[TS Spe Maths]DM sur les nombres premiers

[invite471bc9fd]

Voila il y a deux questions pour lesquelles je bloque dans mon devoir maison, j'aurai donc besoin d'un ptit coup de pouce^^

1)Soient a,b et c trois entiers naturels.
Demontrer que si a divise c et que b divise c avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c.

2)Existe til quinze nombres premiers p1, p2...p15 supérieurs ou égaux a 7 tels que l'entier A=(p1)^4+(p2)^4+...+(p15)^4 soit un nombre premier?

On a prouvé ds les exos précédents du dm que (p^4-1) est divisible par 240, par 3, par 16, et par 5.
Normalement il s'agit juste dune application, mais bon je bloque stupidement sur ca, quelque chose doit méchapper^^

Voila si quelque personne généreuse pouvait venir maider, ca me serait dune grande aide
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[invite471bc9fd]

Je sais que c'est mal vu et que ca ne vous incitera pas plus a me repondre, mais mon dm est a rendre pour demain

Je me permet donc de vous supplier encore

Je vous en remercie d'avance.

[invite1237a629]

Salut,

mdr, j'ai aidé quelqu'un à faire exactement le même dm hier ^^

Pour la première question, as-tu déjà entendu parler du théorème/lemme de gauss ? Celui-ci t'aidera. Sinon tu peux le montrer sans passer par là. Mais je t'aiguille sur la voie d'abord...

Pour la deuxième question, sers-toi de ce que tu as justement cité : p^4 - 1 est divisible par 240 (que tu dois normalement déduire de la première question que tu as mise si je me souviens bien)

Donc écris A en faisant apparaître des p^4-1 et normalement, la solution sera sous tes yeux (un nombre ne sera pas premier s'il est divisible par un nombre différent de 1)



Tu serais pas quelque part dans le sud ? mon pote doit le rendre pour demain aussi xD

[invite471bc9fd]

Merci de ta reponse

Non on n'a pas encore commencer le lemme de Gauss, donc j'aimerais bien savoir par ou commencer la 2eme methode^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

As-tu vu l'identité (...me souviens plus le nom) de Bézout ?

Et tu as compris pour la deuxième question ?

[invite471bc9fd]

Je suis au lycée jean lurcat de martigues ts2, c p-t kkun de ma classe qui ta demandé ca^^

On a pas fait nn plus le theoreme de bezout dsl^^On en est au ppcm

Pour la seconde, je galère encore, j'essaye mais je pense pas que ca soit ca:
A=(p^4)+(p^4-1)+...(p^4-15)?

[invite1237a629]

Bon c'est pas le même lycée ^^

Poo pour la deuxième question, non !

Quand je disais p^4-1, ceci incluait que c'était pour tous les p1 à p15 que tu avais cités.

A = p1^4 + p2^4 + ...
= p1^4-1 + p2^4-1 + ... + c (c à déterminer)

Or, tout nombre de la forme p1^4-1 est un multiple de 240 donc tu peux mettre 240 en facteur no ?

Et après, en regardant la valeur de c, tu pourras déduire ce que tu veux



Pour la première question par contre, c'est un peu plus chaud :s la démonstration que j'ai trouvée doit passer par l'identité de Bézout, qui dit que si a et b sont premiers entre eux, alors il existe u et v de Z tels que au+bv=1

[invite471bc9fd]

Alors ca nous donne:
A=(p1^4-1)+(p2^4-1)+...(p15^4-1)+15
240 divise p^4-1 donc p^4-1=240k
A=240(k+k+k+k...+k)+15
A=240(15k)+15
A=15(240k+1)

Donc A n'est pas premier puisqu'il est divisible par o moins 3 diviseurs: 1, A, et 15.

C'est ca?
Pour le 1, tant pis je reponds pas elle avait qu'a pas nous interroger sur un truc kon avé pas vu.
En tout cas merci beaucoup de ton aide!

[invite1237a629]

C'est cela pour la question 2/

Je vais te le faire pour la question 1/, étant donné que tu ne l'as pas encore vu et qu'il ne te manque qu'une notion. Au moins auras-tu une idée

A suivre...

[invite1237a629]

But : démontrer que n est divisible par 240, qui est le produit de 3 5 et 16, tous premiers entre eux, tu le remarqueras.
D'où l'intérêt de la première question.

1/ Démonstration du théorème de Gauss : "Si a|bc et a et b premiers entre eux, alors a|c"
Identité de Bézout :
Si a et b sont premiers entre eux, il existe u et v dans Z tels que au+bv=1
On multiplie tout ça par c, pour se retrouver avec le bc de la formule.

acu + bcv = c.

Or, a|acu puisque cu est un entier relatif.
Et on a, par hypothèse, que a|bc, donc a|bcv car v est un entier relatif.
Donc a|(acu+bcv) = c.

2/ Application à l'exercice.

a|c, b|c et a et b premiers entre eux, donc ab|c

Ecris que c = ka et c = k'b et essaie de trouver la suite en te servant du 1/

[invite471bc9fd]

Arf désolé mais je prefere ne pas me lancer dans cet exo, vu ke j'ai un controle en spé maths justement demain...(et oui ma prof a pas de pitié, un dm+ un controle de 2h sur tt le cours depuis le debut de l'année^^)

J'essaierai p-t demain.
Merci bcp en tout cas et bonne soirée.

[invite1237a629]

It's up to you

Bonne chance :-p