Des milliards tendant vers l'infini

[Mickey-l.ange]

Bonjour,

Je souhaiterais soulever un point de logique dans un certain raisonnement.

L'argument des « milliards de milliards de planètes » revient comme un leitmotiv dans les discussions sur l’exobiologie. Il est souvent mis en avant par certaines personnes comme un argument imparable et décisif qui permettrait de considérer la vie « ailleurs » comme une quasi-nécessité.

Je pose donc la question d'une façon plus abstraite.
Supposons un événement ou une expérience pouvant avoir des résultats avec des indices de probabilité très différents, ainsi des résultats très nombreux et très probables, et d'autres bien moins nombreux et très peu probables.
Si cet événement se reproduit des milliards de milliards de fois, ou si l'on reproduit cette expérience indéfiniment, dans un nombre de tentatives toujours croissant, est-ce que :
- tous les résultats envisageables vont finir par se produire, c'est-à-dire naturellement les plus probables, mais aussi les moins probables, comme si une fois que l'on aurait "épuisé" les configurations les plus probables il serait bien obligé que les moins probables finissent par advenir à leur tour (on pourrait appeler cela : idée du "réservoir" de possibilités que l'on finit par vider) ?
- ou au contraire, une répétition indéfinie de l'événement ou de l'expérience va produire indéfiniment des résultats parmi les plus probables sans qu'il soit nécessaire que les moins probables se produisent eux aussi, quitte à ce que les situations les plus probables finissent par se répéter en boucle ?

Exemple grossier : si on lance indéfiniment en l’air et au hasard des pots de peinture, la Joconde va-t-elle obligatoirement apparaître un jour sur le sol, ou les taches informes vont-elles se succéder à l’infini, quitte à se répéter ?

L’argument des « milliards » est-il véritablement probant, ou au contraire trompeur, voire naïf ?
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[pm42]

Si un évènement ne se produit jamais même si on lance indéfiniment, c'est que sa probabilité est nulle. S'il a une probabilité même faible, il finira par se produire.

Mais cela ne va pas se passer comme tu le décris : on ne va pas "épuiser" les plus probables avant de passer aux moins probables. Un très peu probable peut apparaitre à n'importe quel moment.

[Amanuensis]

Si un évènement ne se produit jamais même si on lance indéfiniment, c'est que sa probabilité est nulle.

Sans valeur scientifique si parle d'une expérience physique, puisque "lancer indéfiniment" est non testable.

S'il a une probabilité même faible, il finira par se produire.

Simple contraposition de l'assertion précédente => même statut.

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La question intéressante du point de vue épistémologique est "qu'est-ce qu'une probabilité" si on s'interdit (par application saine de la démarche scientifique) d'invoquer des séries infinies pour des expériences physiques?

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Et enfin, si on admet pouvoir parler de séries infinies (par exemple comme modèle mathématique sans prétendre à une application à des expériences physiques), la seule conséquence de l'infinité est qu'il existe au moins une valeur qui revient indéfiniment. Rien de plus.

[invite9dc7b526]

Et enfin, si on admet pouvoir parler de séries infinies (par exemple comme modèle mathématique sans prétendre à une application à des expériences physiques), la seule conséquence de l'infinité est qu'il existe au moins une valeur qui revient indéfiniment. Rien de plus.

pourquoi? ---

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mickey-l.ange]

Si un évènement ne se produit jamais même si on lance indéfiniment, c'est que sa probabilité est nulle. S'il a une probabilité même faible, il finira par se produire.

Bonjour,

C'est bien cela la question que je pose.
Ne peut-on pas imaginer qu'un événement de probabilité faible mais non nulle "ne finisse jamais par se produire", et que ce soient indéfiniment les cas plus probables qui adviennent ?
Quel argument peut conduire à penser qu'un évènement de probabilité non nulle doit nécessairement finir par se produire ?
Si chaque tirage est indépendant des précédents, ne serait-il pas plus logique que chaque nouveau tirage fasse apparaître l'un des cas les plus probables plutôt qu'un résultat peu probable ?
Autrement dit, ne serait-il pas plus probable que les cas les plus probables "occupent le terrain" indéfiniment, quitte à se répéter ?
Quel argument logique envisagez-vous ?

Et enfin, si on admet pouvoir parler de séries infinies (par exemple comme modèle mathématique sans prétendre à une application à des expériences physiques), la seule conséquence de l'infinité est qu'il existe au moins une valeur qui revient indéfiniment. Rien de plus.

Excusez-moi, je ne saisis pas bien...

[Médiat]

Bonjour,

Ne peut-on pas imaginer qu'un événement de probabilité faible mais non nulle "ne finisse jamais par se produire"

Soit vous parler d'expériences "réelles" et dans ce cas vous devez expliciter la méthode utilisée pour faire une infinité d'expériences et la méthode pour "calculer" les probabilités de chaque événement,
Soit vous parlez de mathématiques et alors il n'y a pas d'expériences, seulement des calculs de probabilités (et encore faut-il être précautionneux) pour toutes suites d'événements dont on sait calculer les probabilités élémentaires.

Dans le cas mathématiques, si vous avez un nombre fini d'événements élémentaires et une infinité de tirages, la seule chose dont on soit sûr c'est que l'un d'entre eux, au moins, se répétera infiniment (théorème des tiroirs), mais dans ce cas aucun événement n'a une probabilité infinitésimale.

Tant qu'à être dans les mathématiques, dire "l'infini" n'est pas suffisant, si vous avez événements élémentaires et que vous faites tirages, la, très grosse, majorité des événements élémentaires ne se réaliseront pas, si au contraire vous avez événements élémentaires et que vous faites tirages, alors on est sûr qu'au moins un événement se réalisera fois (théorème des tiroirs)

[Mickey-l.ange]

D'accord. Merci pour ces explications. Même si je ne suis pas sûr d'avoir entièrement compris.

Alors, envisageons le cas concret que j'ai mentionné, le cas de l'exobiologie.

Les configurations les plus probables sont les planètes stériles.
Et les moins probables sont les planètes propices à la vie.
Et les tirages sont les "milliards de milliards" de planètes qui existeraient dans les milliards de galaxies.

Il est naturellement impossible de chiffrer les configurations possibles de planètes propices ou non à la vie.
Ces configurations sont-elles d'ailleurs en nombre fini ?
Mais je ne cherche pas des probabilités chiffrées...

J'aimerais simplement savoir si l'argument "Il existe des milliards de milliards de planètes, donc la vie doit bien apparaître de ci de là" tient la route sur le plan de la logique, ou si c'est juste un peu naïf comme façon de voir ?

[Médiat]

Les configurations les plus probables sont les planètes stériles.
Et les moins probables sont les planètes propices à la vie.

Et comment obtenez-vous ce résultat, et que veut dire "plus probable" ou "moins probable", comment les chiffrez-vous ?

Quant à votre dernière question, je n'ai aucune idée de comment y répondre, la vie est apparue sur Terre, mais que peut-on en déduire (je n'ose même pas écrire "sur la probabilité d'apparition de la vie" car je ne sais pas donner un sens précis à cette expression) ? Est-ce que le fait qu'il y ait un gagnant à un tirage du loto entraîne qu'il y a forcément un autre gagnant pour ce même tirage ?

[invite9dc7b526]

On ne peut même pas utiliser un raisonnement statistique puisque d'aucune planète hormis la nôtre on ne sait si elle porte ou non des organismes vivants.

[Médiat]

Bonjour,

Il faut reconnaître que faire un relevé statistique qui permettrait d'affecter une probabilité non nulle à l'apparition de la vie sur une planète tue un peu la question de savoir s'il y a de la vie sur une autre planète ; d'où mes questions sur ces probabilités

[Deedee81]

Salut,

En plus, supposons qu'on puisse déterminer (par notre savoir profond et insondable ) que la vie apparait en moyenne une fois sur 1000 milliards de galaxies. Cela nous ferait franchement une belle jambe.

Ce serait plus intéressant de savoir si on a une chance non négligeable de trouver de la vie autour d'une étoile voisine. Et ça, en l'état actuelle de nos connaissances, la seule manière de le savoir est l'observation. Ce qui se fera au moins partiellement dans les décennies à venir avec les nouvelles générations de télescope.

[Mickey-l.ange]

Les configurations les plus probables sont les planètes stériles.
Et les moins probables sont les planètes propices à la vie.

Et comment obtenez-vous ce résultat,

Ce n'est pas spécialement moi : voir les nombreuses discussions dans la section "Exobiologie" à propos des critères d'habitabilité d'une planète ou d'un satellite.

et que veut dire "plus probable" ou "moins probable", comment les chiffrez-vous ?

Comme je l'ai dit plus haut, je n'ai pas de données chiffrées...

La question pour moi est une interrogation sur l'aspect logique d'un argument purement qualitatif...

la vie est apparue sur Terre, mais que peut-on en déduire (je n'ose même pas écrire "sur la probabilité d'apparition de la vie" car je ne sais pas donner un sens précis à cette expression) ?

Ma question n'est pas d'ouvrir une énième discussion sur la question de l'apparition de la vie.
Je m'interroge sur le bien-fondé logique ou non d'un argument apparaissant dans des discussions déjà ouvertes...

On ne peut même pas utiliser un raisonnement statistique puisque d'aucune planète hormis la nôtre on ne sait si elle porte ou non des organismes vivants.

Voir juste au-dessus.

tue un peu la question de savoir s'il y a de la vie sur une autre planète ;

La question que j'essaie de faire vivre , est de savoir si l'argument des "milliards" est si probant ?

[Médiat]

Si, in fine, votre question est de savoir si les événements les plus probables se réalisent plus souvent que les événements les moins probables, j'avoue que je ne sais pas quoi ajouter.

Si la question est de savoir si en itérant un grand nombre de fois un "tirage", tous les événements, même les moins probables, vont se produire, soit vous faites des probabilités et la seule réponse est un calcul de probabilité, soit vous faites des statistiques et savoir si un événement que vous avez observé peut s'observer, je persiste : la question est morte.

[Mickey-l.ange]

Je repose autrement, alors.

Dans une discussion sur l'exobiologie, supposons qu'un intervenant pose avec aplomb que l'existence de vie extra-terrestre est (quasi-)certaine, de par l'argument des "milliards".
Que peut-on lui répondre ?

[Médiat]

Ce que je vous ai déjà demandé, en l'adaptant : "Et comment obtenez-vous ce résultat, comment avez-vous chiffré les probabilités élémentaires ?".

Soit il fait des probabilités, soit des statistiques, et j'ai déjà répondu pour ces deux cas.

[Mickey-l.ange]

Très bien, merci.

[Deedee81]

La question que j'essaie de faire vivre , est de savoir si l'argument des "milliards" est si probant ?

Il l'est, forcément. Mais on ne saurait même pas dire à quel point (ce qui montre bien l'étendue de notre ignorance ).

[karlp]

La question pour moi est une interrogation sur l'aspect logique d'un argument purement qualitatif...



Je m'interroge sur le bien-fondé logique ou non d'un argument apparaissant dans des discussions déjà ouvertes...

La question que j'essaie de faire vivre , est de savoir si l'argument des "milliards" est si probant ?

Je n'ai ni les compétences mathématiques ni les compétences en physique pour vous répondre de façon satisfaisante, c'est à dire de façon démonstrative et logique.
Je n'ai qu'un argument "dialectique" à vous proposer.
Je peux juste vous dire que cet argument "qualitatif" m'apparaît comme une version nouvelle, exprimée dans un langage emprunté à la science (si j'ai bien compris: le terme "probabilité" utilisé ici ne saurait correspondre à l'un de ses usages mathématiques - et n'a finalement que le sens que le langage courant lui donne), de l'argument de Giordano Bruno en faveur de l'existence d'une infinité de soleils semblables au nôtre et de terres habitées semblables à la nôtre: (reformulé cet argument dit ceci : ) Il n'y a pas de raison que dieu dont le pouvoir est illimité se soit de lui-même limité dans son entreprise créatrice et seul un univers infini composé d'une infinité de terres habitées est à la mesure de la puissance divine.

Il n'est pas nécessaire de démontrer le caractère purement métaphysique de cette "démonstration" (et son irrecevabilité du point de vue scientifique).
Les termes employés dans l'argumentation que vous questionnez n'en garantissent évidemment pas la scientificité: si vous concevez que cette "démonstration" est fondamentalement identique à celle de Giordano Bruno, mais pourvue d'un habillage trompeur, peut-être que votre curiosité s'en trouvera satisfaite et votre scepticisme sollicité ?

[invitecb107def]

Si chaque tirage est indépendant des précédents, ne serait-il pas plus logique que chaque nouveau tirage fasse apparaître l'un des cas les plus probables plutôt qu'un résultat peu probable ?
Autrement dit, ne serait-il pas plus probable que les cas les plus probables "occupent le terrain" indéfiniment, quitte à se répéter ?
Quel argument logique envisagez-vous ?

Ce n'est pas plutôt vous qui déraillez avec ces histoires de tirages indépendants ?

- si les tirages sont indépendants tous les tirages sont équiprobables ou je me trompe ?

A pile ou face pile et face à tout tirage, ont une chance sur deux de se produire.

Du moment que la pièce de monnaie n'est pas truquée ça peut donner indéfiniment pile dans le genre {pile, pile, pile, pile, ... pile} sans que ça tombe jamais sur face, pas de problème.


Pour la vie il faudrait connaître ses conditions de possibilité d'apparition pour pouvoir parler de probabilité d'apparition de la vie.

Sans cela il est absurde de parler de probabilité d'apparition de la vie.

Maintenant pour revenir à ces histoires d'univers infini, si l'univers est infini alors tous les possibles y adviennent à tout moment, des infinités de fois si on veut bien aller jusqu'au bout de la logique ce qui est rarement le cas malheureusement.

==> suite à cela si je ne m'abuse s'il n'y a pas d'intervention extérieure ou dite "divine" ou quoi que ce soit qui préside ou a présidé à l'apparition de la vie alors à tout moment, si l'univers est infini ce qu'à Dieu ne plaise puisque si l'univers est infini Dieu n'existe pas ou est l'univers lui-même, la probabilité d'apparition de la vie en des conditions favorables vaut : nombre de cas favorables/nombre de cas possibles = OO/OO = 1.

[pm42]

- si les tirages sont indépendants tous les tirages sont équiprobables ou je me trompe ?

Je ne penses pas. Tu prends un dé à 6 faces mais avec 1 sur 5 faces et 2 sur la 6ème. Tu le lances n fois, les tirages sont indépendants mais le 1 et le 2 ne sont pas équiprobables.

[invitecb107def]

... mince OO/OO est une forme indéterminée ...

... peut-être est-ce plutôt 1/OO = 0 encore désolé, les probas ça n'a jamais été mon truc pour tout dire hi hi (rire).

[invitecb107def]

Tu prends un dé à 6 faces mais avec 1 sur 5 faces et 2 sur la 6ème. Tu le lances n fois, les tirages sont indépendants mais le 1 et le 2 ne sont pas équiprobables.

Oui et si d'aventure il n'y a que 2 à toute face ... la probabilité que ça donne 2 est donc de 1 à tout tirage.

[invite9dc7b526]

- si les tirages sont indépendants tous les tirages sont équiprobables ou je me trompe ?

tu te tompes.

[invite82078308]

(...)

Exemple grossier : si on lance indéfiniment en l’air et au hasard des pots de peinture, la Joconde va-t-elle obligatoirement apparaître un jour sur le sol, ou les taches informes vont-elles se succéder à l’infini, quitte à se répéter ?

L’argument des « milliards » est-il véritablement probant, ou au contraire trompeur, voire naïf ?

En supposant qu'on représente les couleurs de la Joconde en 24 bits et avec un million de pixel, la probabilité de trouver un résultat identique sera à priori de 1/(2^24)^1000000, soit bien plus que "des milliards".
Toutefois, vous ne définissez pas ce que vous appelez "au hasard", donc la probabilité peut-être différente.
Je remarquerai toutefois que les grands nombres sont ici, comme souvent, utilisés davantage dans un soucis de rhétorique que de véracité numérique.

[invite82078308]

Ce genre d'argumentation repose si on veut aller plus loin sur l'équation de Drake dont en fait seuls les premiers facteurs sont connus avec une précision relative.
Rien n'empêche d'imaginer que les autres facteurs sont petits ou grands, ce qui aurait une grande influence sur le résultat.
Cela reste donc en fait largement une question d'opinion ...

[Mickey-l.ange]

Tu prends un dé à 6 faces mais avec 1 sur 5 faces et 2 sur la 6ème. Tu le lances n fois, les tirages sont indépendants mais le 1 et le 2 ne sont pas équiprobables.

Bonjour,

Cette image du dé aux inscriptions non symétriques me paraît intéressante.
Supposons que les contraintes d'apparition de la vie sur un astre (planète ou satellite) fassent qu'il y a N chances qu'une planète soit stérile pour une seule chance qu'une planète soit habitable.
Supposons un dé à N + 1 faces.
N faces représentent les planètes stériles.
1 face représente les planètes habitables.
Chaque lancer de dé représente un astre d'un système planétaire.

Lançons le dé indéfiniment.
Naturellement, à chaque lancer il y a N/(N + 1) chances de "sortir" une planète stérile pour 1/(N + 1) chance d'obtenir une planète habitable.

Mais ma question : existerait-il un théorème logique ou mathématique établissant que la face "habitable" doit nécessairement sortir un jour ?
Ou peut-on dire seulement qu'il y a N fois plus de chances d'obtenir un résultat plutôt que l'autre, sans plus ?

[Deedee81]

Salut,

Mais ma question : existerait-il un théorème logique ou mathématique établissant que la face "habitable" doit nécessairement sortir un jour ?
Ou peut-on dire seulement qu'il y a N fois plus de chances d'obtenir un résultat plutôt que l'autre, sans plus ?

La loi des grand nombre montre que sur un échantillon K (K grand) on va avoir une proportion p de planète habitable qui tend vers 1/(N+1) mais elle n'exclut pas la "malchance" et une absence totale de planète habitable, quelle que soit la valeur de K. C'est juste extrêmement peu probable.

J'avais calculé à une époque quelle devait être la valeur de N pour que l'on ait une chance > x d'avoir une planète avec de la vie (ou dans ton cas habitable, c'est le même genre de calcul) sur un échantillon K. Ce n'est pas si difficile à calculer. On constate alors aisément que si K est gigantesque, on a toutes les chances d'avoir d'autres planètes avec de la vie sauf si N est vraiment énorme. Mais même si un tel argument probabiliste est largement en faveur de l'existence de la vie (sachant que N n'est pas infini), cet argument n'est pas suffisant car N reste totalement inconnu (surtout pour l'apparition de la vie, pour les planètes habitables on doit pouvoir faire une estimation plausible).

[Médiat]

Bonjour,

Soit un événement de probabilité 1/n, pour "n grand", la probabilité qu'il se réalise en n tirages est (environ) 0,632120559 (1/e), au bout de kn tirages on a, environ, (1/e)^k, par exemple pour k = 10 on obtient 0.99995460007.

Plus n sera grand et plus ces valeurs seront bonnes (pour n = 1 000 000 000 et k = 10 les 10 premières décimales sont correctes).

[Médiat]

Correction du message précédent : les probabilités que l'évènement se réalise sont (1 - 1/e) et (1- (1/e)^k) ; les valeurs numériques ne changent pas.

[invitecb107def]

existerait-il un théorème logique ou mathématique établissant que la face "habitable" doit nécessairement sortir un jour ?
Ou peut-on dire seulement qu'il y a N fois plus de chances d'obtenir un résultat plutôt que l'autre, sans plus ?

La logique dit que, si votre théorie de "face habitable" a un sens, la face habitable peut sortir un jour si l'univers est fini, doit nécessairement sortir, non seulement "un jour" mais à tout moment une infinité de fois, si l'univers est infini.

D'un point de vue simplement logique si vous avez un dé à six faces marquées 1 sur cinq d'entre elles et 2 sur la sixième, si le dé n'est pas pipé alors sur mettons un milliard de tirages ça peut donner un milliard de fois 2.

Pourquoi dit-on, soupçonne-t-on, que si on tombe sur un milliard de fois 2 alors c'est que le dé est pipé ?

- non en raison de la logique mais parce que l'on sait, a priori, que le dé est "pipé" non parce qu'on l'aurait trafiqué mais parce qu'il n'est pas parfait et qu'en plus les conditions des lancers changent tout le temps, même infimement.

Maintenant il ne faut pas perdre de vue que l'artifice mathématique n'est qu'un artifice, dont la Nature n'a que faire, n'en a rien à cirer pour parler vulgairement.

Sur un dé à six faces les possibles sont définis.

Du moment que c'est possible ça peut arriver c'est ce qu'il faut comprendre.

- ça doit arriver, à tout moment une infinité de fois, si l'univers est infini.