[Maths spé] Application du théorème de Leibniz sur les intégrales à paramètres

[invite7d436771]

Bonjour,

Je suis bloqué sur la toute fin d'un exo et j'aurais besoin d'un peu d'aide ...
Soit F-> t variant de 0 à l'infini ... Elle est définie sur R+*, j'apllique Leibniz deux fois et je trouve F''(x)= . J'intégre donc ça en arctan, mais je dois calculer la valeur de la constante d'intégration et c'est là ou je bloque .. La dite constante vaut 0 mais comment le justifier ?Je pensais utiliser la valeur en 0 mais F' n'ets pas définie en 0 .. Et je me vois mal raisonner sur la limite en l'infini vu que celle de arctan est non nulle ... Que dois-je faire ?

En vous remerciant par avance,

Cordialement,

Nox
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[invite4ef352d8]

qu'elle tu théorème de leibniz ?


sinon tu as deux constante à déterminer, a ta place j'examinerai la limite en 0 (F tend vers 0 en 0) et un équivalent en +infinit (tu arrive à le trouver ? )

[invite7d436771]

Bonjour,

Le théorème de Leibniz doit être aussi appelé théorème de dérivation des fonctions définies par une intégrale à paramètre ou quelque chose dans le genre, bref c'est celui qui dit continue par rapport à la variable d'intégration C1 par rapport au paramètre ave une domination de la dérivée partielle etc ...

J'ai effectivement deux constantes à déterminer, mais les deux sont nulles et la méthode doit être dans le même genre pour la deuxième ... J'avais écrit par unicité de la limite en faisant tendre x vers 0 dans l'expression de F' on obitent que la constante est nulle (idem pour la deuxième constante) mais mon rapport est revenu avec cette ligne entourée de Ah bon ? donc je me suis dis que je ne devais avoir pris la bone méthode .. Quant à l'équivalence en +infini ça me parait assez lourd à mettre en place donc je me demandais s'il n'yuavit pas un truc pour ce cas précis ...

Cordialeemnt,

Nox

[invitebb921944]

Bonjour
Tu ne peux pas passer, d'une manière générale, le signe limite sous le signe intégrale !
Si tu n'as rien justifié, il est normal que ton prof fasse la moue !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

ah ok c'est un joli nom en effet ^^


non l'équivalent en +inf n'est pas extremement compliqué, ici c'est le comportement pout t proche de 0 qui cause la divergence...

mais sinon oui, on a effectivement F(0)=0 et F'(0)=0 et vu que tu as déja justifié que F était C1 je ne vois pas le probleme ! (a moins que tu n'est justifié que c'est C1 seulement sur R* ? )

[invite4ef352d8]

hum remarque je viens de le faire, et finalement, c'est pas une bonne idée le comportement en +inf...

[invite7d436771]

Honte à moi ...

Alors je me lance : on a |F'(x)|= ||x en utilisant |sin(xt)|<|xt| puis en faisant tendre x vers 0 je peux conclure par le théorème de sgendarmes. C'est bon ?

Cordialement,

Nox

[invite7d436771]

Bonjour,

Effectivement je ne peux conclure que sur R* avec ce théorème pour le caractère C1 d'où mon impasse ...

Cordialement,

Nox

[invite4ef352d8]

d'accord, donc tu as su prouver que F est dérivable sur R, et C1 sur R*, tous ce qu'il te manque c'est la continuite de F' = intégral de 0 a +infinit de sin(xt)*exp(-t)/t en 0

c'est ca ?

je te propose d'utiliser tous simplement que |sin(x)|<x ca devrai te donner le résultat imédiatement.

[invite4ef352d8]

oups, j'avait pas vu ton message précedent, oui c'est exactement ca.