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Intégrale généralisée



  1. #1
    jozog47

    Intégrale généralisée


    ------

    Voilà l'exercice qu'il nous est proposé d'étudier.



    La fonction est continue sur ] 0 ; 3 [ U ] 3 ; + infini [

    On a donc problème en 0, 3 et +infini.

    # En 0

    La fonction est équivalente à 1 / t^(3/2) donc d'après Riemann et par critère de comparaison des fonctions positives, l'intégrale de 0 à 1 diverge.

    Peut-on s'arrêter là en concluant que l'intégrale proposée diverge ou faut-il continuer en étudiant 3 et + infini ?

    # En 3

    La fonction est équivalente à [ exp(-3)+2 ] / |3-t|^(1/4) donc, d'après le corollaire du théorème de Riemann et par critère de comparaison des fonctions positives, l'intégrale de 1 à 3 converge.

    # En + infini

    C'est là que ça me pose problème.

    Je ne vois pas du tout comment procéder. Par majoration peut-être mais je ne vois pas par quoi majorer.

    En espérant que vous pourrez m'éclairer sur toutes mes interrogations, je vous en remercie d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : Intégrale généralisée

    Salut,

    La fonction est équivalente à 1 / t^(3/2) donc d'après Riemann et par critère de comparaison des fonctions positives, l'intégrale de 0 à 1 diverge.

    Peut-on s'arrêter là en concluant que l'intégrale proposée diverge ou faut-il continuer en étudiant 3 et + infini ?
    Si la fonction était effectivement équivalente à en 0, tu aurais en effet pu t'arrêter là. Sauf que c'est faux. (fais un dl d'ordre 2 de )

    l'intégrale de 1 à 3 converge.
    Veille à préciser que l'intégrale converge aussi à droite.

    Sinon en , le dénominateur est équivalent à : il suffit après de vérifier que le numérateur ne croît pas trop vite.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    jozog47

    Re : Intégrale généralisée

    # e(-t) est bien équivalent en 0 à 1 (sa limite en 0), cependant on ne somme pas les équivalents, c'est bien là l'erreur que j'ai commise en me pressant.

    On a donc la fonction qui est équivalente en 0 à 2 / t^(1/2) et donc, d'après les intégrales de Riemann et les critères de comparaison, l'intégrale est convergente.

    # En + infini, suffit-il de dire que le numérateur croît à la vitesse de t pour pouvoir conclure ? Ou cela nécessite-t-il plus d'explications ?

  5. #4
    martini_bird

    Re : Intégrale généralisée

    Salut,

    # En + infini, suffit-il de dire que le numérateur croît à la vitesse de t pour pouvoir conclure ? Ou cela nécessite-t-il plus d'explications ?
    En effet, l'intégrande est équivalent à et le critère de Riemann t'assure une fois de plus la convergence.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    jozog47

    Re : Intégrale généralisée

    Merci beaucoup pour ton aide, ça me permet d'y voir un eu plus clair

    Voilà un autre exemple que l'on nous a proposé.



    En 0, la fonction étant équivalente à x, il est assez aisé de déterminer que cette intégrale converge.

    Cependant, en +infini, je suis gêné par l'exponentielle au dénominateur.

    Voilà la méthode que j'appliquerais ici.

    Soit f ( x ) la fonction dans l'intégrale.

    x² f ( x ) ---> 0 quand x ---> + infini

    Donc il existe A réel / pour tout x > A : x² f ( x ) < 1
    ===> pour tout x > A : f ( x ) < 1 / x²

    D'après Riemann et les critères de comparaison, l'intégrale de 1 à + infini de f converge donc.

    Cette méthode est-elle correcte ?

  8. #6
    martini_bird

    Re : Intégrale généralisée

    Salut,

    Cependant, en +infini, je suis gêné par l'exponentielle au dénominateur.
    Pourtant, c'est elle qui fait converger l'intégrale, et comment !

    Ta démarche est correcte.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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