Intégrale généralisée difficile

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J' ai pu résoudre:

Intégrale de 3 à 4 de [ln(x^3-x^2-2*x)] elle a pour valeur exacte: ln(12500/27)-3

Par contre je butte sur l'intégrale généralisée suivante:

Intégrale de -1 à 0 de [ln(x^3-x^2-2*x)]

Comment procéder pour établir sa convergence puis la calculer?Une primitive de ln(x^3-x^2-2*x) est:

F(x)=x*ln(x^3-x^2-2*x)-3*x+ln(x+1)-2*ln(x-2)

et le résultat dont je cherche la preuve est:

ln(27/4)-3

Si quelqu' un peut me montrer comment il faut démarrer,
je le remercie d' avance.

cordialement le fouineur
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[matthias]

Une primitive de ln(x^3-x^2-2*x) est:

F(x)=x*ln(x^3-x^2-2*x)-3*x+ln(x+1)-2*ln(x-2)

Ceci est faux sur ]-1;0[. Tu ne peux pas avoir ln(x-2) puisque x-2 < 0. Par contre avec ln(2-x), ça marche très bien.
Rappel : une primitive de 1/x est ln(|x|) !

Pour ton intégrale, il suffit de trouver les limites de F en -1 et 0.

Ce sera sans doute plus facile si tu arrives à mettre F sous cette forme:
F(x) = x.ln(-x) + (x+1).ln(x+1) - (2-x).ln(2-x) -3x

[le fouineur]

Merci matthias pour ta réponse rapide,

Je m' y mets par ta méthode.J' espère ne pas butter sur
une autre difficulté...

cordialement le fouineur

[le fouineur]

Bonsoir à tous,

matthias,je n' arrive pas à me rapprocher de la forme suggérée dans ton message précédent.Pourrais-tu me montrer comment tu procèdes pour y parvenir.

merci d' avance le fouineur

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite636fa06b]

Bonsoir,
Il suffit de partir de la décoposition dans F de l'argument du premier log :
(x^3-x^2-2*x) = -x (x+1) (2-x)
et donc ln(x^3-x^2-2*x) = ln(-x) + ln(x+1) + ln(2-x)

[le fouineur]

Merci zinia pour ta réponse,

J'ai finalement pu obtenir le résultat cherché, soit:

[x*ln(-x)+(x+1)*ln(x+1)+(x-2)*ln(2-x)-3*x] de -1 à 0

=ln(27/4)-3

Mais cette primitive n' est plus valable si l' on veut intégrer de 3 à 4 par exemple.Pour intégrer entre ces dernières bornes, il faut utiliser la primitive que j' ai donné dans le message#1.Pourquoi donc une mème fonction admet-elle deux primitives d'expressions complètement différentes selon l' intervalle d' intégration choisi?

Merci de répondre à cette dernière question ,

cordialement le fouineur

[invite636fa06b]

Bonjour,

Elles ne sont pas radicalement différentes, tu peux écrire la première sous une forme proche de la seconde.
En fait, le problème c'est la valeur absolue de l'argument du log qui selon le domaine d'intégration donnera des signes différents.
Déjà ta fonction n'est définie que pour deux intervalles ]-1;0[ et ]2;+infini[. Dans chaque cas, tu dois adapter le résultat...

[le fouineur]

Bonjour zinia,

Merci pour ta réponse.L' important pour moi est d' avoir réussi à la résoudre.Ceci dit, il faudra dorénavant que je m' interroge sur le sens d' une primitive avant d'essayer de calculer une intégrale définie oû figurent des log.

cordialement le fouineur