[Maths spé] Convergence d'une intégrale généralisée

[Nox]

Bonjour,

J'aimerai savoir comment étudier la convergence de l'intégrale de exp(-t)/t sur [-1,1] (sachant que selon le rapport de l'X il est maladroit de chercher une majoration en 1/t²). Soit. Mais ce cas me laisse perplexe : toutes mes intégrales de référence sont ailleurs que sur [-1,1] et j'ai bien conscience qu'en 0 il est inutile de chercher un prolongeement par continuité, la convergence venant du fait que la partie pour les t<0 "compense" en partie celle pour t>0. Un indice serait le bienvenu ..

Cordialement,

Nox
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[invite4ef352d8]

Salut !

non l'intégral est divergente.


ce dont tu parle, c'est l'intégral de sur [-1,-x] union [x,1] de exp(-t)/t qui converge quand x tend vers 0, ca na rien à voir.

et pour prouver cela le plus simple est je pense de donne un dévelopement assymptotique d'une prmitive de exp(-t)/t quand t->0. (en utilisant les intégrations de relation de comparaison...)

[invite9cf21bce]

Salut !

Personnellement je ne lui trouve pas grand sens, à cette intégrale et je te montre pourquoi :

Tout d'abord on a où f est une fonction continue sur . Il est donc raisonnable de penser que la validité de l'intégrale proposée est subordonnée à celle de , et on aura :


Il s'agit donc de donner du sens à l'intégrale de .

Manque de bol, l'intégrale sur ]0;1[ et l'intégrale sur ]-1;0[ n'ont pas de sens, ni par convergence ni par intégrabilité.

Pour valider un passage à la limite, on peut comme tu le dis prendre la limite simultanément à droite et à gauche :
ce qui fait 0.

Mais on commet là le même abus que celui qui consiste à dire qu'une expression qui dépend de deux paramètres tend vers une limite lorsque x et y tendent vers 0 sous prétexte que existe.

Prendre ici , où :
Alors
Et la limite est différente selon la méthode :

• Par exemple, si on fait tendre x et y équitablement vers 0 : , donc limite 0
• Si on fait tendre x deux fois moins vite : , donc limite
• Si on fait tendre x comme y² : , donc limite

Donc, encore une fois, je trouve ça très douteux... Comme toi d'ailleurs.

Taar.

[Nox]

Bonjour,

Je sais d'ou vient mon problème. Le rapport que l'on m'a fourni donne l'intervalle [1,1] en fait donc il ya une faute de frappe que je n'avais pas vue (j'avais lu [-1,1]) et en vérifiant sur
http://www.imprimerie.polytechnique....raleMathPC.pdf il s'agit de [1,+infini] et donc la je n'ai pas de problème (petite majoration par exp(-t) + théorème comparaison fonction positives)

Cordialement,

Nox

[A voir en vidéo sur Futura]