Qu'est-ce qu'une conjecture ?

[stefjm]

J 'avoue ne pas comprendre cette appétence pour les formules universelles, cf. mon message #183 qui montre qu'à chaque formule universelle dont on ne sait rien, il correspond une formule existentielle dont on ne sait rien.

Je ne sais pas répondre mais le coté dérangeant par rapport à ce que je savais déjà me plait bien.
Il faudrait invité Marc Legrand à ce débat scientifique.
Je suis sûr qu'il serait fier de l'étudiant Médiat.
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[Médiat]

J'apporte encore un point : supposons que je sois capable de démontrer ; mais que rien ne soit connu sur dans le cadre de , je peux donc émettre une conjecture, à votre avis je vais conjecturer (qui m'est utile) ou (qui ne me sert à rien ici) ? A quel moment je dois me demander si est universelle ou existentielle pour prendre ma décision ?

Petite précision : ce débat n'est pas scientifique, le statut de conjecture n'étant pas une propriété intrinsèque d'une formule ni dans une théorie, ni dans un modèle (mais épistémologique, comme je l'ai déjà écrit).

[Schrodies-cat]

Citation Envoyé par contrexemple
Peux-tu me donner une conjecture connue ou la conjecture (sous sa forme connue) est existentielle ?

Le problème des équations de Navier-Stokes par exemple, ou en gros, on peut conjecturer qu'il y existe toujours une solution qui est de plus unique.

Après "trouver une solution à l'équation de NS" ça a plein de sens différents

La conjecture est que pour tout ensemble de de conditions initiales, il existe une solution.
Il serait en fait déjà un grand progrès de le démontrer pour un ensemble de conditions initiales assez vastes ...

Il s'agit donc d'un énoncé universel.
En fait, nombre d'énoncés commencent par une alternance de quantificateurs "quel que soit", "il existe"; et les concepts existentiel/universel n'épuisent pas la classification des énoncés.

On notera que la conjecture devenue le théorème de Fermat-Wiles est un énoncé universel simple ( de la forme "il n'existe pas n tel que p(n)" qu'on peut traduire en "quel que soit n, non p(n).
Elle avait l'avantage d'être réfutable au sens de Popper, c'est à dire que si un tel n avait existé, on aurait pu le prouver par un simple calcul; ce qui conduisait à le préférer à sa négation sur le plan épistémologique.
Par contre, la conjecture des nombres premier jumeaux: "pour tout n, il existe une paire de nombres premiers jumeaux plus grand que n" ne satisfait à priori pas cette conditions: cet énoncé est plus complexe du point de vue logique.

P.S. la conversation est intéressante mais a sérieusement dérivé du sujet initial, serait-il possible de splitter ce fil ?

[Médiat]

"il n'existe pas n tel que p(n)"

Raté : n = 2 donne un très bon contrexemple !

De toute façon il est évident (mais pas pour tout le monde semble-t-il) que l'on peut passer d'une formule à une formule et vice-versa ; ce que je conteste c'est que seules les formules universelles seraient intéressantes.

[contrexemple]

Bonjour,

Ma question (Connaissez-vous une conjecture dont la forme ne soit pas universelle ?) a un objectif, en effet du fait que personne n'ait put en citer une, vas t-on dire donc il peut exister une telle formule ou la négation universelle...
Naturellement on va être amené à pencher vers la forme universelle, en effet on est incapable d'en trouver un contre-exemple donc on n'est plus amené à conjecturer que c'est la forme universelle qui est vrai.


PS : il serait intéressant d'ouvrir un autre fil, pour ce nouveau sujet.

[shokin]

Voilà ! Vous pouvez discuter ici des conjectures à votre aise !

[contrexemple]

Pour la modération : Merci, pour le déplacement.

Mais je pense que c'est réponse permettrait de clore ce sujet :

Bonjour,

Ma question (Connaissez-vous une conjecture dont la forme ne soit pas universelle ?) a un objectif, en effet du fait que personne n'ait put en citer une, vas t-on dire donc il peut exister une telle formule ou la négation universelle...
Naturellement on va être amené à pencher vers la forme universelle, en effet on est incapable d'en trouver un contre-exemple donc on n'est plus amené à conjecturer que c'est la forme universelle qui est vrai.

[Schrodies-cat]

Citation Envoyé par Schrodies-cat
"il n'existe pas n tel que p(n)"

Raté : n = 2 donne un très bon contrexemple !

Sauf que je n'ai pas précisé la forme de p(n). Il est clair que dans ce cas que p(n) s'écrit ( n>2 et il existe x,y,z entiers strictement positifs tels x^n+y^n=z^n).
Je ne voulais pas entrer dans les détails de la formule, m'y intéressant seulement du point de vue de la logique et de la calculabilité.

Pour la petite histoire, quand Wiles a présenté son théorème pour la première fois, quelqu'un dans l'assistance a demandé "pour quelles valeurs de n cela est-il vrai ?" et il répondit et écrivit: "pour n>2".
Je ne suis donc pas l'auteur initial de cette petite plaisanterie logique.

[Médiat]

Bonsoir,

Ce que je voulais mettre en évidence, c'est que, souvent, un contre-exemple à une proposition universelle ne tue pas le débat, mais force à modifier la proposition (en la rendant "moins universelle", au sens commun cette fois).

[noir_ecaille]

À condition que ladite conjecture ne soit pas fausse sur toute la ligne, bien sûr.

Il existe pléthore de théories patascientifiques qui, en plus de ne pas être universelles bien que se voulant souvent telles, n'ont pas grand sens quant à un contenu tant logique que substantiel.

[contrexemple]

À condition que ladite conjecture ne soit pas fausse sur toute la ligne, bien sûr.

Un contrexemple suffit pour le prouver.

[Schrodies-cat]

Une conjecture de type existentielle, mais qui appartient à l'histoire et a été réfutée:

Le dixième problème de Hilbert:

Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions. Résolu. Résultat : impossible, le théorème de Matiyasevich implique qu'il n'existe pas de tel algorithme.

(source Wikipédia)

[contrexemple]

L'ensemble des algorithmes est problématique car c'est un ensemble indécidable, non récursivement définit.

[minushabens]

Bonjour,

J 'avoue ne pas comprendre cette appétence pour les formules universelles(...)

ça relève de l'esthétique. On sait bien que les mathématiciens ne s'intéressent pas au logique, mais au beau (à ce qui leur paraît beau).

[Médiat]

ça relève de l'esthétique.

Auquel cas c'est extra-mathématique et très discutable (je trouve le théorème : il existe x et y deux irrationnels tels que x^y soit rationnel, très beau, et le forcing est une méthode magnifique) et donc cela ne m'intéresse pas (mes gouts esthétiques concernant les mathématiques existent et m'intéressent bien sûr, mais ils restent (doivent rester) personnels).

[minushabens]

(je trouve le théorème : il existe x et y deux irrationnels tels que x^y soit rationnel, très beau, et le forcing est une méthode magnifique)

c'est un peu trivial quand-même...

est-ce que la géométrie projective n'a pas été inventé pour qu'on puisse écrire que deux droites se coupent toujours en un point et un seul? J'observe que les mathématiciens ont horreur des exceptions.

[Médiat]

c'est un peu trivial quand-même...

Trivial ou pas n'a aucun rapport avec la beauté ou l'élégance.
Le forcing une trivialité ? Il a valu la médaille Fields à Paul Cohen !

Je suis mathématicien et ce ne sont pas les exceptions dont j'ai horreur, au contraire, j'aime tout ce qui sort de l'ordinaire.

[PlaneteF]

Bonjour,

Je suis mathématicien (...)

Ah bon ?? ... Moi je croyais que tu étais logicien, ... [30eDEGRE]... les deux étant hautement incompatibles !! ...[/30eDEGRE]

[Médiat]

Bonjour,

Ah bon ?? ... Moi je croyais que tu étais logicien

Et oui, je sais, mais la logique fait partie des "mathématiques vides"

[contrexemple]

Bonjour,


Et oui, je sais, mais la logique fait partie des "mathématiques vides"

Bonjour,

On peut parler de mathématiques inappliqués.

[Schrodies-cat]

Il faut se méfier d'une conception de la science (incluons-y ici les mathématiques) désincarnée.
Un résultat scientifique est objectif, mais le fait qu'on trouve, à la suite d'une recherche scientifique, tel résultat plutôt que tel autre qu'on aurait peut-être trouvé en cherchant dans une autre direction dépend de facteurs humain.
Il faut que le scientifique reconnaisse cette forme de subjectivité pour l'assumer ou lutter contre.