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Interprétation de la notion d'isomorphisme

  1. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 958

    Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Bonjour,

    En lisant : associativité et groupe, il m'est venu une réflexion :

    Soit A et B deux L-structures isomorphes, est-ce que cet isomorphisme permet de dire qu'il s'agit de deux dénominations pour les mêmes objets, ou (au contraire) de deux familles d'objets pour une même dénomination ?

    Est-ce que la réponse dépend de la philosophie platonicien/formaliste, de la vision syntaxique/sémantique, d'autres choses ?

    -----

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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  2. Bergur2

    Date d'inscription
    mars 2015
    Messages
    29

    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Bonjour Mediat,

    je me suis posé la même question il y a quelque temps.

    En essayant de trouver une réponse, j'ai fini par écrire un "thriller scientifique" qui aborde entre autres ce sujet, que j'ai publié sur une plateforme bien connue et qui semble avoir plu à certains.

    A l'occasion de quelques discussions j'ai voulu discuter il y a quelques mois de ces notions sue le forum, mais j'ai compris rapidement que cela était mal venu car considéré comme de l'autopromotion.

    Si cela vous intéresse je peux vous envoyer les références sous message privé.

    Cordialement
     

  3. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 958

    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Bergur2 Voir le message
    Si cela vous intéresse je peux vous envoyer les références sous message privé.
    Volontiers, c'est d'ailleurs la bonne méthode dans ce genre de circonstances ; vous pouvez aussi mettre un lien dans votre profil privé

    Cordialement
    Je suis Charlie.
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  4. Bergur2

    Date d'inscription
    mars 2015
    Messages
    29

    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message

    Volontiers...
    Voilà qui est fait...
     

  5. Matmat

    Date d'inscription
    mai 2005
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    1 039

    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    En lisant : associativité et groupe, il m'est venu une réflexion :

    Soit A et B deux L-structures isomorphes, est-ce que cet isomorphisme permet de dire qu'il s'agit de deux dénominations pour les mêmes objets, ou (au contraire) de deux familles d'objets pour une même dénomination ?

    Est-ce que la réponse dépend de la philosophie platonicien/formaliste, de la vision syntaxique/sémantique, d'autres choses ?
    je pense que je ne comprend pas l'interprétation contraire .
    Exemple extrême , on apprend l'existence d'une civilisation ET et on veut savoir si leurs mathématiques sont plus,autant ou moins avancées que les mathématiques humaines bien que leur dénominations soient radicalement différentes des nôtres , c'est par la recherche d'isomorphisme entre nos mathématiques et les leurs qu'on pourrait savoir .
     


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  6. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Bonjour Matmat,

    Si je prends un point de vue platonicien, je comprends votre remarque, mais en tant que formaliste, pas du tout (*), ce qui est une réponse à la question.

    Je n'ai pas besoin d'isomorphisme pour comprendre que "field" est la même chose que "corps commutatif", et je doute qu'en voyant un modèle (c'est bien entre modèles que l'on parle d'isomorphisme), je puisse en tirer une conclusion satisfaisante (par exemple si ces ET utilise régulièrement un modèle non standard de l'arithmétique, cela ne prouverait pas que leurs mathématiques soient radicalement différentes des nôtres.

    PS : en tout état de cause, votre réponse ne se place pas exactement dans le cadre que j'ai précisé (ce n'est pas un reproche).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  7. Matmat

    Date d'inscription
    mai 2005
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    1 039

    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Mais ma remarque reste valable quel que soit le statut découvert ou inventé des objets mathématiques non ?
     

  8. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Je n'en suis pas sûr (selon ma compréhension de votre remarque) :

    Pour un platonicien, on étudie IN, et il n'y a pas le choix sur sa structure, puisqu'il existe, savoir si nos mathématiques sont identiques ou non à celles de ET revient donc à vérifier qu'ils étudient le même objet que nous, et un isomorphisme répond à cette question.

    Pour un formaliste, la non existence d'un isomorphisme ne prouvera pas que les mathématiques sont différentes (deux modèles d'une même théorie peuvent ne pas être isomorphes), et l'existence d'un isomorphisme ne prouve pas que les mathématiques sont identiques, puisque les mathématiques sont "ce que l'on peut dire", et non "ce qui est" (l'arithmétique n'est pas l'ensemble des propriétés de IN, on sait même qu'elles ne sont pas toutes atteignables, mais l'ensemble de ce que l'on peut dire de IN, grâce à Peano et quelques autres axiomes au besoin).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  9. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    bonjour Médiat,
    n'étant pas familiarisé avec la théorie des modèles, je ne sais quelles contraintes/propriétés nécessaires pour une L-structure.
    ma digression est donc peut être HS.
    digression sous forme d'image justement.
    prenons on en deux assimilables à des "structures" ( au sens mathématique si cela est possible )
    je peux construire deux images : deux assemblages de pixels isomorphes.
    leurs interprétations sémantiques sera pourtant différentes.
    cette direction reste elle dans le sujet de votre fil ?
    merci de me recadrer si nécessaire.
    Cordialement.
    Dernière modification par ansset ; 11/05/2016 à 17h47.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  10. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Bonjour ansset,

    J'avais posé la question dans un cadre purement mathématique, mais rien n'interdit d'explorer d'autres pistes (mais je ne pense pas avoir bien compris la votre ...)
    Je suis Charlie.
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  11. Bergur2

    Date d'inscription
    mars 2015
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    29

    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Le point de vue (plutôt platoniste) ci-dessous risque de ne pas satisfaire les mathématiciens purs, mais on peut causer non ? Alors voilà:

    Soit E1 {x1…,xi) et E2 {y1…yi} deux ensembles (ayant la structure adéquate), munis respectivement des lois de compositions € et $ (pourquoi pas ?), et une bijection Flouf (pourquoi pas non plus ?) de E1 sur E2 telle que quelque soit j et k, on ait :
    Flouf (xk € xj)= yk $ Yi
    C’est un isomorphisme par définition. (Et s’en est une expression formelle.)
    Les ensembles E1 et E2 peuvent être composés d’objets qui peuvent ne rien avoir de commun entre eux,(ce que j’appelle des « mondes » différents). Par contre la structure dont sont munis les deux ensembles est la même

    Je conçois que pour un mathématicien compter des patates ou compter des bonbons soient la même chose car les deux ensembles ont mêmes cardinalité et même loi de composition qu’un sous ensemble de N.
    Mais pour un physicien, ou plus prosaïquement pour son petit neveu (s’il en a un) ce n’est pas du tout la même chose. (On n’est pas dans le même monde quand on est dans celui des sucreries ou quand on est dans celui de Parmentier).

    Les isomorphismes permettent de résoudre des problèmes qui se posent dans un « monde », en raisonnant sur les objets d’un « autre monde » qui n’a en fait peut être rien à voir avec le premier, mais qui a exactement la même structure. En d’autres termes, pour le physicien que je suis,un isomorphisme est un « simulateur parfait ».

    Exemples bien connus (un peu plus subtils que celui ci-dessus) :

    -On peut travailler sur l’ensemble des vecteurs de l’espace euclidien qui sont des êtres géométriques, en raisonnant sur R3 (êtres algébriques).
    -On peut travailler sur la géométrie du plan, en raisonnant sur Z

    Autre aspect isomorphique (bien connu aussi) :
    -On peut raisonner sur les oscillateurs mécaniques, en utilisant des équations différentielles qui sont les mêmes que celles qui permettent d’étudier les oscillateurs électriques.

    Tout cela doit sembler évident pour un mathématicien. Mais on peut trouver d'autres isomorphismes absolument fascinants, non mathématiques, et permettant d’expliquer des comportements spécifiques aux humains. Et je trouve ça passionnant...
     

  12. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Bonjour,

    Je trouve la notion d'isomorphisme très pauvre dans le cas fini (comme votre premier exemple), il est en effet très facile dans ce cas de trouver une axiomatisation (finie) qui soit complète et catégorique ; dans le cas infini, tout change, par exemple et , où est construit à partie de en remplaçant chaque rationnel par et chaque non rationnel par et où, bien sûr, est l'ordre lexicographique, vérifie exactement les mêmes formules (FOL) dans le langage des relations d'ordre, mais ne sont clairement pas isomorphes.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  13. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Bonjour,
    mon exemple précédent me semblait trop difficile à traduire en terme d'ensemble mathématique.
    je reviens donc à quelque chose de bien plus simple.
    on sait construire un isomorphisme entre Z et Q.
    et j'ai beaucoup de mal à dire que "sémantiquement" il s'agisse des mêmes ensembles.
    Outre la nature mathématique de ceux ci, leurs "usages" et interprétations sont clairement différents.
    Ce qui n'est pas le cas par exemple pour deux espaces vectoriels , pour prendre un exemple simpliste.
    naivement, je penserai que la réponse 1) est mathématiquement toujours acceptable.
    mais que la réponse 2) peut prévaloir dans une approche sémantique non abstraite.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  14. Bergur2

    Date d'inscription
    mars 2015
    Messages
    29

    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Je trouve la notion d'isomorphisme très pauvre dans le cas fini (comme votre premier exemple)....

    ... vérifie exactement les mêmes formules (FOL) dans le langage des relations d'ordre, mais ne sont clairement pas isomorphes.
    D'accord, (et c’est pour cela que je prends ensuite 2 exemples dans les cas infinis et continus.)

    Je ne doute pas que les mathématiciens puissent montrer l’existence, en en construisant un par exemple (comme cela est fait dans votre post), d’ensembles satisfaisant les mêmes formules et non isomorphes .


    Mais mon propos concernait la question de l’éventuelle unicité de l’objet en présence d’un isomorphisme.

    Pour l’illustrer je voudrais prendre un exemple physique et prosaïque, qui sera peut-être plus parlant et qui s’approche plus du sujet qui me titille et tangente la question de Médiat:

    Supposons un Mathématicien joueur du piano. Il trouve une chouette partition de piano, disons " La Rhapsodie Hongroise No 2 de Liszt " (C’est pas la facilité, mais c’est beau !).

    Il la lis,
    Ca semble lui plaire,
    Il la joue. (Oui, il est doué !)

    Le mathématicien qui est en lui dira à juste titre que l’ensemble des notes écrites sur la partition munie de leurs relations internes, est isomorphe à l’ensemble des notes qu’il joue.(Même cardinalité, mêmes relations de compositions, bijection etc .).

    Toutefois, je pense que le musicien qui est en lui ne dira pas que lire la partition ou la jouer c’est la même chose.
    Dans un cas on est dans un « monde » visuel, dans l’autre cas on est dans un « monde » sonore. (Et le ressentis pour les humains que nous sommes est très différent dans un monde ou dans l’autre… sauf cas exceptionnels de synesthésies…)

    Les objets (physiques) sont différents, mais la structure est la même.

    En regardant, on peut s’apercevoir qu’ il y a de multiples structures isomorphes dans le monde physique où sont immergés les humains, qui, lorsqu’elles sont décelées, permettent de progresser de manière extraordinaire, presque magique, sur les chemins de la connaissance...

    (Mais peut-être ma tentative de réponse à la question posée est-elle hors sujet, et ne constitue-t-elle pas un « modèle » de celles attendues par un mathématicien)
     

  15. Schrodies-cat

    Date d'inscription
    avril 2015
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    1 014

    Re : Interprétation de la notion d'isomorphisme

    Si on se place "à l’intérieur" de l'objet, c'est à dire en n'utilisant que les constantes, fonctions, relations qui interviennent dans la définition de la structure, ce qu'on peut dire est la même chose pour deux objets isomorphe.
    Si on considère la façon dont ces objets sont construits dans une théorie plus vaste, ils ne sont pas forcément la même chose.
    Exemple:
    R2 est un plan vectoriel (réel), si je prends des sous espaces vectoriels de dimension 2 de R3, ils sont isomorphes comme espaces vectoriel à R2 ainsi qu'entre eux, mais ils ne sont pas la même chose.

    J'utilise un langage platonicien, mais on pourrait traduire en "formaliste" .
    Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .
     


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