accélération énigmatique

[invite35452583]

Un petit problème pour le WE ( quoique, à mon avis il ne passera pas le samedi)
Dans l'énigmatique pays de Strangeland, la vitesse sur autoroute n'est pas limitée (c'est pas le seul) mais l'accélération si (ne demandez pas pourquoi), l'accélération maximale est de +/- 100 km/h².
Un jour un automobiliste part du péage de Bizzarie (ville francophone)pour rejoindre Strangetown (la capitale du pays). Les deux villes sont séparées de 500 km, l'automobiliste l'a parcouru en 4h. Il a été sanctionné au péage d'arrivée (les encaisseurs peuvent mettre des amendes) pour accélération intempestive.
Pourquoi (sachant qu'il n'y eu aucun contrôle routier, ni radar ni aucun autre équivalent, mais que l'heure est indiqué sur les tickets de péage) ?
-----

[Etile]

Est-ce que l'automobiliste peut passer instantanément de de sa vitesse actuelle à sa vitesse maximum (ou minimum) autorisée par heure ?
Si non, il sera alors obligé de ralentir de plus de 100km/h la dernière heure s'il veut s'arrêter au péage.

[invite35452583]

Est-ce que l'automobiliste peut passer instantanément de de sa vitesse actuelle à sa vitesse maximum (ou minimum) autorisée par heure ?
Si non, il sera alors obligé de ralentir de plus de 100km/h la dernière heure s'il veut s'arrêter au péage.

La vitesse doit être considérée comme continue et dérivable au moins (si besoin est on peut même la supposer analytique). Le conducteur arrive vivant.
Rappel : la vitesse n'est pas limitée.

[Médiat]

 Cliquez pour afficher

Est-ce que la distance maximale ne serait pas de 400 km en 4 heures ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Réponse à Médiat :

 Cliquez pour afficher

bien sûr mais je ne voulais pas donner la limite exacte ce qui aurait laissé un indice.
Maintenant il faut montrer qu'il ya nécessairement eu une phase d'accélération ou de freinage d'au moins 125 km/h².

[Jeanpaul]

Marrant cet exo.
On a l'intuition qu'on va le plus vite possible quand on roule "à fond les manettes" en accélération max puis à décélération max. Soit f(t) la variation de x(t) dans ces conditions (parabole de 0 à 2 heures puis une autre de 2 à 4 heures).
Soit g(t) une autre loi qui respecte les mêmes conditions : g(0) = 0, g(4) = 0, g'(0) = 0 et g'(4) = 0
Si on cherche à étudier les variations de f(t) - g(t) on est amené à écrire la dérivée. Pour connaître les variations de la dérivée, on calcule la dérivée seconde et là on conclut sur le signe de f-g.

[invite35452583]

Marrant cet exo.
On a l'intuition qu'on va le plus vite possible quand on roule "à fond les manettes" en accélération max puis à décélération max. Soit f(t) la variation de x(t) dans ces conditions (parabole de 0 à 2 heures puis une autre de 2 à 4 heures).
Soit g(t) une autre loi qui respecte les mêmes conditions : g(0) = 0, g(4) = 0, g'(0) = 0 et g'(4) = 0
Si on cherche à étudier les variations de f(t) - g(t) on est amené à écrire la dérivée. Pour connaître les variations de la dérivée, on calcule la dérivée seconde et là on conclut sur le signe de f-g.

L'essentiel est là mais la fin me laisse sur ma faim.

[Jeanpaul]

Oui mais je n'ai pas voulu tout dire. En fait on démontre qu'en 4 heures on ne peut faire plus de 400 km.

[invite35452583]

Bon, là, je m'en vais, je reviens ce soir.

[invite9cf21bce]

Bon, là, je m'en vais, je reviens ce soir.

Ne roule pas trop vite.

Oops... N'accelère pas trop, pardon

[invite35452583]

Oui mais je n'ai pas voulu tout dire. En fait on démontre qu'en 4 heures on ne peut faire plus de 400 km.

Je crois que tu en as trop dit et pas assez en même temps. L'exercice-énigme est donc considérée comme résolue. Bravo à Jean-Paul (et à Médiat qui me semble a trouvé aussi)
On va le finir proprement quand même :
on va considérer la vitesse v, unités : km et h et leurs dérivées, on a v(0)=v(4)=0 (la voiture est à l'arrêt au péage) et .
Cette dernière relation est également vérifiée par la fonction affine par morceaux w w(0)=0 w(2)=250 w(4)=0. Si v est toujours strictement inférieure à w sur ]0,4[ alors (contradiction). Donc il existe au moins une valeur t entre 0 et 4 tel que v(t)=w(t).
Si t est compris entre 0 et 2, on applique le théorème des accroissements finis entre 0 et t, on obtient il existe t' tel que a(t)=v'(t')=w'(t')=250/2=125.
Si t est compris entre 2 et 4, on applique le même théorème entre t et 4, on obtient il existe t' tel que a(t')=v'(t')=w'(t')=-250/2=-125.
Dans tous les cas, il y aura une phase d'accélération ou de désaccélération supérieure en valeur absolue à 125 km/h².
Avec cette limite à 100 km/h², on montre de même que l'on peut au mieux faire 400 km.