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Intégrale impropre



  1. #1
    Bleyblue

    Intégrale impropre


    ------

    Bonjour,

    Soit une fonction continue.

    Tout le monde sait bien que :

    (si les deux intégrales convergent)

    et que cette intégrale est différente de l'intégrale

    sauf si l'intégrale de départ converge (auquel cas les valeurs sont identiques)

    Pour ce qui est de la dimension 2 :

    Soit une fonction continue.

    Alors d'après ce que j'ai lu dans un livre :



    ou Da désigne le disque centré en (0,0) de rayon a.

    C'est tout de même bizarre non ? En dimension 2 il suffit d'intégrer sur un domaine centré en (0,0) et de faire tendre la "taille" de celui-ci vers l'infini alors que c'est interdit en dimension 1.

    Est-ce normal ?

    merci !

    -----

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  3. #2
    homotopie

    Re : Intégrale impropre

    Bonjour Bleyblue,
    pour le cas de la dimension 2, tu es sûr que tu n'as pas loupé une hypothèse supplémentaire sur f (du type f positive ou lfl intégrable) ? car en dimension 2 (encore plus je dirais) comme en dimension 1 si f est intégrable mais sans que lfl le soit alors la limite de son intégrale sur un compact D avec D qui "converge" vers le plan en entier va dépendre de comment on fait converger.
    Par exemple, f(x,y)=x+y n'est pas intégrable sur le plan mais la limite de son intégrale sur Da existe bien.
    Par contre si lfl est intégrable sur le plan alors on peut calculer l'intégrale de f sur le plan en calculant l'intégrale de f sur des compacts D qui "finissent par remplir le plan" et en prenant la limite sur D.

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Intégrale impropre

    Eh bien le sujet (intégrale multiples généralisées) n'est pas vraiment abordé dans le livre (c'est de l'analyse de base) mais effectivement j'ai mal lu

    Ils précisent dans un énoncé d'exercice que :

    "On définit l'intégrale impropre :

    ... "

    Ca doit vouloir dire "on définit cette intégrale impropre la comme ça".

    Donc tu me dis que cette définition est valable pour toute fonction telle que |f| est intégrable ? Intégrable sur quel domaine ?

    Sinon la tantôt j'ai été demander au professeur d'analyse qui m'a dit que pour définir proprement l'intégrale double impropre il falait utiliser l'intégrale de lebesgue

    merci

  5. #4
    Ledescat

    Re : Intégrale impropre

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message

    Sinon la tantôt j'ai été demander au professeur d'analyse qui m'a dit que pour définir proprement l'intégrale double impropre il falait utiliser l'intégrale de lebesgue
    Paradoxal tout ça .
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rvz

    Re : Intégrale impropre

    Salut,

    Ce que te dit ton professeur d'analyse m'étonne : Justement l'intégrale de Lebesgue est un beau cadre pour traiter les intégrales de fonctions positives ou de fonctions telles que |f| est intégrable, et dans ce cas, quelle que soit la suite d'ouvert que tu prends qui tend vers tout l'espace (enfin dans un sens raisonnable), les intégrales vont toujours converger vers la même chose.

    __
    rvz

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Intégrale impropre

    Citation Envoyé par Ledescat
    Paradoxal tout ça
    haha oui je n'avais pas vu
    Disons donc soigneusement plutôt

    Citation Envoyé par rvz
    Ce que te dit ton professeur d'analyse m'étonne : Justement l'intégrale de Lebesgue est un beau cadre pour traiter les intégrales de fonctions positives ou de fonctions telles que |f| est intégrable, et dans ce cas, quelle que soit la suite d'ouvert que tu prends qui tend vers tout l'espace (enfin dans un sens raisonnable), les intégrales vont toujours converger vers la même chose.
    Ah je ne sais pas je ne connais pas l'intégrale de Lebesgue (je ne suis qu'au niveau L2 plus ou moins)

    Mais si ce n'est pas le cas, comment la définirais tu alors, cette fameuse intégrale ?

    merci !

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  10. #7
    rvz

    Re : Intégrale impropre

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Mais si ce n'est pas le cas, comment la définirais tu alors, cette fameuse intégrale ?
    Salut,

    Bon c'est vrai, je me suis embrouillé entre intégrale impropre et semi-convergente suite à ton premier post Donc je récapitule, en supposant que l'intégrale sur un ensemble borné ne pose pas de problème.

    1/ Intégrale impropre sur R^n (marche aussi avec n=1).
    Soit une fonction f de R^n dans R que l'on veut intégrer sur R^n. On veut définir


    Pour cela, il est naturel de se donner une suite d'ensembles de plus en plus grands qui tendent vers R^n (disons que par exemple et que les sont des ensembles bornés réguliers, ie où l'intégrale est bien définie (pas une fractale quoi) ).
    Alors on a envie de dire que

    Le problème vient du fait que cette limite n'existe pas forcément d'une part, et d'autre part, même si elle existe, il se peut très bien qu'elle soit différente pour une autre suite qui tend vers R^n. Par exemple, dans R (n=1), si j'intègre f(x) =x sur [-p,p], ça fait toujours 0, mais si j'intègre sur [-p,exp(p)], ça a facheusement tendance à tendre vers +infini quand p tend vers +infini.

    Cela dit, on peut contourner ce problème dans le cas des fonctions positives à cause des propriétés de croissance de l'intégrale. Effectivement, dans ce cas, il est facile de voir que pour toute suite tendant vers R^n, on a


    Du coup, si la fonction f est positive, il n'y a aucune ambiguité, soit elle est d'intégrale finie sur R^n, soit elle ne l'est pas, et l'intégrale des fonctions positives est toujours définie et est à valeurs dans

    Maintenant, si on reconsidère le cas des fonctions f de signe quelconque, on peut toujours commencer par regarder si |f| est intégrable (ie si son intégrale n'est pas + infini, intégrale dont on a vu qu'elle faisait absolument sens). Si |f| est intégrable, en travaillant un peu, on peut s'apercevoir que ne dépend pas de la suite considérée (il faut vérifier que si on prend deux suites d'ensembles qui convergent vers R^n, alors les deux limites sont égales). On pose alors, sans ambiguité, que
    pour une suite qui converge vers R^n.

    NB: En fait, l'intégrale de Lebesgue ne fait sens que lorsque l'intégrale de |f| sur R^n est finie. La présentation est juste simplifiée, car il n'y a pas de différence avec l'intégrale de Lebesgue entre intégrer sur un borné ou sur un non borné, ou une variété riemanienne.

    2/ Intégrale semi-convergente.
    Ici il s'agit de définir une notion faible d'intégrale lorsque |f| n'est pas intégrable. Remarquons que déjà sur R, comme le mentionnait Bleyblue dans son premier post, ce n'est pas très sympa. En fait, cette notion est très claire quand il n'y a qu'un seul sens de départ à l'infini, sinon chaque définition est ad hoc.
    Par exemple, on va dire qu'une intégrale de 0 à l'infini existe si
    a une limite quand r tend vers l'infini. Evidemment, c'est possible que ça arrive même si |f| n'est pas intégrable, cf le fameux exemple du sinus cardinal.

    Cela dit, sur R, c'est déjà plus compliqué. Est-il plus naturel de tendre vers R via [-r,r], [-ln(r),e^r] ou autre chose ? En dimension supérieure, c'est pareil: Pour tendre vers R^n, on peut le faire par des boules, des carrés, des ellipses, des losanges, etc... Pourquoi privilégier une forme plutot qu'une autre ? Bref, les intégrales semi-convergentes ne sont selon moi bien définies que sur [0,infini[.

    Remarque : Si et s'il existe une suite d'ensemble qui tend vers tel que converge (ce qui est typiquement le cas des intégrales semi-convergentes, n'est ce pas ?) alors pour tout a dans R (ou même égal à + ou - l'infini) on peut trouver une suite d'ensemble qui tend vers telle que

    Autant dire que la notion d'intégrale impropre est pour le moins subjective. (Pour une référence de ce théorème, je ne sais pas, il me semblait l'avoir écrit une fois, mais je n'arrive pas à retrouver ça, désolé)


    __
    rvz, qui va peut-être se mettre à bosser maintenant

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Intégrale impropre

    Je vois, merci bien pour l'exposé

    De toute façon en attendant de voir ça au cours je vais me contenter de la bonne vieille définition obtenue en faisant tendre le rayon du disque vers + l'infini. Ca marche vu que je souhaitais juste utiliser une intégrale du genre pour calculer l'intérale de Gauss sur R (il faut passer par une intégrales double)

    merci !

  12. #9
    sabaga

    Re : Intégrale impropre

    je voudrais étudier la convergence d'integrale


  13. #10
    sabaga

    Re : Intégrale impropre

    On a pour$x \in \left[ { - a;a} \right] \subset \left] { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right[et\quad a > 0$
    La dérivé partielle de fonction $\varphi $
    est :
    $\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}(x,t) = \frac{{t^{2x} \times 2\ln t}}{{1 + t^2 }}$
    c’est une fonction continué et on a la majoration valable pour tout $x \in \left[ { - a;a} \right]$
    :
    $\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}(x,t)} \right| = \frac{{t^{2x} \times 2\left| {\ln t} \right|}}{{1 + t^2 }} \le h(t)$
    tel que :
    $h(t) = 2\ln t \times \frac{{t^{2a} }}{{1 + t^2 }}$
    si $1 < t$
    ou $h(t) = - 2\ln t \times \frac{{t^{ - 2a} }}{{1 + t^2 }}$
    si $0 < t \le 1$


    $ * \;\left| {\ln t} \right| \times \frac{{t^{2a} }}{{1 + t^2 }}\mathop \sim \limits_{0^ + } t^{2a} \left| {\ln t} \right|$ et l’intégrale $\int\limits_0^1 {t^{2a} \ln t\;dt\;} $
    convergente
    $ * \ln t \times \frac{{t^{2a} }}{{1 + t^2 }}\mathop \sim \limits_\infty t^{2a - 2} \ln t$
    et l’intégrale $\int\limits_1^\infty {t^{2a - 2} \ln t\;dt\;} $convergente
    On peut donc appliquer la théorème de dérivation pour les intégrales impropres et la fonction f donc dérivable sur $\left[ { - a;a} \right]$
    pour chaque a donc en définitive sur $\left] { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right[$
    avec :$f'(x) = 2\int\limits_0^{ + \infty } {\ln t \times \frac{{t^{2x} }}{{1 + t^2 }}dt} $

  14. #11
    sabaga

    Re : Intégrale impropre

    On a pour
    La dérivé partielle de fonction $\varphi $
    est :
    c’est une fonction continué et on a la majoration valable pour tout
    :
    $\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}(x,t)} \right| = \frac{{t^{2x} \times 2\left| {\ln t} \right|}}{{1 + t^2 }} \le h(t)$
    tel que :
    $h(t) = 2\ln t \times \frac{{t^{2a} }}{{1 + t^2 }}$
    si $1 < t$
    ou $h(t) = - 2\ln t \times \frac{{t^{ - 2a} }}{{1 + t^2 }}$
    si $0 < t \le 1$


    $ * \;\left| {\ln t} \right| \times \frac{{t^{2a} }}{{1 + t^2 }}\mathop \sim \limits_{0^ + } t^{2a} \left| {\ln t} \right|$ et l’intégrale $\int\limits_0^1 {t^{2a} \ln t\;dt\;} $
    convergente
    $ * \ln t \times \frac{{t^{2a} }}{{1 + t^2 }}\mathop \sim \limits_\infty t^{2a - 2} \ln t$
    et l’intégrale $\int\limits_1^\infty {t^{2a - 2} \ln t\;dt\;} $convergente
    On peut donc appliquer la théorème de dérivation pour les intégrales impropres et la fonction f donc dérivable sur $\left[ { - a;a} \right]$
    pour chaque a donc en définitive sur $\left] { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right[$
    avec :$f'(x) = 2\int\limits_0^{ + \infty } {\ln t \times \frac{{t^{2x} }}{{1 + t^2 }}dt} $

  15. #12
    sabaga

    Re : Intégrale impropre

    On a pour
    La dérivé partielle de fonction $\varphi $
    est :
    c’est une fonction continué et on a la majoration valable pour tout
    :

    tel que :

    si
    ou si

    et l’intégrale
    convergente

    et l’intégrale convergente
    On peut donc appliquer la théorème de dérivation pour les intégrales impropres et la fonction f donc dérivable sur pour chaque a donc en définitive sur
    avec :

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  17. #13
    sabaga

    Re : Intégrale impropre

    On a pour
    La dérivé partielle de fonction $\varphi $
    est :
    c’est une fonction continué et on a la majoration valable pour tout
    :

    tel que :

    si
    ou si

    et l’intégrale
    convergente

    et l’intégrale convergente
    On peut donc appliquer la théorème de dérivation pour les intégrales impropres et la fonction f donc dérivable sur pour chaque a donc en définitive sur
    avec :

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