une certaine maniere une sous partie de mon premier exemple. tous ce qui satsifait au 2e satisfait aussi au premier, mais la reciproque n'est pas vrai.

DONC si je veux raisonner de maniere formelle a partir de

{a,b,c tq a=b}
je vais raisonner sans rien supposer sur une egalite entre a et c, cad que je vais manipuler a et c comme des objets distincts. et si finalement je decide qu'ils sont identiques, tout ce que j'aurais demontré restera vrai !

[invitebe0cd90e]

Question plus large: Peut-on proposer d'ajouter à un système S un axiome qui ne serait pas indécidable dans le système S?

Sinon, mon autre question reste: peut-on démontrer une égalité entre ensemble autrement qu'avec l'usage explicite de l'axiome d'extensionalité?

Par ailleurs, je commence à comprendre un aspect des choses. L'égalité est pré-définie dans ses conséquences seulement (ce qu'on peut dériver de a=b, pas comment montrer que a=b). Il est donc obligatoire de donner les conditions nécessaires à l'égalité pour pouvoir utiliser ces conséquences prédéfinies. Ca explique le "si" à la place du "ssi". Et ça explique aussi pourquoi l'axiome d'extensionalité n'est pas (seulement) une règle de réécriture.

Autrement dit il y a au préalable non pas une définition de l'égalité, mais une liste de conséquences de a=b. Mais pour chaque type d'objet, il faut décrire les conditions nécessaires pour, disons, compléter (et rendre pleinement opérationnelle) la notion d'égalité pour ce type d'objet.

Tout cela est cohérent avec comme réponses aux deux questions liminaires de ce message, non et non.

Cordialement,

je ne comprends pas trop ce dernier message.... mais la question "peut-on démontrer une égalité entre ensemble autrement qu'avec l'usage explicite de l'axiome d'extensionalité?" n'a pas vraiment de sens !! puisqu'on construit les ensembles avec cette contrainte !! comme je te le dit, un ensemble est egal a lui meme et uniquement a lui meme. point final. et donc si l'ensemble qu'on appelle A et l'ensemble qu'on appelle B ont les memes elements, c'est par definition des ensembles et non par definition de l'egalite que les etiquette A et B pointent sur un et un seul et unique ensemble, en gros on a une etiquette en trop.

[invité576543]

ceci dit, tu as en partie raison. il est exact de dire que a=c est indecidable.

Si tu acceptes cela, alors il me semble qu'il faut en accepter la conséquence, qui est la nécessité d'inclure dans un système formel définissant un type (e.g., ensemble) les conditions nécessaires à l'égalité entre les objets pointés par deux étiquettes distinctes.

Je crois comprendre maintenant la réticence a appeler cela "définir l'égalité entre ensembles", qui viendrait de l'existence préalable d'axiomes (implicites?) décrivant les conséquences de a=b.

Cordialement,

[invitebe0cd90e]

non, justement, on laisse cette question ouverte !! dans mon exemple on ne dit rien de l'egalité entre a et c, et donc ce quon demontrera sera vrai que a=b ou que a!=c.

[invitebe0cd90e]

relis mon dernier message : on ne definit pas une egalite entre les ensemble, on definit les ensemble suivant une certaine conception qu'on veut avoir de l'egalité.. la difference est subtile mais elle est la.

[invitebe0cd90e]

pour reprendre un exemple bidon.

si je prend une fonction f(x)=x+2. je ne decide pas que x=3, mais je ne decide pas le contraire non plus !!! je vais raisonner quelle que soit la valeur de x.

[Médiat]

Pour prendre un autre exemple, si je veux définir une loi de composition interne (à tous couples d'éléments on peut faire correspondre un et un seul élément) , je vais me doter d'un symbole de relation (R) et de symboles de variables en nombre suffisant (x, y, ...), et je vais écrire les axiomes :


et


Est-ce que tu interprètes le deuxième axiome comme la définition de l'égalité, ou comme une propriété que doit vérifier le symbole R, l'égalité étant supposé appartenir au langage (au même titre que les connecteurs et les quantificateurs) ?

[invité576543]

Bonjour,

et


Est-ce que tu interprètes le deuxième axiome comme la définition de l'égalité, ou comme une propriété que doit vérifier le symbole R, l'égalité étant supposé appartenir au langage (au même titre que les connecteurs et les quantificateurs) ?

1/ (Je me répète) J'ai compris ce que vous entendez par "appartenir au langage";

2/ L'interprétation que je donnerais au deuxième axiome dépend de l'existence ou non d'un autre axiome de la forme avec à la place de ... une propriété conjointe de z et z'. S'il n'y a pas d'autre tel axiome, alors j'interprète le second axiome comme participant à la complétion de la description de l'égalité (je n'utilise plus le mot "définition", puisqu'il ne véhicule pas la bonne idée). S'il existe un autre tel axiome, tel que la description de l'égalité soit complète, alors je n'interprête pas ce nouvel axiome comme participant à la description de l'égalité.


Pour me répéter, à partir de vos messages, je me bâtis l'idée que

1/ l'égalité préexiste à ZF dans le langage

2/ l'égalité préexistante est générique, non spécifique à quoi que ce soit, et ne définit que des conséquences génériques (remplacement dans les formules), elle permet des inférences genre

3/ l'égalité préexistante est telle que toute expression de la forme a=b, a et b étant des étiquettes différentes, est indécidable

4/ lors de la définition d'un type (par exemple ensemble, avec appartenance) il faut un axiome donnant les conditions nécessaires à l'égalité, et l'axiome d'extensionalité remplit ce rôle dans ZF

Pour autant que j'arrive à le déterminer, cette interprétation colle avec tout ce que vous avez écrit (même si vous n'y retrouvez pas votre manière de présenter les choses!), et avec d'autres textes que j'ai lus. Elle clarifie certainement une partie de mon questionnement! Grands mercis donc pour vos messages.

Cordialement,

[Médiat]

3/ l'égalité préexistante est telle que toute expression de la forme a=b, a et b étant des étiquettes différentes, est indécidable

Je n'ai pas beaucoup de temps aussi ne répondrais-je qu'à ce point sur lequel je ne suis pas d'accord (sous réserve que j'ai bien compris ce que tu veux dire)

Je suppose que a et et b sont des symboles de constantes (pour des variables, la question ne se poserait pas, en tout cas pas ainsi).

Si tu considères une théorie (dans le langage du premier ordre avec tout ce qui va bien, y compris un symbole d'égalité) dont le seul axiome est :

dans ce cas a = b n'est pas indécidable.

Je serais plus disponible un peu plus tard si cela t'intéresse que je commente les autres points.

[invite9cf21bce]

Salut.

mmy, d'accord avec toi sur tous les points.

Pour me répéter, à partir de vos messages, je me bâtis l'idée que

[...]

3/ l'égalité préexistante est telle que toute expression de la forme a=b, a et b étant des étiquettes différentes, est indécidable

Oui. Par contre n'oublie pas que l'égalité "préexistante" est transitive (et symétrique). Donc on peut décider des trucs sans axiome.

Tu as par exemple
et

avant d'avoir mis le moindre axiome.

Mais bon, en fait, c'est inclus dans ton point 2/.

4/ lors de la définition d'un type (par exemple ensemble, avec appartenance) il faut un axiome donnant les conditions nécessaires à l'égalité, et l'axiome d'extensionalité remplit ce rôle dans ZF

un ou plusieurs axiomes (ex: anneaux). Dans ZF, le schéma d'axiomes de remplacement donne aussi des conditions d'égalité.

Pour compléter ton point 4/, n'oublie pas que certains axiomes affirment l'existence d'un objet qui vérifie une égalité.

Par exemple en théorie des groupes, il existe un élément neutre et un inverse.

Cela dit, pour les groupes, on peut s'arranger en ajoutant au langage une fonction d'arité 0 (constante) qui joue le rôle de l'élément neutre, et une fonction ^-1 d'arité 1 qui associe à chaque élément, son inverse.
L'axiome "inverse" devient alors :

et il n'y a plus besoin d'existence.


À part ça, tu disais dans un post précédent :

A moins de dire quelle que soit P(,), mais ce n'est plus du premier ordre, si? (Et pas très pratique, comment faire une démo avec ça?)

Il y a deux réponses :

1. Non, ce n'est pas du premier ordre, et c'est d'ailleurs une des raisons qui font qu'on définit ZF dans la logique du premier ordre avec égalité.

2. On pourrait ajouter TOUS les axiomes de ce type (un pour chaque P possible), et obtenir ainsi un schéma d'axiomes liés à l'égalité. Dans la mesure où on a déjà mis dans ZF le schéma d'axiomes de remplacement, j'ai l'impression qu'on n'augmenterait pas la complexité de l'axiomatique. Je ne sais pas pourquoi cela n'a pas été fait. Peut être parce qu'on est incapable de couvrir tous les cas possibles ?
ex : P(x,y,z) et x=y P(x,x,z)

Quelqu'un a déjà réfléchi à ce problème ?

Taar.

[Médiat]

1. Non, ce n'est pas du premier ordre, et c'est d'ailleurs une des raisons qui font qu'on définit ZF dans la logique du premier ordre avec égalité.

Effectivement ce n'est pas du premier ordre, mais il est plus usuel d'utiliser la notion de schéma d'axiomes plutôt que de faire appel à une logique de degré supérieur (et cela marche puisque les formules sont dénombrables donc énumérables.

2. On pourrait ajouter TOUS les axiomes de ce type (un pour chaque P possible), et obtenir ainsi un schéma d'axiomes liés à l'égalité.

Et c'est bien ce que l'on fait puisque l'égalité se définit à l'aide d'un schéma d'axiomes appelé schéma d'axiomes de remplacement.

Dans la mesure où on a déjà mis dans ZF le schéma d'axiomes de remplacement, j'ai l'impression qu'on n'augmenterait pas la complexité de l'axiomatique.

Attention le schéma de remplacement dont tu parles (celui de ZF) n'est le même que celui de l'égalité dont je parlais ci-dessus, il y a aussi le schéma de séparation.

Je ne sais pas pourquoi cela n'a pas été fait. Peut être parce qu'on est incapable de couvrir tous les cas possibles ?
ex : P(x,y,z) et x=y P(x,x,z)

C'est surtout que l'expression d'un schéma est suffisante, et qu'il y aurait une infinité de formules à écrire...

[invite9cf21bce]

Salut !

Médiat, je ne comprends pas trop à quoi tu essaies de répondre.

Je te redonne le contexte, tel que je l'ai compris (mais peut-être est-ce là que je me fourvoie).

En l'état, nous avons deux logiques :

1. une logique du premier ordre toute nue, avec juste des variables, des fonctions et des prédicats (les constantes y sont alors automatiquement). On a deux types de raisonnement, par syntaxe et par sémantique, et un théorème de complétude.

2. une logique du premier ordre avec égalité, qui est la même que celle qui précède, avec en plus une égalité. On a toujours deux types de raisonnement, par syntaxe et par sémantique, et un théorème de complétude. Seulement, ici :
a. le raisonnement syntaxique fait appel à plus de règles pour tenir compte de l'égalité
b. le raisonnement sémantique affirme l'égalité quand il y a égalité (au sens intuitif qu'on a affaire au même élément dans tous les modèles), et plus généralement qu'une formule close ayant des égalités est vraie quand elle est vraie dans chaque modèle (en interprétant l'égalité comme l'identité dans l'univers du modèle)

De ce que j'en sais, ZF (ou ce qui passe comme ZF de nos jours) est axiomatisée dans le cadre de la logique du premier ordre avec égalité.
Dans ce cadre, le langage de ZF est uniquement constitué d'un symbole de relation binaire ()

Maintenant, la question qui se pose est, que se passerait-il si on essayait de l'axiomatiser dans le cadre de la logique du premier ordre sans égalité ?

Premièrement, il est raisonnable d'ajouter un nouveau symbole de relation binaire au langage. Le langage est donc désormais composé de deux symboles de relations binaires, et .

De là nous divergeons :

Moi je dis :
Il faudrait forcément (probablement) ajouter des axiomes, qui permettent de couvrir les propriétés naturelles de l'égalité. Pour couvrir toutes les situations, il s'agirait d'un schéma d'axiomes.

Je dis ensuite :
Il me semble que le schéma en question ressemblerait à une infinité d'axiomes de la forme :


Précisément, autant d'axiomes qu'il y a de P possibles.

(comme toi, je pense que les P sont énumérables, je n'ai d'ailleurs jamais dit le contraire)

Appelons ce schéma : "schéma d'axiomes d'égalité"

Je dis alors :
ZF contient déjà un schéma d'axiomes, qui compte autant d'axiomes que de P possibles, à savoir, le schéma d'axiomes de remplacement. Du coup, de mon point de vue, ajouter aux axiomes ZF le "schéma d'axiomes d'égalité", ne change pas la complexité de l'axiomatique (et permet en particulier d'avoir des modèles de tout cardinal infini tant qu'il y a cohérence).

Puis :
Tout ce que je viens de dire est intuitivement raisonnable (du moins m'apparaît comme tel), et il semblerait qu'on pourrait ainsi axiomatiser ZF dans la logique du premier ordre sans égalité. Et pourtant on continue de faire ZF dans la logique du premier ordre avec égalité.

Je vois alors deux possibilités :
1. Soit ce que j'ai dit est correct (ou il y a quelque chose de similaire qui est correct), mais on ne le fait pas (plus?) parce que la logique du premier ordre avec égalité donne plus de confort sans perdre de la puissance.
2. Soit ce que j'ai dit est incorrect. Dans ce cas (et c'était le sens de ma question), qu'est-ce qui cloche ?


Si nous sommes d'accord sur le contexte, ton dernier post semble sous-entendre que ce que j'ai appelé "schéma d'axiomes d'égalité" est une conséquence des autres axiomes, en particulier du schéma d'axiomes de remplacement (dans le cadre de la logique du premier ordre sans égalité). C'est peut-être vrai, mais je ne vois pas pourquoi. Tu confirmes (et si oui, comment fait-on) ?

Voilà, j'espère avoir été clair...

Taar.

PS : si quelqu'un pouvait m'expliquer d'où sort le parasite que je vois dans le machin suivant je lui serais fort redevable :