Qu'est-ce qu'une conjecture ?

[Médiat]

Parce qu'un exemple ne prouve rien, un contrexemple si.

C'est faux !
-----

[Deedee81]

M'avait échappée cette remarque.

C'est faux !

J'aimerais donner.... un exemple

Supposons que je déduise de la thermodynamique qu'il est possible de refroidir de l'eau en-dessous de 0 degrés sans qu'elle gèle (surfusion).

Il suffit alors d'en montrer un exemple pour prouver que c'est exact.
Et là, par contre, une tonne de contre-exemples ne prouveront rien.

[Schrodies-cat]

Parce qu'un exemple ne prouve rien, un contrexemple si.

C'est faux !

Un exemple est une preuve d'affirmation existentielle, un contre exemple est une réfutation d'affirmation universelle.
Moyennant un peu de calcul des prédicats, cela revient à peu près au même, du moins si on n'entre pas dans les subtilités de la logique intuitionniste..
Il est vrai que si on prétend qu'un évènement est impossible ou presque impossible, et si il se produit quand même (exemple: accident majeur de centrale nucléaire), une seule occurrence doit remettre en cause les présupposés initiaux.
N.B. : si on dit simplement qu'un évènement est peu probable, il faut plus d'un exemple pour réfuter cette affirmation.

M'avait échappée cette remarque.

J'aimerais donner.... un exemple

Supposons que je déduise de la thermodynamique qu'il est possible de refroidir de l'eau en-dessous de 0 degrés sans qu'elle gèle (surfusion).

Il suffit alors d'en montrer un exemple pour prouver que c'est exact.
Et là, par contre, une tonne de contre-exemples ne prouveront rien.

La on touche là ce qui peut être un travers de la vulgarisation: plutôt que mettre en avant ce qui constitue l'ordre habituel des choses (l'eau gèle à zéro degrés), on risque d'attacher une importance excessive à des phénomènes rares (surfusion).

Sur une question voisine, je signale que j'ai observé moi même le phénomène de retard à l’ébullition dans un four micro-ondes.
Mais d'une part, dans les cas que j'ai observé, l'ébullition n'était pas très violente, et donc pas excessivement dangereuse ; et d'autre part, je ne l'ai observé qu'avec des pots neufs ou presque neufs, donc rarement; ceci étant sans doute du au fait que dans des pots usagés, des micro-rayures, traces de calcaire ou micro-salissures constituent des sites de nucléation.

[contrexemple]

C'est faux !

Ta signature te donnes ma réponse.

PS : sinon je suis prêt à en discuter, mais pas ici (pour éviter un hs), en ouvrant une discussion, par MP, ou sinon tu as conscience que j'ai raison et on en reste là.

@Deedee81 : oui effectivement, tu as trouver un contrexemple à ma signature et donc cela prouve bien quelque chose, quand à ma signature : sa limite...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Ta signature te donnes ma réponse.

Visiblement, vous n'avez pas compris ma signature

ou sinon tu as conscience que j'ai raison et on en reste là.

Méthode rhétorique bas de gamme qui me contraint à insister : c'est faux ! comme Deedee81 l'a prouvé par ... un exemple ! et Schrodies-cat l'a même expliqué.

[stefjm]

Contre-exemple pense peut-être à ceci :
Pour qu’une conjecture soit vraie, il faut que tous les exemples la vérifient.
Si on trouve un seul contre-exemple, c’est que l’assertion est fausse.

??

[Médiat]

Pour qu’une conjecture soit vraie, il faut que tous les exemples la vérifient.
Si on trouve un seul contre-exemple, c’est que l’assertion est fausse.

Ce qui est faux, si je conjecture l'existence d'un nombre entier pair qui n'est pas la somme de 2 nombres premiers, un exemple prouvera ma conjecture, tous les contre-exemples que vous trouverez ne prouveront rien !

[stefjm]

Caramba, j'ai encore loupé un truc :
Extrait de
https://www.ujf-grenoble.fr/sites/de...1626218203.pdf
page 59

Critère de vérité adopté en sciences
Une conjecture
- est déclarée fausse dès qu'on lui trouve un contre-exemple
- est déclarée vraie si on prouve qu'elle ne peut être fausse !

J'imagine qu'on ne parle pas de la même chose?

[contrexemple]

1/Visiblement, vous n'avez pas compris ma signature

2/Méthode rhétorique bas de gamme qui me contraint à insister : c'est faux ! comme Deedee81 l'a prouvé par ... un exemple ! et Schrodies-cat l'a même expliqué.

Bonjour,

0.5/J'ai déjà dénoncé dans le livret sur les contre-exemples ta technique oratoire préférer, ton visiblement tu uses encore ici.

1/Toujours est-il que ta signature (le sens commun et non celui Médiatique) répond à ton affirmation péremptoire.

2/Oui mais visiblement elle a marché, un contre-exemple n'a de sens que pour une affirmation avec quantificateur universelle devant.
Et je tiens à rappeler que j'en ai assez dit, sur ce sujet, si tu veux plus de précision ouvres un autre fil, je me ferais alors un devoir d'y participer.

[shokin]

Il existe plusieurs sortes de conjectures. Par exemple :

- Il existe un x tel que x vérifie telle propriété P.
- Pour tout x qui vérifie la propriété P, alors x vérifie la propriété Q.

[contrexemple]

J'ai corrigé ta réponse pour quelle soit plus précise :

Méthode rhétorique bas de gamme qui me contraint à insister : c'est faux ! comme Deedee81 l'a prouvé par ... un contre- exemple ! et Schrodies-cat l'a même expliqué.

[Médiat]

Critère de vérité adopté en sciences
Une conjecture
- est déclarée fausse dès qu'on lui trouve un contre-exemple
- est déclarée vraie si on prouve qu'elle ne peut être fausse !

Ceci est d'une imbécillité rare : cette affirmation universelle peut être démontrée fausse par un contre-exemple or plusieurs ont été donnés ici, elle est donc fausse !

Le document commence par : "Puisque nous allons faire des mathématiques".

[stefjm]

Je ne me permets plus sur futura de réfléchir par moi même. C'est déconseillé par la charte même et je me contente donc de citer des pointures du domaine pour faire de la bonne vulgarisation :

Marc Legrand, enseignant retraité et ancien directeur de l'IREM de Grenoble (Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques).

[contrexemple]

Je ne me permets plus sur futura de réfléchir par moi même. C'est déconseillé par la charte même et je me contente donc de citer des pointures du domaine pour faire de la bonne vulgarisation :

Marc Legrand, enseignant retraité et ancien directeur de l'IREM de Grenoble (Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques).

J'ai déjà vu une vidéo de ce mathématiciens et ne permettrait pas de remettre en cause ses compétences, d'autant plus que pour moi il a raison, car un contre-exemple n'a de sens que pour une affirmation universelle, vu qu'il parle de contre-exemples cela montre qu'il parle de conjecture portant sur une affirmation universelle, et peut-être que pour lui une conjecture est forcément universelle sinon elle porterait un autre nom comme par exemple une suspicion d'existence.

[contrexemple]

Oui, c'est précisé dans le document :
p17 :
Emettre une conjecture c'est résumer dans un énoncé précis une vérité que l'on pense être universelle.

[Médiat]

Emettre une conjecture c'est résumer dans un énoncé précis une vérité que l'on pense être universelle.

Je n'avais, évidemment pas lu les 58 pages précédant la page 59 qui devient correcte, c'est la page 17 qui devient ridicule : pourquoi seules les propriétés universelles seraient d'intérêt ? Si quelqu'un peut trouver un exemple de la conjecture que j'ai émise précédemment, je suis preneur !

Ceci me conforte dans mes habitudes de logiciens : je parle de formules, de formules atomiques, de formules bien formées, d'axiomes, de théorèmes, de formules indécidables... pas de conjectures

"Conjecture" n'est pas (néanmoins, certains professeurs l'utilisent comme synonyme d'hypothèse au sens de la théorie de la démonstration) un terme "mathématique", car il ne qualifie pas une proposition, mais l'état des connaissances à propos d'une proposition à un instant donné (c'est donc, éventuellement, de l'épistémologie).

[contrexemple]

1/Je n'avais, évidemment pas lu les 58 pages précédant la page 59 qui devient correcte, c'est la page 17 qui devient ridicule :
2/ pourquoi seules les propriétés universelles seraient d'intérêt ?
3/Si quelqu'un peut trouver un exemple de la conjecture que j'ai émise précédemment, je suis preneur !

1/Une lecture attentive avant de traité d'imbécilité cette affirmation aurait-été bienvenue.
2/Pourquoi pas : pourrais-tu me citer une seule conjecture (connue) qui ne soient pas universelle ?
3/Tu demandes en d'autres mots un contre-exemple à la conjecture de Goldbach (qui résiste aux mathématiciens depuis plus d'un siècle).

[contrexemple]

Une conjecture est toujours sous forme universelle, (comme on ne sait pas si l'affirmation universelle ou sa négation (existentielle) sont vrais) on prend la forme universelle pour conjecture jamais la forme existentielle.

DONC OUI, UN CONTREXEMPLE PROUVE TOUJOURS QU'UNE CONJECTURE EST FAUSSE.

Le pire c'est que je vous suspect de déjà le savoir, mais bon la vérité à finalement triompher...

[stefjm]

Je n'avais, évidemment pas lu les 58 pages précédant la page 59 qui devient correcte, c'est la page 17 qui devient ridicule : pourquoi seules les propriétés universelles seraient d'intérêt ?

Je pensais naïvement que la recherche de l'universalité des propriétés était la qualité et le défaut principal des mathématiciens?

Si quelqu'un peut trouver un exemple de la conjecture que j'ai émise précédemment, je suis preneur !

Il va falloir faire la vulgarisation de la contraposée et du contre-exemple.

Ceci me conforte dans mes habitudes de logiciens : je parle de formules, de formules atomiques, de formules bien formées, d'axiomes, de théorèmes, de formules indécidables... pas de conjectures

Voila que je ne comprend plus rien, n'étant pas mathématiciens.

"Conjecture" n'est pas (néanmoins, certains professeurs l'utilisent comme synonyme d'hypothèse au sens de la théorie de la démonstration) un terme "mathématique", car il ne qualifie pas une proposition, mais l'état des connaissances à propos d'une proposition à un instant donné (c'est donc, éventuellement, de l'épistémologie).

Marc Legrand est assez fan d'épistémologie.

[Médiat]

Il y a un fait évident, me semble-t-il : à chaque formule dont on ne connaît :
ni une démonstration
ni une démonstration de son contraire
ni une démonstration de son indécidabilité,

on peut faire correspondre sa négation dont, par définition, on ne connaît :
ni une démonstration
ni une démonstration de son contraire
ni une démonstration de son indécidabilité.

Si je décide de faire une "conjecture", car je suis bloqué dans une démonstration, je vais évidemment choisir de conjecturer la forme (f ou non f) dont "je crois" qu'elle est la plus probable (quelles qu'en soient les raisons) et il n'y a aucune raison de choisir, a priori, la forme universelle, mon but étant toujours de démontrer quelque chose comme A ==> B, ou de démontrer A (pourquoi dirais-je à la communauté mathématique : je conjecture A, ce serait bien de le démontrer, si je suis persuadé (quelles qu'en soient les raisons) que A est fausse ?°.

Pour l'instant on a parlé des formule universelles ou existentielles mais qu'en est-il des formules ou ,
il faut trouver un exemple de la première variable (uple) pour lequel il n'y a pas de contre-exemple (uple) de la deuxième pour lesquels il y aurait un exemple de la troisième (uple) pour lequel etc.

[contrexemple]

Il y a un fait évident, me semble-t-il : à chaque formule dont on ne connaît :
ni une démonstration
ni une démonstration de son contraire
ni une démonstration de son indécidabilité,

on peut faire correspondre sa négation dont, par définition, on ne connaît :
ni une démonstration
ni une démonstration de son contraire
ni une démonstration de son indécidabilité.

Si je décide de faire une "conjecture", car je suis bloqué dans une démonstration, je vais évidemment choisir de conjecturer la forme (f ou non f) dont "je crois" qu'elle est la plus probable (quelles qu'en soient les raisons) et il n'y a aucune raison de choisir, a priori, la forme universelle, mon but étant toujours de démontrer quelque chose comme A ==> B, ou de démontrer A (pourquoi dirais-je à la communauté mathématique : je conjecture A, ce serait bien de le démontrer, si je suis persuadé (quelles qu'en soient les raisons) que A est fausse ?°.

Peux-tu me donner une conjecture connue ou la conjecture (sous sa forme connue) est existentielle ?

[stefjm]

Je dirais que par le passé, on a conjecturé qu'il existe i /i^2=-1 pour faire des calculs imaginaires?

[contrexemple]

Je dirais que par le passé, on a conjecturé qu'il existe i /i^2=-1 pour faire des calculs imaginaires?

Oui, mais en faisant cela on a inventé de nouveau nombre, on a jamais conjecturer qu'il existe parmi les nombres connues de l'époque un nombre ayant un carré de -1.

[stefjm]

Et alors?
Je ne comprends pas le point.

[shokin]

Je conjecture qu'il existera un être vivant de notre espèce qui battra le record actuel du 100 mètres.

[contrexemple]

l'ensemble dans lequel on pose l'existence d'un élément (ici un nombre) tel que... est toujours parfaitement définit, par contre quand il y invention on ne sait pas ou se trouve se nombre...

[Tryss]

Peux-tu me donner une conjecture connue ou la conjecture (sous sa forme connue) est existentielle ?

Le problème des équations de Navier-Stokes par exemple, ou en gros, on peut conjecturer qu'il y existe toujours une solution qui est de plus unique.

Après "trouver une solution à l'équation de NS" ça a plein de sens différents

[contrexemple]

Le problème des équations de Navier-Stokes par exemple, ou en gros, on peut conjecturer qu'il y existe toujours une solution qui est de plus unique.

Après "trouver une solution à l'équation de NS" ça a plein de sens différents

Ceci c'est, pour toute équations de NS, donc c'est bien une affirmation universelle.

[minushabens]

Le problème des équations de Navier-Stokes par exemple, ou en gros, on peut conjecturer qu'il y existe toujours une solution qui est de plus unique.

mais est-ce que cette conjecture ne s'exprime pas sous la forme : pour toute équation de telle sorte, il existe une solution vérifiant telle propriété ?

[Médiat]

mais est-ce que cette conjecture ne s'exprime pas sous la forme : pour toute équation de telle sorte, il existe une solution vérifiant telle propriété ?

Bonjour,

J 'avoue ne pas comprendre cette appétence pour les formules universelles, cf. mon message #183 qui montre qu'à chaque formule universelle dont on ne sait rien, il correspond une formule existentielle dont on ne sait rien.

Pour reprendre le point précédent sur un exemple plus simple la formule universelle pour tout n il n'existe pas de triplets d'entiers non nuls tels que xⁿ + yⁿ = zⁿ, ah tiens j'ai un contrexemple : 9 + 16 = 25, Est-ce que cela clos le débat ?
Evidemment non, il a duré encore 350 ans ... (d'ailleurs la question s'est posée successivement, pour différentes familles ou valeurs de n)