Convergence d'une intégrale impropre

[Bleyblue]

Bonjour,

Si f(x) est une fonction continue partout sur [a, +oo[ (a étant une réel) je cherche à savoir si :



?
Intuitivement je dirais que c'est le cas, maintenant j'ai essayé de démontrer mais j'ai du pas mal chipoter donc il y a probablement des choses qui coincent

Avez-vous une démonstration courte et rigoureuse à proposer ?

merci
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[invitec314d025]

Si tu sais que :



il suffit d'utiliser Cauchy pour le reste de la démonstration.

[Bleyblue]

Que veux-tu dire par Cauchy ? L'inégalité sur les intégrales qu'on déduit de l'inégalité de Buniakowski-Cauchy-Schwartz (e.v euclidien) ?

merci

[Bleyblue]

Et tiens cette inégalité est aussi valable pour les intervalles infinis ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Par Cauchy, je veux dire que, f étant continue sur :

[Bleyblue]

Ah bon, je ne connaissais pas ça

merci !

[invitec314d025]

C'est juste la version adaptée aux intégrales du théorème de Cauchy sur les limites. Comme R est complet, on a pour toute fonction f à valeurs dans R définie au voisinage de l'infini :



Tu appliques ça à une primitive de ta fonction et tu obtiens ce que j'ai écrit précédemment.

Tu ne connais vraiment pas ?

[Bleyblue]

Ben non

Moi le théorème qui s'en rapproche le plus que je connaisse c'est :



merci

[invitec314d025]

Tu as vu les suites de Cauchy ?

[Bleyblue]

Ben il y a une note la dessus dans mon cours mais le professeur n'en a pas parlé au cours oral à l'époque alors je n'y ai pas trop prêté attention surtout que ça n'avait pas l'aire triviale, il est noté :

Théorème (Cauchy) :

Tiens c'est vrai que ça ressemble assez fort à tes formules ci-dessus

Mais donc une suite de Cauchy c'est simplement une suite convergente ? Pourquoi utilise-on deux dénominations pour un seul et même concept ?

merci

[invitec314d025]

Mais donc une suite de Cauchy c'est simplement une suite convergente ? Pourquoi utilise-on deux dénominations pour un seul et même concept ?

Non. Les suites convergentes sont toujours des suites de Cauchy, mais l'inverse n'est pas vrai en général. Quand toutes les suites de Cauchy sont convergentes, on dit que l'espace est complet. C'est le cas de R (muni de la distance classique |x-y|).
Par contre Q n'est pas complet, c'est même en le complétant que l'on construit R (enfin c'est une des constructions possibles). Prends une suite de rationnels qui converge vers (dans R). C'est une suite de Cauchy dans Q, mais elle ne converge pas dans Q.

[Bleyblue]

Ah oui, "complétude de R", on avait vu ça au début du chapitre sur les suites.
On nous a expliqué comment construire R à partir de Q si je me souviens bien (il faut dire que j'ai réussit cette partie à l'examen de Janvier donc je suis dispensé pour Juin donc j'ai un peu oublié )

merci