DM de maths sur SUITES et INTEGRALES

[invite54c7e946]

Bonjour à tous!

Cela fais plusieurs heures que je suis sur un DM de maths sur les suites, et j'aurais besoin de vérifier mes réponses et de l'aide pour certaines (... pas mal) de question...

Voici l'énoncé et
=< signifie "inférieur ou égal" :



On pose dans tout le problème : pour tout n>0
pn = [1/ (4^n)] * ( n parmi 2n )
avec ( n parmi 2n ) = (2n!) / (n!)^2

But : trouver des équivalents de Sn=(pn) et Tn=((pn)^2)

On introduit à cet effet : Vn = rac(n) * pn



A. ETUDE DE(Vn)

1. CALCULER V1 et V(n+1) / Vn

V1 = 1/2 et V(n+1) =(2n+1)^2 * [rac(n+1) / rac(n)]


2. PROUVER PAR RECURRENCE QUE Vn <ou égal à rac(n / (2n+1))

Hérédité ( c'est assez long et peut etre bizarre... rectifier moi svp si mon raisonnement est faux! )

Vn = rac(n) * [1/ (4^n)] * (2n!) / (n!)^2
et Vn =< rac(n / (2n+1)) par hypothèse.
...
V(n+1) =< 1/2 * [rac(2n +1) / rac(n+1)]

mq : 1/2 * [rac(2n +1) / rac(n+1)] =< [rac(n +1) / rac(2n+3)] i.e mq : (2n+1) / 4(n+1) - (n+1) / (2n+3) =< 0

or en mettant au meme dénominateur, le numérateur obtenur = -1 ce qui est bien < 0

donc proposition vraie au rang n+1


3. ETUDIER LE SENS DE VARIATION DE (Vn° ET MQ'ELLE CV VERS UN NOMBRE REEL L TEL QUE :
1/2 =< L =< 1/rac(2)

cette inéquation me parait bizzare : 1/2 < 1/rac(2) ????

anyway :
V(n+1) / Vn > 1 donc croissante et minorée par son premier terme 1/2

De plus, on a montré 2. donc Vn majorée donc CV vers L. Montrons donc : L =< 1/rac(2)

on considère la suite rac(n / (2n+1)) croissante donc minorée par son 1er terme 1/rac(3) donc L =< 1/rac(2) est vrai.


4. EN DEDUIRE :
a/ EQUIVALENTS SIMPLES DE pn ET (pn)^2
b/ LA NATURE DE (Sn) ET (Tn)

a/ pn ~ L / rac(n)
(pn)^2 ~ L^2 / n

b/ je viens de remarquer que j'i fais une bétise. donc je n'y ai pas encore véritablement réfléchi...


5. EN ADMETTANT L'EQUIVALENT DE STIRLING n! ~ rac(2*pi*n) * (n/e)^n
a/ DONNER UN ~ DE Vn
b/ RETROUVER LA cv DE (Vn) ET DONNER LA VALEUR DE L

a/ Voila là où ca commence à se compliquer... je trouve :
Vn ~ n * rac(2*pi) * [(n^2) / (2e) ]^n
me suis-je trompée? peut-on encore simplifier??

b/ ... je n'y arrive pas... des pistes svp?



B. RAPIDITE DE LA CV DE (Vn)

1. EN APPLIQUANT LES INEGALITE DE LA MOYENNE A LA DERIVEE DE LA FONCTION t -> rac(t) SUR UN INTERVALLE CONVENABLE, MQ :
POUR TT X>0
1 / [8 * (X + 0.5)] =< (X + 0.5) - rac(X(X+1)) =< 1 / [8 * rac(X(X+1)) ]

J'ai beaucoup réfléchi, je ne connais pas la méthode, je ne sais meme pas sur quel intervalle il faut appliquer l'intégrale... HELP!!


2. EN DEDUIRE QUE :
POUR TT k entier naturel non nul :
Vk / [8 * (k + 0.5)] - Vk / [8 * (k + 3/2)] =< V(k+1) - Vk =< Vk / 8k - Vk / [8 * (k + 1)]

Je ne l'ai pas encore fait (car au dessus non fait...)



merci infiniement pour votre aide!!
-----

[invite54c7e946]

pour la question A/1 , rectification :

V(n+1) / V(n) =(2n+1)^2 * [rac(n+1) / rac(n)]

[invite4b9cdbca]

Si tes calculs sont juste, ta récurrence est bonne.

Remarque : tu initialisesta récurrence à quel rang ?
Remarque 2 : oui 1/2<1/sqrt(2) puisque sqrt(2)<2

[invite54c7e946]

en fait, je me suis trompée pour A/1/ et donc pour A/2/ :

les réponses correctes pour ces questions :

v(n+1)/v(n)
=[Rac(n+1) * (2n+1) !)]/[(n+1) ! (n+1) ! * 4^(n+1)]* [4^n * n! * n!]/[(2n)!*Rac[n]]
=1/2* (2n+1)/(Rac(n*(n+1))


2)
v(n+1) <= v(n)*1/2*(2n+1)/rac(n*(n+1))
= ½* Rac(2n+1)/Rac(n+1)

Compare :
Rac[(n+1)/(2n+3)] et ½* Rac[(2n+1)/(n+1)]
Ce sont deux nombres positifs: tout revient donc à comparer leurs carrés , d' où , il faut étudier le signe de :
(n+1)/(2n+1)-1/4*(2n+1)/(n+1)
tous calculs fait :
1/(4*(2n+3)*(n+1)) > 0
v(n+1) <= ½* Rac[(2n+1)/(n+1)] <= Rac[(n+1)/(2n+3)]

donc vraie au rg n+1


______________________________ _________
Pour la question 3/ je maintiens ce que j ai ecris mais je ne suis pas du tout sure... merci kron entk!

[A voir en vidéo sur Futura]