[Maths] [TS] Arithmétique - Page 2
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[Maths] [TS] Arithmétique



  1. #31
    invitefc60305c

    Re : [Maths][TS] Arithmétique


    ------

    Très limpide. Dommage que je ne l'ai pas trouvé par moi même.

    et
    Par transitivité :
    Or car q divisible par 3.
    On a :
    Soit :
    Or et
    Par transitivité :

    -----

  2. #32
    invited9092432

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    bonjour,

    je poste encore un exo d'arithmétique que j'ai fait, qui est interessant au cas où si ça interesse quelqu'un :


    On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10 = 9 + 1² ; 13 = 9 + 2²,
    etc. . .
    On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

    1. Étude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 2 où a appartient N, n appartient à N, n > 4.

    (a) Montrer que si a existe, a est impair.

    (b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

    2. Étude de l'équation d'inconnue a :
    a² + 9 = 3 où a appartient N, n appartient N, n > 3.

    (a) Montrer que si n > 3, 3 est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

    (b) Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

    (c) On pose n = 2p où p est un entier naturel, p > 2. Déduire d'une factorisation de 3 - a², que l'équation proposée n'a pas de solution.

    3. Étude de l'équation d'inconnue a :
    a² + 9 = 5 où a appartient N, n appartient N, n > 2

    (a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair.

    (b) On pose n = 2p, en s'inspirant de 2.(c) démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.

  3. #33
    invitea7fcfc37

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    Tiens c'est marrant j'avais l'énoncé dans les mains y a 10 minutes

  4. #34
    invited9092432

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    Oui, c'est l'exo de spé d'Asie 2004.

  5. #35
    invitefc60305c

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    Ca m'intéresse ! Merci

    1)a) Raisonnons par l'absurde.
    On pose a paire, c'est-à-dire
    on a alors <=> <=> <=> <=>
    Or 9 impair, donc impossible. L'hypothèse de départ est fausse.
    Finallement, a est impaire.

    b) On a avec .
    Il existe x un entier naturel tel que
    Or
    D'où

    On a alors : <=>
    Etant un naturel, n'a pas de solutions.

    2)a) si n = 2k,
    si n = 2k + 1,

    b) Par l'absurde, on pose a = 2k+1
    On a : <=> <=>
    Or impair donc l'hypothèse de départ est fausse, donc a pair.

    a = 2k donc <=>

    Par transitivité,
    D'après question précédente, <=> impair.

    c)


    Donc on a (1) et
    OU
    (2) et

    Or (1) faux car Or a pair donc il y a erreur.
    Et (2) faux aussi car <=> ce qui est impossible bien évidemment

    Je poste le 3) soon

  6. #36
    invitefc60305c

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    OULAA
    J'AI FAIT UNE TRES GROSSE ERREUR POUR LA 2)C)


    Je corrige.



    -> impossible
    OU

    OU


    Après le raisonnement est le même.


    Sinon pr le 3)a)
    Puis je faire :
    n impair => a pair => equation impossible

  7. #37
    invitea7fcfc37

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Ca m'intéresse ! Merci

    1)a) Raisonnons par l'absurde.
    On pose a paire, c'est-à-dire
    on a alors <=> <=> <=> <=>
    Or 9 impair, donc impossible. L'hypothèse de départ est fausse.
    Finallement, a est impaire.
    Plus simplement en justifiant que pour n>1 2^n est pair et a^2 doit être impair ie a impair.

    b) On a avec .
    Il existe x un entier naturel tel que
    Or
    D'où

    On a alors : <=>
    Etant un naturel, n'a pas de solutions.
    A refaire ! Considérer que a est impair et voir ce que ça donne mod 4. Ta dernière ligne est fausse, a = -1 [4] <=> a = 3 [4] !

    b) Par l'absurde, on pose a = 2k+1
    On a : <=> <=>
    Or impair donc l'hypothèse de départ est fausse, donc a pair.
    Pas besoin de l'absurde, 3^n impair et 9 impair donc a² pair puis a pair.
    a = 2k donc <=>

    Par transitivité,
    D'après question précédente, <=> impair.
    On te demande pas 3^n impair parce que sinon pas besoin de calcul
    C'est n impair qu'on veut.

    c)


    Donc on a (1) et
    OU
    (2) et

    Or (1) faux car Or a pair donc il y a erreur.
    Et (2) faux aussi car <=> ce qui est impossible bien évidemment
    Que dire de 3^p - a par rapport 3^p + a ?
    1*3=9 ?

    Allez va pas trop vite

  8. #38
    invited9092432

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    salut, tu aimes bien raisonner par l'absurde !, mais bon, souvent c'est pas la peine.

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    b) On a avec .
    Il existe x un entier naturel tel que
    Or
    D'où

    On a alors : <=>
    Etant un naturel, n'a pas de solutions.

    Je poste le 3) soon
    (b) résultat précedent: a est impair.

    et

    pour :

    - soit , alors a²...
    - soit (à prend3 et 2 pour juliere en compte ...)
    - soit , alors a²...

    =>

  9. #39
    invited9092432

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Sinon pr le 3)a)
    Puis je faire :
    n impair => a pair => equation impossible
    euh ?

    "n impair => a pair", pourquoi donc ?

    Si n est impair: n=2.k+1

    -> alors,

    -> si a est pair: ou alors

    -> si a est impair: soit
    soit
    soit

    alors a²...

  10. #40
    invitefc60305c

    Re : [Maths][TS] Arithmétique

    1)b)
    Comme , on a

    Et (prouvé précédement)
    Ce qui nous donne par transitivité :

    Ce qui est impossible.

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