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indécidabilité de la décidabilité

  1. #151
    Xoxopixo

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par ilelogique Voir le message
    Pour les remarques de Xoxopixo : je ne vois pas le rapport avec le sujet.
    Le document proposé ici, propose tout de même une reflexion de fond si on se place dans le cadre d'une étude épistémologique.
    Ici, vous semblez ne prendre le problème que sous son aspect mathématique, avec, à la rigueur, une prise en compte du type de logique employée.
    C'est moyennement interresant si j'ose dire et trouvera certainement plus de réponses précises sur un forum mathématique.

    D'un point de vue épistémologique par contre, on s'interresse vraiment à ce que représente un concept, qui on le voit est un concept par lui-même.
    Il n'y a pas de mathématique ou même de logique sans concept.

    La question "paradoxale" consiste alors à se demander si un concept est lui-même un concept, et donc par ce fait ne peut qu'exister en faisant référence à lui-même (s'autojustifiant) ou ne pas exister.
    Or on le voit, le concept d'existence, pour le moins, nécéssite un concept, ce qui réfute la non-existence du concept.
    Ca devient circulaire et arbitraire (on ne sait pas où on en est dans la boucle).

    Une réponse à ce paradoxe pourrait-être qu'un concept n'est pas un concept, c'est à dire que la définition de ce qu'est un concept est particulière à chaque concept particulier, c'est à dire une construction de la pensée qui s'établit face à son objet particulier (interne ou externe à l'individu).

    La pensée et le concept peuvent être ici considérés comme étant la même chose, c'est à dire que le concept lui-même est le processus physique dynamique de la pensée qui ne nécéssite pas de postuler une existence suplémentaire du concept pour pouvoir décrire ce concept.
    Un concept serait en ce sens plus subtil que ce qu'il parait et de la même manière que ne l'est la pensée.
    Décrire la pensée dans toute sa finesse permetrait donc de manier tous les concepts mais ce n'est probablement pas à la portée des mathématiques.
    Celles-ci se limitant à ce qui peut être exprimé de manière intersubjective, bien qu'on peut imaginer évidemment que les concepts non mathématiques mais admis de fait par les mathématiques puissent être pensés également et peut-être utilement, permettant de relier les seuls concepts exprimables avec plus de finesse.

    C'est le contexte particulier ici, qui défini si le concept est adapté à son objet puisqu'il est l'interaction dynamique de l'acte de penser avec son objet.
    On prend "simultanément" conscience de ces actes de pensée mathématiques et logiques, ce qui permet ensuite de les exprimer et de les combiner.

    C'est ce qu'on appelle, je pense, raisonner.
    Seulement, la pensée n'est pas seulement la raison et on peut donc supposer qu'à une pensée non raisonnée (non exprimable)peut correspondre aussi à un concept, avec tout autant de légitimité que ce qui etait supposé pour le concept "raisonnable", 'exprimable".
    Penser n'est pas raisonner.

    Le raisonnement est je pense en quelque-sorte la pré-selection consciente des actes de pensée logique et mathématiques en vue de les exprimer.
    Ce qui permet à ce moment également de nous les exprimer à nous-même et "penser avec raison" de manière catégorique et intersubjective. (qui se conserve dans le temps).

    Le concept binaire de décidabilité et d'indécidabliité serait donc ici inadapté (puisque non assez représentatif de l'unicité du concept face à son objet réel,) à manier l'ensemble des concepts, qui existent pourtant de manière inexprimable, non verbaux, non "mathématiques" et liés de manière peut-être très complexes.

    Il vaut mieux dire, je pense, pour pouvoir parcourir les concepts dans leur ensemble, qu'il y a autant de concepts qu'il n'y a de situations, dont certaines se ressemblent et que nous appelons parfois "mathématiques ou logiques", plutôt que de dire qu'il n'y a que 2 possibilités, le décidable ou l'indécidable en ce qui concerne notre réalité commune ("réel physique"), qui n'est pas "la réalité mathématique "inexistante ou/et existantes" à "jamais".

    La question est donc de savoir à quelle question nous cherchons ici des réponses.
    A la question du réel physique ou à celle du réel mathématique ?
    Ou entre les deux...

    -----

    En bon vivant, rien ne vaut un bonne logique ternaire.

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  3. #152
    tqtq

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Bonjour,

    Je vais essayer de faire avancer le problème en essayant de répondre directement par un exemple.

    Petite note: par souci de clarté cognitive, l'exemple se veut simple voire simpliste. Ainsi j'éviterai les termes "problème" ou "énoncé" etc... Les adeptes de la "formalisation" auront donc le loisir de le décrier. Je les remercie au passage de leurs remarques constructives qui ne seront pas des agressions personnelles cachées sous le masque de la maïeutique. Ceci dit j'espère aborder le fond du problème.

    En constatant le nombre de pages "théoriques" certes intéressantes, mais qui n'ont pas permis ne pas trancher clairement le problème, je me suis amusé à tenter de construire un exemple de toutes pièces.

    La situation de base: "Ma brosse à dents est-elle rouge?"

    Pour y répondre, il me suffit de rentrer dans ma salle de bains. J'ouvre la porte et là, deux cas de figure:
    -ma brosse à dents est visible, auquel cas la situation est évidemment décidable;
    -ma brosse à dents est dans une boîte magique qui restera "à jamais" fermée (merci d'y croire pour les besoins de notre problème), et donc la situation est indécidable.

    Jusque là, la décidabilité du problème est restée décidable.

    Maintenant, imaginons que la salle de bains soit verrouillée et que je sois à l'extérieur, dans le couloir par exemple. Je précise que je sais d'une part qu'il existe des boîtes magiques qui ferment "à jamais" (et ma brosse à dents est peut-être dans l'une d'entre elles dans la salle de bains mais je ne le sais pas encore puisque je suis à l'extérieur de ma salle de bains verrouillée); et d'autre part je sais aussi que ce n'est pas ce système magique précis qui verrouille ma salle de bains.
    Ainsi la salle de bains est-elle peut-être verrouillée à tout jamais, ou peut-être pas. On trouvera peut-être un jour la technologie qui permettra l'ouverture de la salle de bains, ou peut-être pas (un peu comme la machine de Turing qui s'arrête... ou pas).

    Finalement, tant que je ne peux pas entrer dans la salle de bains, et que je ne sais pas si je le pourrais un jour, je ne sais actuellement pas si je pourrais être en mesure de déterminer la couleur de ma brosse à dents le jour hypothétique où je rentrerai dans la salle de bains, puisqu'elle sera soit visible soit dans la boîte magique.
    Autrement dit,je ne peux actuellement ni affirmer ni infirmer si je pourrais savoir si ma situation de base sera décidable.

    Conclusion: si mon raisonnement est correct, j'ai trouvé un exemple qui permet de répondre par l'affirmative à la question initiale relative à l'indécidabilité de la décidabilité: ça existe. Peut-être qu'un raisonnement avec différents verrouillages supplémentaires pour la maison, le quartier,... (pour rester dans le thème de l'exemple) permettra d'obtenir par récurrence une chaîne d'indécidabilité aussi grande qu'on le désire.
    Si mon raisonnement est caduc, merci d'en préciser les failles, voire d'y remédier, ça serait vraiment constructif.

    PS: Ma brosse à dents est bleue.

  4. #153
    f.oreste

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    pour moi, le couple décidable/indécidable consiste seulement dans la faculté a dire si un objet est vrai ou faux booléenement parlant
    il existe
    soit, il est vrai et il est décidable, puisqu'il donne une solution "vrai" (donc en fonction d'une règle (if a == 0) par exemple
    soit, il est faux et a != 0

    pour qu'un probleme soit déclaré déciable ou indécidable, il faut qu'il soit testable, seule condition pour laquelle il puisse exister une solution

    donc un probleme indécidable n'est pas formelement valide (ceci le rendant intestable) et donc inversement, un problème testable est décidable puisqu'il peut dire si a == 0 ou non.

    autre chose, dans un arbre de dénombrement l'ensemble des solutions sont strictement équivalente... pusique toutes a-priori pourrait-être solution... delà que deux oranges posée l'une à coté de l'autre sont indécidable, car il est impossible de poroduire une "chaine" de raisonnement tel qu'il soit possible de rendre l'une discernable de l'autre (enfin presque, puisqu'il deux oranges, elles sont donc dénombrable une à une, et il devient possible de produire une choix rationnel en fonction de ce libel particulier et idenfiant particulier de chacune des deux (oranges)...

    quand au concept, c'est le produit d'une reflexion qui peut-etre perçut comme une idée(intuition idéelle pure) ou comme un description de cette idée pure(elle même produit d'une reflexion)

    le point est une idée pure, représentation parfaite et idéelle de toute chose
    après réflexion et multiplication, l'on obtient le concept de droite codant la rectitude parfaite et idéelle mais formé d'un infinité de point

    de ce que la droite pure est aussi une idée, si l'on conçoit le concept de dimension, ou l'on ajoute à celle-ci une règle normé d'un segment de droite unitaire censée représenté le possible minimal de la variation dimentionnelle... (mesurable et par là représentable)

    concept viens de concevoir, je ne dirais pas a quoi "cept" en latin fait référence, wikitionnaire etant là pour cela... mais l'on a bien a faire à une idée de reproduction sinon à l'identique sinon adjointe d'une idée de modification, d'une modification substancielle, donc non-conforme, mais rationelle en ce que a+b n'est pas strictement à ab, mais à ab+(quelquechoses)

    delà le concept, plus qu'une simple idée, tout en étant de l'ordre de l'idéel pur donc un element possible à toute conscience comme dirait husserl.

  5. #154
    Médiat

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Bonjour,

    Citation Envoyé par tqtq Voir le message
    Les adeptes de la "formalisation" auront donc le loisir de le décrier. Je les remercie au passage de leurs remarques constructives qui ne seront pas des agressions personnelles cachées sous le masque de la maïeutique. Ceci dit j'espère aborder le fond du problème.
    Vous voulez faire une analogie pour illustrer un problème purement formel, depuis 2000 ans on sait que l'analogie n'a pas valeur de preuve, mais dans ce cas particulier (système formel), elle a plus de chance de créer des mauvaises interprétations qu'autre chose ; en tout état de cause,
    Conclusion: si mon raisonnement est correct, j'ai trouvé un exemple qui permet de répondre par l'affirmative à la question initiale relative à l'indécidabilité de la décidabilité: ça existe.
    Non, vous avez juste fait une analogie ; trouver un exemple consisterait à proposer une théorie formelle possédant cette propriété.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #155
    ilelogique

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Bonjour,
    je suis navré, je n'avais pas vu que la discussion se poursuivait !
    Il me semble que j'avais proposé la preuve suivante :
    Et je pense que si il y a un souci je verrai ça au niveau de la coïncidence supposée entre les décidabilités aux sens de Gödel et de Turing que je suppose sans en être certain
    Ensuite je crois que Giuseppe Longo en a proposé une démonstration.
    Donc, la question est de savoir s’il existe ou non des énoncés dont la décidabilité n’est pas décidable.
    Nous savons grâce à Gödel que pour tout énoncé A de l’arithmétique (notée AP), il existe un prédicat Théo(A) qui code le fait que A soit un théorème de AP (on peut coder « théo(A) = il existe une preuve Y de A ») donc
    le prédicat « Déc(A) = Théo(A) ou Théo(nonA) » est un prédicat affirmant que A est décidable dans
    AP, il devrait être codable aussi. Or si on appelle E l’ensemble des énoncés décidables et G celui des
    énoncés indécidables dans AP, alors, E étant récursivement énumérable mais non récursif*, on a G
    qui n’est pas récursivement énumérable (sinon E serait récursif), donc si pour toute formule A on a
    Déc(A) qui est dans E, alors, si la décidabilité au sens de Gödel implique celle au sens de Turing (ce
    qu’on peut raisonnablement croire...), il existe un algorithme (une machine de Turing) qui s’arrête à
    coup sûr et décide pour chaque formule A de la validité de Déc(A), si bien qu’on saurait pour toute
    formule A si elle est décidable ou non, ce qui est contradictoire avec le fait que E soit non récursif,
    donc on déduit qu’il existe une formule A telle que Déc(A) est dans G, c’est-à-dire l’existence d’une
    formule dont la décidabilité n’est pas décidable... Ceci impliquerait bien sûr qu’il y aurait une formule
    dont la décidabilité de la décidabilité ne serait pas décidable et donc l’existence, par induction, d’une
    chaîne infinie...
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une

  7. #156
    shub22

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Envoyé par STL
    Le théorème d'incomplétude conduit à une révision de la logique de Husserl.
    En effet, il interdit d'attribuer aux théories mathématiques la propriété de "définition" ou un caractère "nomologique"

    Les théories mathématiques, l'arithmétique, l'analyse ou la théorie des ensembles, comportent des propositions indécidables à partir de leurs axiomes. Néanmoins, ces propositions ne sont indécidables, ni démontrables, ni réfutables, que relativement au système dans lequel elles sont construites.
    Dès 1931, Gödel souligne que son résultat ne prouve pas l'existence de propositions indécidables en soi, mais seulement dans une théorie donnée (Gödel [1931?], t.III, p.35 ; également, Gödel [1934], t.I, p.367).
    En réalité, le théorème donne le moyen de compléter toute théorie que l'on a prouvée incomplète.
    Il suffit d'ajouter comme axiome l'une des propositions dont on a établi l'indécidabilité.
    On obtient un système plus puissant, qui comporte des propositions indécidables mais que l'on peut compléter selon le même processus.

    Ce processus d'extension détermine une série indéfinie de systèmes, que l'on peut supposer constituer un édifice complet.
    Toute proposition formulée dans l'un des systèmes est décidable, ou démontrable ou réfutable dans l'édifice,
    c'est-à-dire dans le système où elle est formulée ou dans un système plus puissant.

    La seule condition, pour que l'édifice puisse être supposé complet, est que la règle qui détermine l'extension indéfinie des systèmes, soit non récursive ou non mécanique et qu'aucune machine ne puisse l'appliquer.

    Cela signifie que la règle comporte un aspect sémantique et s'appuie sur le sens des axiomes plutôt que sur la combinatoire des symboles.
    C'est fort intéressant cet exposé et j'ai étudié le théorème de Gödel mais sans aller aussi loin dans votre exposé qui se réfère à la logique de Husserl que je ne connais pas. Je me suis arrêté en quelque sorte à Wittgenstein.
    Il me semble que dans ce raisonnement il y a une faille non ? Si l'on ajoute comme axiome la proposition ou le théorème qui est indécidable, on obtient un autre système dans lequel cette proposition n'est pas indécidable formellement puisque c'est un axiome qui existe et qui fait partie des axiomes de base. Objection que vous soulevez d'ailleurs: puisque le théorème de Gödel est prouvé il existe forcément une autre proposition indécidable.
    Et qu'il faudrait rajouter à son tour au système d'axiomes éliminant cette incomplétude et ainsi de suite...
    On obtiendrait là une régression infinie en voulant artificiellement résoudre ce problème de l'incomplétude non ? Il me semble d'ailleurs que vous répondez en disant qu'il faudrait inventer dans ce système une super-règle ou méta-règle pour stopper la récession indéfini ce qui me semble très artificiel pour résoudre le problème mais ça semble être d'après ce que vous évoquez la seule solution.
    Bon j'ai peut-être rien compris à ce que vous disiez : mes souvenirs de math sont loin haha!

  8. #157
    ilelogique

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    je pense que ce que vous dites n’empêche pas ma question (ma preuve est-elle correcte ?).
    Oui, bien sûr, on peut ajouter indéfiniment des axiomes (qui étaient indécidables dans la précédente) à une théorie (on a donc aussi une chaîne de théories) mais ici, pour ma question, c'est simple :
    Existe-t-il dans toute théorie (voire dans une seule !) qui contient AP, des énonncés dont la décidabilité n'est pas décidable ?
    Le fait que si la réponse est positive alors ça créée une chaîne infinie n'est qu'une conséquence,
    la question est donc toujours en débat
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une

  9. #158
    shub22

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Votre réponse est compliquée et il a fallu que je la lise et relise plusieurs fois avant de me faire une idée. Mais oui! J'ai fini par comprendre (à peu près vu mes souvenirs lointains hah!) ce que vous dites.
    A la limite mais là je débloque un peu et ne suis pas spécialiste comme vous visiblement, il faudrait peut-être concevoir et inventer une métathéorie, les fameuses méta-mathématiques dont parle Hilbert je crois et dans lequel la complétude serait réalisée. Et dont les mathématiques que nous connaissons et qui sont vraies jusqu'à preuve du contraire serait un sous-ensemble doté du théorème de l'incomplétude.
    J'imagine que les chercheurs en math ont du déjà réfléchir à cette question.
    Bon pure spéculation que ce que je dis et je ne sais pas (je n'en sais rien) si au niveau de la recherche en math une telle hypothèse (ou construction) est possible.

  10. #159
    ilelogique

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    re, on est en méta-mathématique, il me semble, dès lors que l'on parle du langage mathématique lui même, par exemple lorsqu'on a besoin des entiers naturels pour les définir...
    quand le langage parle du langage,
    ici, je ne pense pas qu'il soit nécessaire, je pense que mon affirmation peut etre valide en restant au premier niveau
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une

  11. #160
    ilelogique

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Bonjour,
    j'y pense, ce qui est sûr, c'est que la décidabilité de ma question n'est pas indécidable puisque sinon la réponse serait positive.
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une

  12. #161
    shub22

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Un peu difficile de s'y retrouver. Si je comprends bien, la définition et formalisation d'une “méta-mathématique“ est en relation étroite avec le théorème de Gödel comme sur ce lien de ce forum Meta-mathématique alors que sa définition peut varier considérablement suivant les auteurs et les époques: voir ce lien en particulier d'Encyclopédia universalis qui en propose au moins trois définitions dont celles de Hilbert et de Tarski.
    Si la définition d'un méta-discours c'est d'être un discours sur le discours, dans le cas des méta-mathématiques la définition semble plurivoque et bien plus compliquée. Et pas forcément reliée directement avec le théorème de Gödel, tout dépend de la définition qu'on prend.
    Le problème est vaste au sujet de ces niveaux “méta“: par exemple on pourrait énoncer que les méta-sciences (terme dont je ne suis pas sûr qu'il existe et même ça m'étonnerait) ça serait tout bonnement de l'épistémologie.
    Épistémologie= epistémê+logos, soit discours sur le savoir...

  13. #162
    Matmat

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par shub22 Voir le message
    Le problème est vaste au sujet de ces niveaux “méta“: par exemple on pourrait énoncer que les méta-sciences (terme dont je ne suis pas sûr qu'il existe et même ça m'étonnerait) ça serait tout bonnement de l'épistémologie.
    Épistémologie= epistémê+logos, soit discours sur le savoir...
    Non on ne peut pas énoncer celà .

    une phrase mathématique : tel objet mathématique a telle propriété (étudiable par les) mathématique(s)
    une phrase métamathématique : "tel objet mathématique a telle propriété (étudiable par les) mathématique(s) " est un objet (étudiable par les) mathématique(s) , en effet cet objet a par exemple la propriété mathématique d'être démontrable ou pas. les métamathématiques sont toujours des mathématiques .

    une phrase scientifique : tel objet des sciences a telle propriété (étudiable par l'éxpérimentation) scientifique
    MAIS : "tel objet des sciences a telle propriété (étudiable par l'éxpérimentation) scientifique " n'est pas un objet des sciences ayant des propriétés (étudiable par l'éxpérimentation) scientifique .
    Dernière modification par Matmat ; 05/09/2017 à 08h15.

  14. #163
    shub22

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par Matmat Voir le message
    Non on ne peut pas énoncer celà .

    une phrase mathématique : tel objet mathématique a telle propriété (étudiable par les) mathématique(s)
    une phrase métamathématique : "tel objet mathématique a telle propriété (étudiable par les) mathématique(s) " est un objet (étudiable par les) mathématique(s) , en effet cet objet a par exemple la propriété mathématique d'être démontrable ou pas. les métamathématiques sont toujours des mathématiques .

    une phrase scientifique : tel objet des sciences a telle propriété (étudiable par l'éxpérimentation) scientifique
    MAIS : "tel objet des sciences a telle propriété (étudiable par l'éxpérimentation) scientifique " n'est pas un objet des sciences ayant des propriétés (étudiable par l'éxpérimentation) scientifique .
    Tu te réfères à qui , à quoi et à quelle théorie pour dire cela ? Tarski, Bourbaki ou Hilbert ?
    Si je reprends le lien d'Encyclopédie Universalis, il y aurait trois définitions des métamathématiques possibles et certainement par ailleurs plus que cela.
    Je ne mets pas en doute la validité de ta définition mais c'est semble-t-il une définition des métamathématiques parmi pas mal d'autres.
    Le problème dans ce type de débat c'est que chacun est persuadé de détenir la bonne définition, la sienne en général haha!

  15. #164
    shub22

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Pardon j'ai cherché l'avatar qui permet de corriger mon propre message et j'ai pas trouvé donc je poste en additif.
    Un jour en parlant avec un matheux, je lui ai demandé “qu'est-ce que les méta-mathématiques“ et il m'a répondu que les métamathématiques c'était tout ce qu'on avait pas encore découvert dans les maths.
    Le problèmes dans les sciences exactes comme les maths et l'épistémologie qui en découle c'est le verbe “être“ qui nous provient tout droit des Grecs. Je parle du point de vue de quelqu'un qui a fait aussi des sciences (dites) humaines et donc de la linguistique donc on aborde la question de l'énonciation aussi au travers de ces objets complexes mais élémentaires que sont les morphèmes et autres phonèmes sans compter derrière la sémantique et tout le reste.
    Le problème non pas d'une définition mais DE LA DEFINITION d'un objet complexe et assez abstrait comme les métamathématiques en épistémologie!
    Bon c'est ce que je pense et je ne pense pas que dans un domaine aussi complexe, je détienne la vérité. La preuve j'ai pas ma définition à proposer.

  16. #165
    Matmat

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Selon toutes ces définitions (Tarski, Bourbaki ou Hilbert, encyclopédia universalis ) les métamathématiques sont des mathématiques, c'est pourquoi lorsque tu fais l'analogie avec l'épistémologie vis à vis des sciences tu montres une incompréhension grave de ces définitions , d'où ma réponse .

  17. #166
    shub22

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Terminologiquement le terme de métamathématiques renvoie ou peut renvoyer indiscutablement à de l'épistémologie même si pour toi ça n'a rien à voir.
    Nan c'est toi qui a tout faux et qui comprend pas. Parce que tu veux pas ou tu cherches pas à comprendre ? J'en sais rien. De tout façon je te laisserai le dernier mot car sur ces forums c'est en général ce que les gens cherchent!! Avoir le dernier mot tout comme les philosophes d'ailleurs...
    Si pour Hilbert c'est une discipline mathématique, pour Tarski c'est une méthodologie des sciences déductives.
    T'as qu'à lire mais cette fois pas d'une traite ce qu'ils disent dans le résumé de L'encyclopédie Universalis et surtout chercher à comprendre les nuances voire les subtilités de leurs définitions...
    Bon j'arrête de suivre ce topique, c'est un peu casse-bonbon de discuter avec des gens qui veulent toujours avoir raison quel que soit le thème!
    Bonne suite

  18. #167
    Deedee81

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Salut,

    Citation Envoyé par shub22 Voir le message
    Un jour en parlant avec un matheux, je lui ai demandé “qu'est-ce que les méta-mathématiques“ et il m'a répondu que les métamathématiques c'était tout ce qu'on avait pas encore découvert dans les maths.
    Il se trompait. Comme quoi on peut être matheux et ne pas tout connaitre en math

    Va voir ici par exemple : http://www.larousse.fr/dictionnaires...9matique/50867

    Non, les métamathématiques ne sont pas "ce qui reste à découvrir". Ca, ça s'appellerait plutôt "conjectures", "problèmes ouverts" (ce qui ne couvre évidemment qu'une partie de l'inconnu).
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  19. #168
    Médiat

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Salut,
    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Il se trompait. Comme quoi on peut être matheux et ne pas tout connaitre en math
    D'autant plus que le vocabulaire démontre un parti-pris philosophique, et le fond une ignorance des théorèmes d'incomplétude ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #169
    Deedee81

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    D'autant plus que le vocabulaire démontre un parti-pris philosophique, et le fond une ignorance des théorèmes d'incomplétude ...
    En fait il voulait peut-être dire "c'est tout ce que je ne sais pas en math"
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  21. #170
    Médiat

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    En fait il voulait peut-être dire "c'est tout ce que je ne sais pas en math"
    Dans ce cas ce n'est pas métamathématiques mais méga-mathématiques
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #171
    ansset

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Il me semble que déjà quand on confond les termes "incomplétude" et son pseudo analogue "incertitude", on ne part pas bien dans une réflexion constructive.
    mais ici ( comme ailleurs ) Gödel et Einstein semblent "inspirer" beaucoup.
    la question reste de savoir ce que ceux qui en parlent ont réellement inspiré.
    Dernière modification par ansset ; 05/09/2017 à 18h34.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  23. #172
    ilelogique

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    re bonjour,
    je vous remets ma proposition de preuve, qu'en pensez-vous svp ?
    La question est de savoir s’il existe ou non des énoncés dont la décidabilité n’est pas décidable au sein d'une théorie, mettons l'arithmétique de Peano (AP).
    Nous savons grâce à Gödel que pour tout énoncé A de AP, il existe un prédicat Théo(A) qui code le fait que A soit un théorème de AP (on peut coder « théo(A) = il existe une preuve Y de A ») donc
    le prédicat « Déc(A) = Théo(A) ou Théo(nonA) » est un prédicat affirmant que A est décidable dans
    AP, il devrait être codable aussi. Or si on appelle E l’ensemble des énoncés décidables et G celui des
    énoncés indécidables dans AP, alors, E étant récursivement énumérable mais non récursif, on a G
    qui n’est pas récursivement énumérable (sinon E serait récursif), donc si pour toute formule A on a
    Déc(A) qui est dans E, alors, si la décidabilité au sens de Gödel implique celle au sens de Turing (ce
    qu’on peut raisonnablement croire mais est-ce prouvé ???...), alors il existe un algorithme (une machine de Turing) qui s’arrête à
    coup sûr et décide pour chaque formule A de la validité de Déc(A), si bien qu’on saurait pour toute
    formule A si elle est décidable ou non, ce qui est contradictoire avec le fait que E soit non récursif,
    donc on déduit qu’il existe une formule A telle que Déc(A) est dans G, c’est-à-dire l’existence d’une
    formule dont la décidabilité n’est pas décidable...

    Merci de me dire vos objections et remarques à cette petite preuve svp ?
    bien à vous,
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une

  24. #173
    ilelogique

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Bonsoir,
    svp : personne ne me répond, aussi est-ce :
    1) Parce que vous ne savez pas ?
    2) Parce que ça ne vous intéresse pas ?
    3) Parce que ma preuve vous paraît idiote ?
    4) Parce que c'est évident ?
    5) Parce que je ne suis pas clair ?

    Je suis un peu désemparé du coup, si quelqu'un passe par là pour critiquer ma preuve svp ?
    merci
    S'il n'y avait pas de vérité absolue, "toute vérité est relative" en serait une

  25. #174
    Dattier

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Bonsoir,

    Je pense que personne ici ne sait ou ne veut te répondre, par contre ici (si l'anglais ne te fait pas peur, sinon il y a google) tu auras peut-être tes réponses :
    https://math.stackexchange.com/

    Bonne soirée.
    Raisonnement empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

  26. #175
    Schrodies-cat

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par ilelogique Voir le message
    re bonjour,
    je vous remets ma proposition de preuve, qu'en pensez-vous svp ?
    La question est de savoir s’il existe ou non des énoncés dont la décidabilité n’est pas décidable au sein d'une théorie, mettons l'arithmétique de Peano (AP).
    Nous savons grâce à Gödel que pour tout énoncé A de AP, il existe un prédicat Théo(A) qui code le fait que A soit un théorème de AP (on peut coder « théo(A) = il existe une preuve Y de A ») donc
    le prédicat « Déc(A) = Théo(A) ou Théo(nonA) » est un prédicat affirmant que A est décidable dans
    AP, il devrait être codable aussi. Or si on appelle E l’ensemble des énoncés décidables et G celui des
    énoncés indécidables dans AP, alors, E étant récursivement énumérable mais non récursif, on a G
    qui n’est pas récursivement énumérable (sinon E serait récursif), donc si pour toute formule A on a
    Déc(A) qui est dans E, alors, si la décidabilité au sens de Gödel implique celle au sens de Turing (ce
    qu’on peut raisonnablement croire mais est-ce prouvé ???...), alors il existe un algorithme (une machine de Turing) qui s’arrête à
    coup sûr et décide pour chaque formule A de la validité de Déc(A), si bien qu’on saurait pour toute
    formule A si elle est décidable ou non, ce qui est contradictoire avec le fait que E soit non récursif,
    donc on déduit qu’il existe une formule A telle que Déc(A) est dans G, c’est-à-dire l’existence d’une
    formule dont la décidabilité n’est pas décidable...

    Merci de me dire vos objections et remarques à cette petite preuve svp ?
    bien à vous,
    Oui, mais vous utilisez comme hypothèse que votre ensemble E n'est pas récursif, ce qui est précisément le point délicat.

    Comment montrer ceci ? j'ai ma petite idée: supposons que l'indécidabilité soit calculable: on peut, quand on a un énoncé dont on sait qu'il est indécidable, le prendre comme axiome (ou sa négation), on pourrait ainsi, par récurrence, obtenir une théorie à l'axiomatique récursive complète, ce qui contredit le théorème de Gödel.
    Ce n'est qu'une idée de démonstration, il faut préciser certaines choses.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  27. #176
    Schrodies-cat

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par ilelogique Voir le message
    J'essaye la citation mais :
    1) Je dois me connecter avant
    2) l'écran est alors tout petit (je ne vois que 5 lignes)
    3) ça cite tout le message, il faut donc effacer le reste et recommencer si on veut re-citer.
    4)On ne me propose plus de visualiser mon message avant de le poster !!
    Il y a une section pour poser ce genre de questions:
    Vie du forum
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

  28. #177
    ansset

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Citation Envoyé par Schrodies-cat Voir le message
    Comment montrer ceci ? j'ai ma petite idée: supposons que l'indécidabilité soit calculable....
    qu'entends tu par là ?
    il me semblait que la notion d'indécidabilité était intrinsèque à une proposition donnée dans un cadre lui aussi défini.
    elle n'est pas issue d'un défaut de démonstration.
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  29. #178
    Schrodies-cat

    Re : indécidabilité de la décidabilité

    Je n'ai pas voulu être très formel. On peut définir la démontrabilité, et donc l'indécidabilité dans une théorie.

    Dans une métathéorie permettant de représenter la théorie de Turing, on peut se poser la question de la récursivité de l'ensemble des indécidables d'une théorie.
    Dans le cas d'une théorie contenant l'arithmétique du premier ordre, la réponse est non.
    Selon la métathéorie dans laquelle on se place, on pourra prouver ou non l'indécidabilité de certains énoncés particuliers, mais il restera toujours des énoncés indécidables dont on ne peut prouver l'indécidabilité.
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .

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