[Maths] [TS] Arithmétique

[kNz]

Soit . On se propose de démontrer que n'est pas le cube d'un entier. Pour cela on raisonne par l'absurde.

1) En supposant que : , , montrer que est impair, donc que : , ;

2) Montrer qu'alors 3 divise , puis que est un multiple de 6 ;

3) Montrer que : , n'est pas congru à 0 [3] ;

4) Conclure.
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[invitefc60305c]

p impaire <=> impaire.
Preuve : p impaire <=> <=> avec n un entier naturel.
En particulier si .

1) Il faut alors montrer que



car le produit de 2 entiers consécutifs est un entier impaire.

Il vient que soit impaire, soit p impaire.

2)



D'où <=>
Par transitivité : <=>
q est divisible par 3.

3) trivial.

Je reviendrai pour n²+n+2

[doryphore]

n(n+1) congru à 1 modulo 2 ???
Si ton 9 modulo 2 vient de 1+1+7, il y a un petit problème...

[invitefc60305c]

n(n+1) est impaire donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

2x3 est impair, tu es sûr ?

[invitefc60305c]

oups
Chui vraiment trop bête
De toute manière ça ne change rien.

[doryphore]

De toute manière ça ne change rien.

Heu... Si tu passes une épreuve orale de concours évite de répondre ce genre de truc...
Ca change quand même du fait qu'une argumentation est vraie et l'autre fausse...

Sinon, comment tu justifies l'équivalence du 2)

ssi

[invitefc60305c]

Ah mince c'est une implication...
Ben il faut que je fasse impaire implique p impaire alors.
J'pensais raisonner par équivalence mais bon.
De toute manière ça change rien S
Caaa vaaa je rigole

[doryphore]

Je n'ai pas dit que ce n'était pas une implication, ce que je voulais dire, c'est que ce n'est peut être pas si évident...

[invitefc60305c]

Ben j'ai toujours considéré ça comme une équivalence...

Enfin bon la rigueur c'est pas trop mon truc malheureusement , et je suis là pour justement m'améliorer (surtout en rigueur et en méthode).

[doryphore]

Ca tombe bien, je suis là pour te filer un coup de main...
Déjà, on va remplacer 7 par 1, on y verra plus clair...
Ensuite, tu vas m'expliquer ce que signifie que p^3 est congru à 1 modulo 3 en terme de divisibilité...

[invitefc60305c]

p^3 = 3k + 1 (1<3)
Le reste de la division euclidienne de p^3 par 3 est 1.

[doryphore]

Donc 3 divise ... ?

[invitefc60305c]

p^3 - 1 = 3k
donc 3 divise p^3 - 1

[doryphore]

Maintenant factorise p^3 - 1.

[invitefc60305c]

p^3 - 1 = (p-1)(p²+p+1)

[doryphore]

Ok, tu sais que 3 divise p^3 -1 et tu veux montrer que 3 divise aussi p-1 alors quel thm d'arithmétique vas tu utiliser et que dois tu montrer ?

[invitefc60305c]

G comme girafe
A comme anamorphe
U comme unique
S comme surface
S comme RE-surface

[invitefc60305c]

Juste une question, on fait quoi là ?
J'ai déjà montré que q divisible par 3

[doryphore]

On montre que p est congru à 1 modulo 3, ce dont tu te sers pour démontrer que q est divisible par 3.
Sans ce travail, toute ta demonstration est fausse puisque le sens évident de l'équivalence que tu as écrite au 1) ne te sert pas pour conclure.
Tu as besoin du sens gauche droite que tu n'as jamais rigoureusement démontré.

[invitefc60305c]

Voila mon raisonnement:

<=> ( <=>
Or avec c une constante naturelle (pour dire que p^2 + p + 1 n'est pas divisible par 3)
Donc

CQFD.

[doryphore]

Mmmmh, je crois que je ferai mieux d'aller me coucher, je raconte n'importe quoi...
En fait Gauss, ça ne marchera pas car 3 peut très bien diviser p²+p+1 (si p=7).

Pour monter que p est forcemment congru à 1 si p^3 l'est il suffit de remarquer que si p est congru à 0 alors p^3 l'est aussi et que si p est congru à 2 alors p^3 est congru à 8, c'est à dire à 2.

[invitefc60305c]

C'est quoi cette démo LOL ?
J'la comprends pas très bien.

[doryphore]

Eh bien tu veux montrer que si p^3 est congru à 1 [3] alors p est congru à 1 [3].

Tu démontres par l'absurde: supposons que p non congru à 1 [3] alors soit p est congru à 0, soit p est congru à 2.

Or si p est congru à 0 [3], on voit que p^3 est congru à 0[3] (car 0^3=0 )
Et si p est congru à 2 [3], on voit que p^3 est congru à 2 [3] (car 2^3=8=2+2x3)

L'hypothèse p non congru à 1 est donc absurde ainsi si p^3 est congru à 1, p est nécessairement congru à 1.

[invitefc60305c]

J'vais essayer de faire le n²+n+2

[invitefc60305c]

est impaire.





Or (9 non divisible par 6).
Donc

[doryphore]

Pour utiliser Gauss, il faudrait que 9 et 6 soit premier entre eux ce qui est faux.

De ce fait on peut très bien avoir avec 9 congru à 3 et n²+n+2 congru à 2 puisque 3x2=0.

POur trouver le résultat tu dois te servir des relations:

p^3-1 = 3n²+3n+6
p=2q+1
et q divisible par 3.
Ca doit suffir...

[invite35452583]

Eh bien tu veux montrer que si p^3 est congru à 1 [3] alors p est congru à 1 [3].

C'est aussi une application directe du petit théorème de Fermat.

[invitefc60305c]

POur trouver le résultat tu dois te servir des relations:

p^3-1 = 3n²+3n+6
p=2q+1
et q divisible par 3.
Ca doit suffir...

Je dois être un peu bête mais je n'ai rien trouvé et j'ai cherché...
Peut être qu'un truc évident m'a échappé.

[doryphore]

C'est aussi une application directe du petit théorème de Fermat.

Ah oui, tiens ça m'avait échappé !!

Je dois être un peu bête mais je n'ai rien trouvé et j'ai cherché...
Peut être qu'un truc évident m'a échappé.

Comme p=2q+1,


donc

En utilisant ensuite l'égalité q=3r, car q est divisible par 3, cela doit devenir limpide.