équation différentielle

[invite71b8e227]

salut tout le monde -_- voila j'ai un probleme j'arrive pas résoudre un truc, j'en ai marre

donc premiere étape que j'ai faite:

résoudre y '' + 2 y ' + 5y = 0

la je trouve unesolution de type
e^(-x) (Acos 2x + B sin 2x)

puisque l'équation caractéristique admet pour solutions deux complexe conjugués R1=-1+2i et R2=-1-2i...

ensuite deuxieme étape:

Résoudre y '' + 2y' + 5y = cos (2x)*e(-x)

et la enfait je suis parti peut etre un peu en live, j'ai transformé cos (2x) en (e^(-i2x) + e^(i2x)) / 2 et donc je tombe sur un secon membre 1/2 ( e^(R1x) + e^(R2x))

donc la j'essaie de résoudre en deux partie pour appliquer après le théorême de superposition mais je galère. je pose:

Y1 = (ax+b)(e^(R1x)
je dérive le tout une fois puis une deuxieme fois je remplace dans l'équation. et la en identifiant pour essayer de trouver a et b , je trouve que peut prendre n'importe quel valeur de a, et du coté de b j'aiune incohérence je comprends pas -_-

merci de votre soutien...
-----

[Jeanpaul]

C'est bien de prendre Y1 = ax exp(R1x) mais le b ne sert à rien puisque l'expression différentielle va valoir zéro car b exp(R1x) est solution de l'équation sans second membre.

Pourquoi ne pas essayer Y = ax exp(R1x) + a'x exp(R2x) ?

[invite71b8e227]

A d'accord, merci mai il me reste toujours un probleme

par exemple:

Y1 + Y2= Y >>> solution

soit Y1=ax(exp(R1x)

je dérive une fois

Y1'=(a+aR1x)exp(R1X)
un deuxieme fois
Y1''=(2aR1 + aR1*R1x)exp(R1x)


en remplacant dans l'équation pour Y1 j'obtient donc
après calcul

5ax +2a +2aR1x + 2aR1 + aR1*R1x=1/2

d'ou
(5a+aR1+aR1*R1)x + 2a + 2a R1=1/2

et donc pour moi ca veut dire que

5a + aR1 + aR1*R1=0
(c 'est a dire après avoir remplacé r1 >>> a = 0 ....

et que 2a +2aR1=1/2 et la je tombe sur une incohérence en remplacant R1..... ca doit pas être comme ca qu'il faut que je m'y prenne

merci de ton aide..

[invite71b8e227]

je sais que c'est chiant les équa dif mais ya personne qui peut me dire ce qui cloche dans mon raisonnement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Je ne vois pas d'incohérence : ça donne la valeur de a, c'est tout.
a n'est pas nul : la parenthèse devant x vaut zéro (c'est comme ça que tu as trouvé R1)

[invite71b8e227]

ben ...
2a +2aR1=1/2

si on remplace R1 Par -1-2i

on a
2a - 2a - 4ai =1/2 !!

ca voudrait dire que
-4ai=1/2 !!
a est un reel ca po possible

[Jeanpaul]

N'oublie pas qu'il y a aussi un terme en a' exp(R2x) que tu n'as pas encore calculé !