[Maths] [TS] Intégrales

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, on considère l'intégrale :

1) Montrer que est décroissante.
2) Calculer .
3) Montrer que ,
4) En déduire , et .
5) Démontrer que : , et en déduire la limite de .
6) Déterminer la valeur de et en déduire la limite de .
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PS : J'ai supprimé quelques questions intermédiaires, elles seront données si il y a blocage

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1) Il faut montrer que
<=>


Or => =>
D'où => <=> <=> décroissante

2)
On intègre par partie.
On pose et
Alors et

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1) Evite d'utiliser le symbole d'équivalence quand t'en as pas besoin, la preuve ici tu fais une erreur :

(In) décroissante n'implique pas que In+1 - In < 0, si (In) est constante, elle est bien décroissante, et pourtant In+1 - In = 0.

2) Ok mais encore un problème de rédaction
Précise bien que u et v sont dérivables et que leur dérivée est continue !

Vocabulaire

On dit qu'une fonction est de classe C¹ quand sa dérivée est continue.
On dit qu'une fonction est de classe Cⁿ quand sa dérivée n-ième est continue.
On dit qu'une fonction est de classe C^oo quand, pour tout n entier naturel, sa dérivée n-ième est continue.

C'est juste pour la culture personnelle, à ne pas employer dans une copie de bac !!

Pour le reste c'est bon

[A voir en vidéo sur Futura]

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3) Il faut montrer que



On intègre par partie.
On pose : et
u et v sont continues et dérivables.
On a alors : et




En passant au rang suivant.




4)



5) a) <=>

=> => =>

On a démontré que

b)

On divise tout par


On multiplie tout par

On pose
Par ailleurs
Donc

Finalement

c) Th des gendarmes, puisque quand on a
Et que
On en déduit que tend vers 0

6)a)


b)

Les limites conservent les égalités. Donc on a
limite en de = limite en de

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3) Il faut montrer que

Non, il faut pas montrer ça Respecte l'énoncé Tel que c'est indiqué, ce que tu montres vaut pour tout n, quid du cas n=0, notamment pour I_n-1. Montre ce qu'on te demande, pars de n+1 pour arriver à n, c'est pareil pour après ou tu dis que tu changes de rang.

On pose : et
u et v sont continues et dérivables.
On a alors : et

Petite confusion pour v, sinon, on ne pose pas v' = .. , on pose v = .. et on remarque qu'en dérivant on obtient bien ce qu'on veut

4) A revoir !

5) a) Toutes les ingéalités au sens large !

b)

On divise tout par


On multiplie tout par

En gros on a juste divisé par n+1
Ok sinon, mais inégalité au sens large.

Pour le reste ok.