Equation différentielle

[invitebdd9f800]

Bonjour tout le monde ! Alors ... j'aimerais bien avoir votre aide sur un exo de maths que j'ai à faire, en fait, j'ai réussi à commencer l'exercice avec l'aide de mon prof de maths mais là je suis bloquée! ^^
Alors je vous donne l'énoncé, puis je vous mets ce que j'ai fait !

Enoncé :

Déterminer toutes les fonctions ; deux fois dérivables telles que pour tout (x,y) appartenant à ;



Voilà!
alors maintenant ce que j'ai écrit :

On fixe x , on dérive successivement deux fois :



(1)

On fixe ensuite y : on dérive aussi deux fois :



(2)

Donc en soustraiyant les équations 1 et 2 , on obtient :



De plus on a f(0)=1 pour tout x,y

on pose f(y)=1 avec y=0 on obtient



On pose
avec L appartient à R
Alors


Ensuite, j'ai résolu l'équation avec les différentes valeurs de L, et j'ai pour solutions :

Quand


avec C(y) et d(y) appartenant à R

Quand


avec P(y) et N(y) appartenant à R

Quand



Voilà ! c'est tout ce que j'ai fait mais maintenant, j'ai essayé d'utiliser le fait que f(0)=1 mais je reste bloquée, avec C et D ( j'obtiens un truc C+D=1 ).....

J'espère que vous pourrez m'aider !!!!
Merci d'avance !!!!
Luniran
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[invite35452583]

Joli problème

Jusque là tout va bien

De plus on a f(0)=1 pour tout x,y

Où vois -tu apparaître x ou y dans "f(0)=1" ? C'est vrai quand même.

on pose f(y)=1 avec y=0 on obtient

Si tu as posé y=0 (ce qui est une bonne idée) alors tu as f"(x)-f(x)f"(0)=0

On pose
avec L appartient à R

On pose f"(0)=L

Alors


Ensuite, j'ai résolu l'équation avec les différentes valeurs de L, et j'ai pour solutions :

Quand


avec C(y) et d(y) appartenant à R

Quand


avec P(y) et N(y) appartenant à R

Quand



Voilà ! c'est tout ce que j'ai fait mais maintenant, j'ai essayé d'utiliser le fait que f(0)=1 mais je reste bloquée, avec C et D ( j'obtiens un truc C+D=1 ).....

J'espère que vous pourrez m'aider !!!!
Merci d'avance !!!!
Luniran

Les trucs en y mis en vert par moi ne sont pas des fonctions en y mais des constantes.
Pour l'instant tu as raisonné par implication un retour à l'équation initiale va certainement donner des renseignements :
Pour le cas L=0, tu as f(x)=ax+b a, b constants, tu introduis dans l'équation initiale et tu devrais arriver à montrer que a=0 puis que b=1.
Pour L>0, tu as de chaque côté de l'égalité en posant du e^l(x+y), e^l(x-y), e^l(y-x), e^-l(x+y) avec des coefficients d'un côté en c et d, de l'autre en c², cd et d².
Tu fais tendre x et y vesr +infini tout en imposant x=y, puis vers moins l'infini avec la même contrainte, cela impose des égalités entre coefficients et permet de retirer une partie des fonctions de l'égalité.
Tu fais tendre x vers + infini en fixant y (à 0 par exemple) tu en déduis une troisième relation et tu peux retirer encore une fonction et endéduire une 4ème égalité.
Autrement dit tu montres que les fonctions citées ci-dessus sont algébriquement libres dans l'ev des fonctions réelles.
Tu obtiens deux possibilités dont une est exclue par le fait que f(0)=1. Celle qui reste est une fonction classique.
Même chose avec les cosinus et les sinus (ça se développe différemment), en plus simple car cosinus et sinus ont la gentillesse de s'annuler eux d'où une plus grande facilité pour montrer l'égalité des coefficients (on annule cos(x) et cos(y) d'où une égalité pour les coefficients de sin(x)sin(y) par exemple).
On obtient là encore deux fonctions dont une est éliminée par le fait que f(0)=1, l'autre étant une fonction classqiue.
Bilan : trois fonctions et seulement trois.

[invitebdd9f800]

Merci beaucoup ! je vais essayer de faire la suite ! je savais plus trop que faire de x et y ^^ si je n'arrive pas je reviens poser des question !!! en tout cas, merci beaucoup homotopie !!!!
Bonne soirée !!
Luniran