[Maths] [TS] Arithmétique

[invitefc60305c]

Très limpide. Dommage que je ne l'ai pas trouvé par moi même.

et
Par transitivité :
Or car q divisible par 3.
On a :
Soit :
Or et
Par transitivité :
-----

[chr57]

bonjour,

je poste encore un exo d'arithmétique que j'ai fait, qui est interessant au cas où si ça interesse quelqu'un :


On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10 = 9 + 1² ; 13 = 9 + 2²,
etc. . .
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1. Étude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 2 où a appartient N, n appartient à N, n > 4.

(a) Montrer que si a existe, a est impair.

(b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

2. Étude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 3 où a appartient N, n appartient N, n > 3.

(a) Montrer que si n > 3, 3 est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

(b) Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

(c) On pose n = 2p où p est un entier naturel, p > 2. Déduire d'une factorisation de 3 - a², que l'équation proposée n'a pas de solution.

3. Étude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 5 où a appartient N, n appartient N, n > 2

(a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair.

(b) On pose n = 2p, en s'inspirant de 2.(c) démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.

[kNz]

Tiens c'est marrant j'avais l'énoncé dans les mains y a 10 minutes

[chr57]

Oui, c'est l'exo de spé d'Asie 2004.

[invitefc60305c]

Ca m'intéresse ! Merci

1)a) Raisonnons par l'absurde.
On pose a paire, c'est-à-dire
on a alors <=> <=> <=> <=>
Or 9 impair, donc impossible. L'hypothèse de départ est fausse.
Finallement, a est impaire.

b) On a avec .
Il existe x un entier naturel tel que
Or
D'où

On a alors : <=>
Etant un naturel, n'a pas de solutions.

2)a) si n = 2k,
si n = 2k + 1,

b) Par l'absurde, on pose a = 2k+1
On a : <=> <=>
Or impair donc l'hypothèse de départ est fausse, donc a pair.

a = 2k donc <=>

Par transitivité,
D'après question précédente, <=> impair.

c)


Donc on a (1) et
OU
(2) et

Or (1) faux car Or a pair donc il y a erreur.
Et (2) faux aussi car <=> ce qui est impossible bien évidemment

Je poste le 3) soon

[invitefc60305c]

OULAA
J'AI FAIT UNE TRES GROSSE ERREUR POUR LA 2)C)


Je corrige.



-> impossible
OU

OU


Après le raisonnement est le même.


Sinon pr le 3)a)
Puis je faire :
n impair => a pair => equation impossible

[kNz]

Ca m'intéresse ! Merci

1)a) Raisonnons par l'absurde.
On pose a paire, c'est-à-dire
on a alors <=> <=> <=> <=>
Or 9 impair, donc impossible. L'hypothèse de départ est fausse.
Finallement, a est impaire.

Plus simplement en justifiant que pour n>1 2^n est pair et a^2 doit être impair ie a impair.

b) On a avec .
Il existe x un entier naturel tel que
Or
D'où

On a alors : <=>
Etant un naturel, n'a pas de solutions.

A refaire ! Considérer que a est impair et voir ce que ça donne mod 4. Ta dernière ligne est fausse, a = -1 [4] <=> a = 3 [4] !

b) Par l'absurde, on pose a = 2k+1
On a : <=> <=>
Or impair donc l'hypothèse de départ est fausse, donc a pair.

Pas besoin de l'absurde, 3^n impair et 9 impair donc a² pair puis a pair.

a = 2k donc <=>

Par transitivité,
D'après question précédente, <=> impair.

On te demande pas 3^n impair parce que sinon pas besoin de calcul
C'est n impair qu'on veut.

c)


Donc on a (1) et
OU
(2) et

Or (1) faux car Or a pair donc il y a erreur.
Et (2) faux aussi car <=> ce qui est impossible bien évidemment

Que dire de 3^p - a par rapport 3^p + a ?
1*3=9 ?

Allez va pas trop vite

[chr57]

salut, tu aimes bien raisonner par l'absurde !, mais bon, souvent c'est pas la peine.

b) On a avec .
Il existe x un entier naturel tel que
Or
D'où

On a alors : <=>
Etant un naturel, n'a pas de solutions.

Je poste le 3) soon

(b) résultat précedent: a est impair.

et

pour :

- soit , alors a²...
- soit (à prend3 et 2 pour juliere en compte ...)
- soit , alors a²...

=>

[chr57]

Sinon pr le 3)a)
Puis je faire :
n impair => a pair => equation impossible

euh ?

"n impair => a pair", pourquoi donc ?

Si n est impair: n=2.k+1

-> alors,

-> si a est pair: ou alors

-> si a est impair: soit
soit
soit

alors a²...

[invitefc60305c]

1)b)
Comme , on a

Et (prouvé précédement)
Ce qui nous donne par transitivité :

Ce qui est impossible.