Très limpide. Dommage que je ne l'ai pas trouvé par moi même.
et
Par transitivité :
Or car q divisible par 3.
On a :
Soit :
Or et
Par transitivité :
-----
Très limpide. Dommage que je ne l'ai pas trouvé par moi même.
et
Par transitivité :
Or car q divisible par 3.
On a :
Soit :
Or et
Par transitivité :
bonjour,
je poste encore un exo d'arithmétique que j'ai fait, qui est interessant au cas où si ça interesse quelqu'un :
On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10 = 9 + 1² ; 13 = 9 + 2²,
etc. . .
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
1. Étude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 2 où a appartient N, n appartient à N, n > 4.
(a) Montrer que si a existe, a est impair.
(b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
2. Étude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 3 où a appartient N, n appartient N, n > 3.
(a) Montrer que si n > 3, 3 est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
(b) Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
(c) On pose n = 2p où p est un entier naturel, p > 2. Déduire d'une factorisation de 3 - a², que l'équation proposée n'a pas de solution.
3. Étude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 5 où a appartient N, n appartient N, n > 2
(a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair.
(b) On pose n = 2p, en s'inspirant de 2.(c) démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.
Tiens c'est marrant j'avais l'énoncé dans les mains y a 10 minutes
Oui, c'est l'exo de spé d'Asie 2004.
Ca m'intéresse ! Merci
1)a) Raisonnons par l'absurde.
On pose a paire, c'est-à-dire
on a alors <=> <=> <=> <=>
Or 9 impair, donc impossible. L'hypothèse de départ est fausse.
Finallement, a est impaire.
b) On a avec .
Il existe x un entier naturel tel que
Or
D'où
On a alors : <=>
Etant un naturel, n'a pas de solutions.
2)a) si n = 2k,
si n = 2k + 1,
b) Par l'absurde, on pose a = 2k+1
On a : <=> <=>
Or impair donc l'hypothèse de départ est fausse, donc a pair.
a = 2k donc <=>
Par transitivité,
D'après question précédente, <=> impair.
c)
Donc on a (1) et
OU
(2) et
Or (1) faux car Or a pair donc il y a erreur.
Et (2) faux aussi car <=> ce qui est impossible bien évidemment
Je poste le 3) soon
OULAA
J'AI FAIT UNE TRES GROSSE ERREUR POUR LA 2)C)
Je corrige.
-> impossible
OU
OU
Après le raisonnement est le même.
Sinon pr le 3)a)
Puis je faire :
n impair => a pair => equation impossible
Plus simplement en justifiant que pour n>1 2^n est pair et a^2 doit être impair ie a impair.
A refaire ! Considérer que a est impair et voir ce que ça donne mod 4. Ta dernière ligne est fausse, a = -1 [4] <=> a = 3 [4] !b) On a avec .
Il existe x un entier naturel tel que
Or
D'où
On a alors : <=>
Etant un naturel, n'a pas de solutions.
Pas besoin de l'absurde, 3^n impair et 9 impair donc a² pair puis a pair.b) Par l'absurde, on pose a = 2k+1
On a : <=> <=>
Or impair donc l'hypothèse de départ est fausse, donc a pair.
On te demande pas 3^n impair parce que sinon pas besoin de calcula = 2k donc <=>
Par transitivité,
D'après question précédente, <=> impair.
C'est n impair qu'on veut.
Que dire de 3^p - a par rapport 3^p + a ?c)
Donc on a (1) et
OU
(2) et
Or (1) faux car Or a pair donc il y a erreur.
Et (2) faux aussi car <=> ce qui est impossible bien évidemment
1*3=9 ?
Allez va pas trop vite
salut, tu aimes bien raisonner par l'absurde !, mais bon, souvent c'est pas la peine.
(b) résultat précedent: a est impair.
et
pour :
- soit , alors a²...
- soit (à prend3 et 2 pour juliere en compte ...)
- soit , alors a²...
=>
1)b)
Comme , on a
Et (prouvé précédement)
Ce qui nous donne par transitivité :
Ce qui est impossible.