Polynôme du 4ème degré

[inviteb08f0c6f]

Bonjour !
Bon je suis nouvelle, je poste un petit message au pif, on verra bien...
Donc voilà je suis en SupBio et j'ai un petit devoir libre de maths à faire, problème je bloque :

On appelle (E) l'équation : z^5-1=0

1/ Déterminer une racine réelle simple de (E)

2/ En déduire un polynome Q de variable z tel que z^5-1=(z-1)Q(z)
Je trouve Q(z)=z^4+z^3+z^2+z+1=0 (je pense que c'est ça ?)

3/Résoudre dans C l'équation (E) en donnant les 5 racines sous forme triogo...
Et ba là j'y arrive pas, ça m'a l'air con et je me suis énervé dessus du coup j'arrive plus à rien...
Je voulais donc faire les questions suivantes...

4/ résoudre l'équation Q(z)=0 en utilisant le changement de variable : u=z+1/z
je saisis pas trop...

Enfin voilà les maths c'est pas trop mon truc donc si quelqu'un peut m'aider... ce serait sympa !!
Merci d'avance !
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[invite35452583]

Pour la 3), on te demande de chercher les solutions sous forme trigonométriques donc tu poses z=re^iarg(z),
tu cherches ce que vaut z5 sous forme trigonométrique (re^iarg(z))⁵ s'écrit sous une forme plus agréable),
maintenant tu utilises la propriété : deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module (tu en déduiras r) et même argument (tu en déduiras plusieurs valeurs de arg(z))

Pour la 4) il faut exprimer Q(z)=z⁴+z³+z²+z+1 en fonction de z+1/z. Le plus simple est de chercher à l'écrire comme un polynôme en u=z+1/z : a₀+a₁u+a₂u²+a₃u³+...+a_nuⁿ=a₀+a₁(z+1/z)+a₂(z+1/z)²+a₃(z+1/z)³+...+a_n(z+1/z)ⁿ
tu vois apparaître du a_nzⁿ+truc x z^n-1+...+bidule x 1+...+chose x 1/z^n-1+a_n x 1/zⁿ
Il faut donc mettre Q(z) sous une forme adaptée (mettre du zⁿ en facteur ce qui fera apparaître du 1/zⁿ, ceci t'indiquera la valeur de n à choisir). Maintenant, tu as un système à résoudre en a₀, a₁, ..., a_n.

[inviteb08f0c6f]

Et bien je ne sais pas si je vais réussir mais en tous cas merci beaucoup pour ton aide !!!