Qu'est-ce qu'un nombre ?

[titanic]

Bonjour,
Si on ne me le demande pas, je crois savoir ce qu'est un nombre. Si on me demande ce qu'est un nombre euh ... je ne le sais plus !

Bon, les nombres entiers sont directement conçus à partir de l'expérience sensible : 1 caillou, 2 cailloux, 3 cailloux ... ... Mais pour les nombres fractionnaires ça se complique. Si j'ai une foule de cailloux, je peux diviser cette foule de cailloux jusqu'à obtenir un caillou. Mais je ne peux pas diviser un caillou sans le détruire. Qu'est-ce que c'est un demi caillou ? Bon si j'arrive à la molécule alors je ne peux pas diviser la molécule sans changer d'espèce chimique !

Et alors là qu'est-ce que c'est un ensemble de nombres : E = {1, 2, 3, 4} qu'est-ce que ça veut dire ?

Si y'en a qui savent, ça sera pas mal ...Merci.

[Bob Trebor]

Bonjour,
Si on ne me le demande pas, je crois savoir ce qu'est un nombre. Si on me demande ce qu'est un nombre euh ... je ne le sais plus !

bonjour

Le site de gerard Villemin: ici

[Aigoual]

Le site de gerard Villemin: ici

Pas mal, mais je ne crois pas que ce soit la réponse attendu par Titanic, qui sait de toute évidence à quoi servent les nombres.

Mais que sont-ils ?

Pour moi, je dirais qu’un nombre, c’est un identifiant dans un référentiel donné.
Un identifiant, c’est une désignation strictement unique, d’un élément précis, contenu dans ce référentiel.
Un référentiel, ce n’est ni plus ni moins qu’un ensemble structuré d’éléments de même nature.

Donc un nombre, c’est la désignation unique d’un élément d’un ensemble.

Bon. Ce n’est peut-être pas non plus la réponse attendue, mais il me semble que ça fonctionne…

Amicalement,

Aigoual.

[invité576543]

Bonjour,

Kronecker : "Dieu a inventé les nombres entiers, le reste est l'oeuvre des hommes"

La notion de nombre pose effectivement des tas de problèmes. Sur une base d'observation et de logique, les seuls nombres intuitifs sont 2, 3, 4, ... et les nombres entiers qui suivent.

Tout le reste, y compris et surtout 1 et 0, pose des problèmes...

Une fois les nombres entiers postulés (dont les postulats du 0 et du 1), le reste est une construction humaine qui se fait à partir des entiers pour tout ce qui est dénombrable, Z, Q, A. Les réels et le continu sont aussi des constructions, plus complexes (!), d'où R, C...

Ces constructions humaines servent pour les modèles de la physique, y compris les notions intuitives de mesures (du temps, des longueurs, des masses), ou sont des constructions mathématiques sans application pour l'écrasante majorité des humains...

Notons que les nombres pour les mathématiciens ne s'arrètent pas aux plus usuels. Pour bien faire, il faut inclure, entre autres:

- les nombres cardinaux, qui incluent une partie assimilable à N mais ne sont pas limités à cette partie;

- les nombres ordinaux, qui incluent une partie assimilable à N mais ne sont pas limités à cette partie;

- les nombres p-adiques;

- les quaternions et octonions;

...

Vu ainsi, le problème est vaste...

Je ne répond pas à la question, je me contente de présenter la perspective dans laquelle il me semble utile de regarder...

Cordialement,

[titanic]

Pas mal, mais je ne crois pas que ce soit la réponse attendu par Titanic, qui sait de toute évidence à quoi servent les nombres.

Mais que sont-ils ?

Oui, on sait en gros à quoi servent les nombres, car ils ont fait leurs preuves dans la pratique, mais que sont-ils ? Le site de villemin est intéressant en ceci qu'il rescense les différentes catégories de nombres.
Sur wikipédia on a ceci:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre

Les nombres seraient des entités abstraites pour modéliser, pour rendre intelligibles, des phénomènes physiques, et pouvoir agir sur eux en prédisant des occurences ultérieures...

Ces constructions humaines servent pour les modèles de la physique, y compris les notions intuitives de mesures (du temps, des longueurs, des masses), ou sont des constructions mathématiques sans application pour l'écrasante majorité des humains...

Je dirais que les nombres, quelque puisse être par ailleurs leur nature, ont fait leurs preuves en physique ...


1 caillou, 2 cailloux, 3 cailloux Faut voir

[matthias]

Bon, les nombres entiers sont directement conçus à partir de l'expérience sensible : 1 caillou, 2 cailloux, 3 cailloux ... ...

C'est vrai, mais il faut quand-même noter qu'en faisant ceci, on a déjà commencé a entrer dans l'abstraction. Pour compter les cailloux il faut passer de l'objet caillou au concept caillou, c'est à dire réunir des objets différents dans une catégorie unique purement conceptuelle. Il faut donc faire abstraction de leurs différences (aucun caillou n'est semblable à un autre), tout en leur reconnaissant à chacun une existence propre (sinon on ne pourrait pas les compter).

Entiers naturels vous dites ? Pas si sûr ....

[Aigoual]

Les nombres seraient des entités abstraites pour modéliser, pour rendre intelligibles, des phénomènes physiques, et pouvoir agir sur eux en prédisant des occurrences ultérieures...

en faisant ceci, on a déjà commencé a entrer dans l'abstraction. Pour compter les cailloux il faut passer de l'objet caillou au concept caillou, c'est à dire réunir des objets différents dans une catégorie unique purement conceptuelle.

Oui, c’est cela.
C’est pourquoi je disais que dénombrer, c’est identifier.

Identifier, c’est distinguer de manière unique.
C’est extraire l’objet de ce qui fait qu’il n’est pas distinct.
C’est l’abstraire (du latin abstrahere , détourner) du réel qui le contient

Le nombre est donc bien une abstraction, distincte du réel, servant à le représenter.

Amicalement,

Aigoual.

[titanic]

C'est vrai, mais il faut quand-même noter qu'en faisant ceci, on a déjà commencé a entrer dans l'abstraction. Pour compter les cailloux il faut passer de l'objet caillou au concept caillou, c'est à dire réunir des objets différents dans une catégorie unique purement conceptuelle. Il faut donc faire abstraction de leurs différences (aucun caillou n'est semblable à un autre), tout en leur reconnaissant à chacun une existence propre (sinon on ne pourrait pas les compter).

Entiers naturels vous dites ? Pas si sûr ....

Sauf que pour les nombres entiers et seulement pour eux, on n'est pas dans la pure abstraction comme pour les rationnels et les irrationnels. En base dix on a neuf symbôles conventionnels (1 2 3 4 5 6 7 8 9, ça s'écrit autrement en chinois ...) et avec ça on écrit tous les nombres entiers, par généralisation. Ces 9 symboles correspondent dans l'expérience sensible à 1 seul objet sur lequel on a collé l'étiquette : "1". A partir de là toute somme tombe sous le sens (de la sensibilité), à partir de là on comprend bien spontanément ce que veut dire 2=1+1;
3=2+1 =1+1+1 ...9 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1 ... donc il n'y a pas plusieurs objets sensibles qui sont pris en considération, mais un seul, après c'est la mémoire associative et consciente d'elle-même qui agit. N'importe quel nombre entier N peut s'écrire 1+1+1+1 + ... = N fois 1. Mais pour les nombres fractionnaires, 1/2;3/5;7/11 ... cela ne renvoie à rien du tout dans l'expérience sensible ...

Le nombre est donc bien une abstraction, distincte du réel, servant à le représenter.

Il faudrait s'entendre au préalable sur ce qu'on appelle "le réel"...Les nombres sont bien réels dans l'esprit du mathématicien, mais pas dans les phénomènes physiques eux-mêmes ! L'ellipse d'une planète autour du soleil n'existe que dans l'esprit du mathématicien, après coup, quand tous les relevés des mesures ont été faits et ont été retranscrits sur une feuille de papier. Mais ce qui seul existe véritablement c'est la planète à l'endroit où elle se trouve au moment où on parle ...

[matthias]

Sauf que pour les nombres entiers et seulement pour eux, on n'est pas dans la pure abstraction comme pour les rationnels et les irrationnels.

Même si on effectue cette tâche naturellement, le simple fait de compter suppose déjà une capacité d'abstraction, puisque on identifie des objets différents comme étant de même nature.
Je ne parle même pas de nombres ici. On peut très bien compter sans utiliser de nombres, il suffit de prendre un bout de bois et de faire une encoche pour chaque objet identifié. On peut alors dire que l'ensemble des encoches est la représentation d'un nombre, mais on passe alors à un niveau supérieur d'abstraction, puisque cette fois on considère le nombre indépendament des objets comptés. Il n'est pas si évident que ça de passer de 5 vaches, 5 moutons, 5 cailloux au concept du nombre 5.
La représentation du nombre est une autre histoire.

A partir de là toute somme tombe sous le sens (de la sensibilité), à partir de là on comprend bien spontanément ce que veut dire 2=1+1;
3=2+1 =1+1+1 ...9 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1 ... donc il n'y a pas plusieurs objets sensibles qui sont pris en considération, mais un seul

Et ça pour toi ce n'est pas de l'abstraction pure ? Déjà on parle de nombre et qui plus est de nombre qui ne compte rien de particulier (tu ne dis pas à chaque fois un chou plus un chou égal deux choux, mais bien 1 + 1 = 2, que tu es ensuite censé pouvoir appliquer à n'importe quelle catégorie d'objets).
Tu dis aussi qu'on ne prend qu'un objet sensible en considération, mais je ne suis pas d'accord. Si j'ai un caillou (objet sensible), je ne peux en aucun cas conceptualiser quelque chose du genre: ce caillou + le même caillou ... Tu es donc bien passé au concept caillou, qui n'est plus un objet sensible.

Mais pour les nombres fractionnaires, 1/2;3/5;7/11 ... cela ne renvoie à rien du tout dans l'expérience sensible ...

Les nombres rationnels sont clairement des abstractions aussi, mais ils renvoient bien au domaine sensible. On sort de la problématique du comptage, pour passer à la problématique de la mesure. J'ai deux bouts de bois dont le premier est grand comme neuf bouts de bois identiques au deuxième mis bout à bout (moyennement clair, mais bon).

[juudku]

pour les fractions ça marche pas mal en remplaçant l'exemple du caillou par tout autre "élément" qu'on puisse séparer: une tarte, une feuille de papier ou les phases lunaires (on peut dire que des fois on ne voit que la moitié de la lune)
le plus dur c'est bien de commencer à définir le nombre 1

[Aigoual]

Mais pour les nombres fractionnaires, 1/2;3/5;7/11 ... cela ne renvoie à rien du tout dans l'expérience sensible

Ho que si !
Je sais très bien ce qu’est un quart de tarte aux pommes…
… surtout si mon voisin à gardé les trois quart restant pour lui !

Il faudrait s'entendre au préalable sur ce qu'on appelle "le réel"

Fais une recherche sur FS, tu auras une pléthore de réponses.
Mais, je te l’accorde, avec également une pléthore de divergences.

Pour moi, le réel définit l’ensemble de "ce qui est", y compris ce qui le décrit.
En revanche, l’inverse n’est pas vrai : la description du réel n’est pas le réel.
En clair, le réel peut contenir ses propres représentations, mais aucune représentation ne peut contenir l’intégralité du réel.

Les nombres sont bien réels dans l'esprit du mathématicien, mais pas dans les phénomènes physiques eux-mêmes !

Exact, les nombres décrivent le réel et font donc partie du réel.
Les phénomènes physiques sont ce qu’ils sont, qu’ils soient décrits ou non, et font également partie du réel.

La représentation et l’objet de la représentation sont deux choses indépendantes.
La représentation peut s’étendre au-delà de l’existence physique de l’objet.
(c’est la cas des déduction mathématiques décrivant des domaines purement conceptuels)
Et l’objet n’a pas besoin de sa représentation pour être.
Mais tous deux (objet et représentation) font bien partie du réel.

Ce qui induit d’ailleurs que la représentation peut devenir elle-même objet de représentation (méta-représentation)
Avec possibilité de représentation de la représentation de la représentation…
… à l’infini.

Je ne suis pas un matheux, donc je n’irai pas plus loin en ce domaine, mais je sais que Gödel, pour produire son fameux théorème, a usé des métamathématiques.

Amicalement,

Aigoual.

(ps. Abstraire, c’est "détourner", parce que c’est "ab tracter", "tirer de là", "retirer", donc quelque part, déduire…)

[Aigoual]

le plus dur c'est bien de commencer à définir le nombre 1

Ca c’est vrai.
C’est le point unique d’origine de toutes les abstractions.

Le choix d’application du 1 est purement arbitraire.
1 être humain, ce sont des milliards de cellules.
1 cellule, ce sont des milliards de particules.

Le choix du 1, définit l’unité élémentaire de l’ensemble que je considère.
Ce choix, bien qu’arbitraire, n’est pas anodin.
Il induit toute la structure de la fraction du réel que je veux observer, excluant toutes les autres structures concurrentes.

Ce qui veut dire que, dans l’absolu de la totalité du réel, la notion du 1, bien que faisant toujours partie du réel, n’a plus aucun sens.

Amicalement,

Aigoual.

(ps. : désolé pour le doublon de l'exemple de la tarte...)

[matthias]

le plus dur c'est bien de commencer à définir le nombre 1

Ca c’est vrai.
C’est le point unique d’origine de toutes les abstractions.

Je n'en suis pas si sûr. L'unité ne trouve sa signification que confrontée au pluriel. C'est une fois que l'on franchi l'étape d'abstraction qui consiste à identifier deux objets différents comme appartenant à une même catégorie, que l'on peut concevoir l'unité.
Dire qu'il n'y a qu'un seul caillou, c'est avoir imaginé qu'il pouvait y en avoir plusieurs.

[titanic]

pour les fractions ça marche pas mal en remplaçant l'exemple du caillou par tout autre "élément" qu'on puisse séparer: une tarte, une feuille de papier ou les phases lunaires (on peut dire que des fois on ne voit que la moitié de la lune)
le plus dur c'est bien de commencer à définir le nombre 1

Oui, dès qu'on plaque le "1" sur un objet quelqu'il soit, on conceptualise et donc on "abstrait", mais ici ce n'est pas à proprement parler "ab-straire" mais "con-struire" au sens de "façonner avec". Qu'on ait un seul objet sensible ou plusieurs, c'est toujours de la conceptualisation au sens de transcription en objets de pensée de phénomènes sensibles, et les nombres ne sentent pas le chou (cf matthias)...On établit des concordances entre la réalité sensible et celle intellectuelle, et ces concordances sont conventionnelles. Par analogie l'ellipse des planètes autour du soleil, qui est une construction a priori et a posteriori de mathématiciens, non seulement n'existe pas actuellement mais n'a jamais existé. Mais ce qui est troublant c'est que ces concordances permettent, en fin de course, de réaliser des prouesses technologiques ...

Je sais très bien ce qu’est un quart de tarte aux pommes…
… surtout si mon voisin à gardé les trois quart restant pour lui !

Euh ... 3/11; 3/5;21/17; 111/19; pi; racine carrée de pi; une demie molécule; un demi electron; un huitième de quartz ... ... ça ne me dit rien du tout !

[matthias]

3/11; 3/5;21/17; 111/19; pi; racine carrée de pi; une demie molécule; un demi electron; un huitième de quartz ... ... ça ne me dit rien du tout !

pi et racine carrée de pi ne sont pas rationnels, ce qui n'empêche d'ailleurs pas pi de se "rapporter" au sensible.
Et si j'ai 111 tartes (puisque vous avez l'air de préferer les tartes) et que je veux donner une part égale à 19 personnes, ça ne me paraît pas totalement inconcevable.
Si tu veux juste dire que ces nombres sont abstraits on est d'accord depuis le début, mais TOUS les nombres sont abstraits, et ils le sont encore plus si on veut qu'ils ne sentent plus le chou.