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[Maths spé] Convergence d'une intégrale généralisée



  1. #1
    Nox

    [Maths spé] Convergence d'une intégrale généralisée


    ------

    Bonjour,

    J'aimerai savoir comment étudier la convergence de l'intégrale de exp(-t)/t sur [-1,1] (sachant que selon le rapport de l'X il est maladroit de chercher une majoration en 1/t²). Soit. Mais ce cas me laisse perplexe : toutes mes intégrales de référence sont ailleurs que sur [-1,1] et j'ai bien conscience qu'en 0 il est inutile de chercher un prolongeement par continuité, la convergence venant du fait que la partie pour les t<0 "compense" en partie celle pour t>0. Un indice serait le bienvenu ..

    Cordialement,

    Nox

    -----
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  2. Publicité
  3. #2
    Ksilver

    Re : [Maths spé] Convergence d'une intégrale généralisée

    Salut !

    non l'intégral est divergente.


    ce dont tu parle, c'est l'intégral de sur [-1,-x] union [x,1] de exp(-t)/t qui converge quand x tend vers 0, ca na rien à voir.

    et pour prouver cela le plus simple est je pense de donne un dévelopement assymptotique d'une prmitive de exp(-t)/t quand t->0. (en utilisant les intégrations de relation de comparaison...)

  4. #3
    Taar

    Re : [Maths spé] Convergence d'une intégrale généralisée

    Salut !

    Personnellement je ne lui trouve pas grand sens, à cette intégrale et je te montre pourquoi :

    Tout d'abord on a où f est une fonction continue sur . Il est donc raisonnable de penser que la validité de l'intégrale proposée est subordonnée à celle de , et on aura :


    Il s'agit donc de donner du sens à l'intégrale de .

    Manque de bol, l'intégrale sur ]0;1[ et l'intégrale sur ]-1;0[ n'ont pas de sens, ni par convergence ni par intégrabilité.

    Pour valider un passage à la limite, on peut comme tu le dis prendre la limite simultanément à droite et à gauche :
    ce qui fait 0.

    Mais on commet là le même abus que celui qui consiste à dire qu'une expression qui dépend de deux paramètres tend vers une limite lorsque x et y tendent vers 0 sous prétexte que existe.

    Prendre ici , où :
    Alors
    Et la limite est différente selon la méthode :
    • Par exemple, si on fait tendre x et y équitablement vers 0 : , donc limite 0
    • Si on fait tendre x deux fois moins vite : , donc limite
    • Si on fait tendre x comme y2 : , donc limite

    Donc, encore une fois, je trouve ça très douteux... Comme toi d'ailleurs.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 23/06/2007 à 19h23.

  5. #4
    Nox

    Re : [Maths spé] Convergence d'une intégrale généralisée

    Bonjour,

    Je sais d'ou vient mon problème. Le rapport que l'on m'a fourni donne l'intervalle [1,1] en fait donc il ya une faute de frappe que je n'avais pas vue (j'avais lu [-1,1]) et en vérifiant sur
    http://www.imprimerie.polytechnique....raleMathPC.pdf il s'agit de [1,+infini] et donc la je n'ai pas de problème (petite majoration par exp(-t) + théorème comparaison fonction positives)

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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