Intégrale impropre et aire ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Avec Herbiti l'autre jour nous nous sommes interrogés sur la valeur de l'aire sous le graph de la fonction f(x) = 1/x de -a à a (a étant un nombre réel > 0) (nous étions au cours d'informatique mais qu'est ce que ça peut faire ?) ou de manière plus générale :

Soit 0 < a < b < c (a,b,c réels)

et



Lui il soutenait que cela faisait zéro étant donné la symétrie par rapport à la droite x = b de la fonction mais moi je soutenais que non que, l'intégrale étant impropre, il falait essayer de la calculer en passant à la limite et voir ce que ça donne.

Donc :



On devine que les deux intégrales divergent donc j'ai raison apparament





Et alors ?
Cette intégrale diverge, mais vers +oo ou vers - oo ?

D'autre part je peux comprendre Herbiti lorsqu'il dit que cette aire est nulle vu l'allure de la fonction.

Qu'en dites vous ?

merci

EDIT : Attention j'ai dit une bêtise, cela ne peut être nulle que si l'intervalle est symétrique par rapport à b, en d'autre termes si |ab| = |bc|)
-----

[Bleyblue]

Lui il soutenait que cela faisait zéro étant donné la symétrie par rapport

Il soutenait que :

en fait (et moi je n'étais pas d'accord). J'ai essayé de généraliser le problème

[Bleyblue]

En fait si je résume :

- Vers quoi diverge l'intégrale :
(0 < a < b < c)

- Si a = c :



vaut elle zéro ? Apparament non mais vu l'allure du graph on en tenté de dire que oui ...

merci

[martini_bird]

Salut,

l'intégrale sur de dx/x n'a pas de sens tel quel mais on peut obtenir quelque chose en suivant Cauchy et en prenant la limite


C'est la valeur principale de Cauchy (qui vaut ici zéro).

Mais attention, on pourrait calculer cette intégrale différement: en choisissant un chemin dans le plan complexe tel que et , on obtient:

selon que le chemin passe "en dessous" ou "au dessus" de l'origine.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah, ça n'était donc pas triviale comme problème (moi je pensais que si)

Malheureusement les intégrales dans le plan complexe je ne connais pas, pas plus que cette hisoire avec Cauchy (tous ce que je sais c'est que dans IR suite de Cauchy est synonyme de suite convergente ...)

merci

[martini_bird]

La valeur principale de Cauchy n'est pas très difficile à comprendre: on approche de chaque côté de manière symétrique. C'est utile notamment pour définir simplement certaines fonctions comme le logarithme intégral.

http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html
http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html

Cordialement.

PS: à noter que j'ai fait une erreur de frappe: il fallait lire

[Bleyblue]

Ah bon

C'est la valeur principale de Cauchy (qui vaut ici zéro).

Et ça nous permet de dire que l'aire (dans IR² donc) vaut zéro ? ou pas ?

merci

[invite0ca17a7c]

ca na pas de sens de parler de l'air dans IR² ,puisque la fonction n'est pas integral (meme au sens de lebesgue)
par contre cauchy a ete intelligent en posant sa valeur principal vp(1/x) ,en quelquesorte il donne une facon de calculer une sorte d'air(ca fonctionne bien aussi avec les distributions Vp(1/x)*x=1 ) qui vaut donc zero mais c'est pas l'air
sinon on pourrait aussi ne pas rendre symetrique la definition par exemple tu remplaces un eps par 2 eps et l'autre tu le laisses pareil (la j'ai peur que ca tende vers +l'infini si ta changer le premier il faudrait entre plus fin prendre deux fonction f(e) et g(e) equivalente en zero mais qui mettent beaucoup de temps a se raprocher...

enfin de compte si je ne dit pas de bettisse tu peux tomber sur tout les reels (c'est pour cela qu'il n'y a pas d'air sous la courbe).un peu comme pour les series semi-convergente en faisant un permutation des entiers tu retombes sur n'importe qu'elle reel

[invite6b1e2c2e]

Effectivement, tu peux tomber sur tous les rééls. Par exemple, en découpant en -e et +2e, tu trouves -infini, et en découpant dans l'autre sens, tu trouves + infini.
Ensuite, si tu t'amuses à découper en -e et +e*a, je pense que tu dois pouvoir tous les nombres rééls.

__
rvz

[Bleyblue]

Ah bon ...

Tiens dites l'intégrale de Lebesgue elle sert à quoi exactement ? A intégrer des fonctions discontinues mais apparament il y a une condition vu qu'apparament il existe des fonction de R -> R non Lebesgue intégrable ...

merci

[martini_bird]

Salut,

la classe des fonctions Lebesgue-mesurables est plus vaste que la celle des fonctions continues. Mais comme tu le dis, il en reste (et même beaucoup!) qui ne sont pas Lebesgue-mesurables, à moins de sacrifier l'axiome du choix.

Cordialement.

[Bleyblue]

Ah.

Mais alors on pourrait définire une intégrale qui soit encore plus générale que Lebesgue ... non ?

merci

[martini_bird]

Ben non (en je crois pas): le problème vient de ce qu'il y a des ensembles en pagaille qui sont trop tordus pour qu'on puisse en dire quelque chose...

[Bleyblue]

Ah bon, ok

merci

[invite0ca17a7c]

L'integrale de lebesgue permet l'integration d' une classe plus large de fonction avec un meilleur controle ,c'est a dire les theoreme sont plus faciles a utiliser ,et les hypotheses des theoremes sont presque partout verifié
ca donne aussi les espaces Lp est notament l'espace de hilbert L2 cette espace permet de faire une bonne theorie des serie de fourier ainsi que la résolution du probleme de dirichlet (via les espace de sobolev ) une equation qui apparait assez souvent en physique (a ce qui parrait ) ,si tu veux c'est un peu comme IR c'est un ensemble fondamentale dans les mathematiques.

Sinon un truc qu'il faut comprendre c'est que l'integrale c'est pas seulement calculer des aires c'est beaucoup plus que ca.si tu veux c'est pas un outils qui va te permette de calculer en pratique des integrales mais c'est un outil théorique .

pour repondre a ta question sur la generalisation de l'integral de lebesgue ,l'integral de lebesgue s'interesse seulement au cas des fonction absolument integrable (c'est a dire la partie positive et negative sont integrable c'est a dire non lier a la maniere dont "on approche les point critique " c'est pour cela que l'on a des bon theoreme ,par contre en voulant encore generaliser on perdrait surement en efficacité et je ne sais pas si on gagnerai vraiment a l'echange...

bye

[Bleyblue]

D'accord, merci pour ta réponse