Probleme Spé Maths :arithmetique

[inviteaffd5bf4]

Salut,

j'ai un petit (gros) probleme dans deux exos de spé ...
Voici les énoncés :

I- On se propose dans cet exercice de résoudre l'équation :

où désigne un couple d'entier naturels.

1 a] Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d'un entier par ?
b] Endéduire les restes possibles de la divisions euclidienne du carré d'un entier par .
2 On suppose que est un couple d'entiers naturels vérifiant .

a] Montrer que est divisible par .
b] Montrer que .

3 Résoudre .

Et le deux :

II Les mesures des cotés d'un triangle rectangle sont des nombres entiers .

1 Démontrer que l'un au moins des trois nombres est pair.
2 Démontrer que l'un au moins des trois nombres est divisible par .


Voila moi pour l'instant j'ai fait ca :

Exos I :
1a] Si est divsible par alors les restes possibles sont car
b] Les restes sont identiques pour la meme raison au dessus.

2 C'est ici que je bloque je vois pas comment montrer que est divisible par ... Et je pense que pour les deux suivantes il faut faire celle ci ...


Exos II
1 Je sais pas le demontrer mais je pense qu'il faut utiliser Pythagore et écrire :
et ensuite distinguer des cas du genre si et sont impairs alors est pair puisque un impair + impair = un pair
=> Au moins un pair
Et deuxieme cas si et sont pairs alors est pair
=> au moins un pair.
Mais maintenant comment le demontrer ???
2 Et là aucune idée ... néanmoins j'ai regardé quelques triplets et il y en a toujours au moins un de divisible par

Voila, je vous remercue de votre aide.

S.G
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[Médiat]

b] Les restes sont identiques pour la meme raison au dessus.

Pas du tout
Si x est congru à 0 modulo 3 alors x² est congru à 0² modulo 3
Si x est congru à 1 modulo 3 alors x² est congru à 1² modulo 3
Si x est congru à 2 modulo 3 alors x² est congru à 2² modulo 3, c'est à dire 1 modulo 3.
Les deux seuls cas sont donc 0 et 1.
Je te laisse finir.

[inviteaffd5bf4]

Je suis desolé et en meme temps ravi d'une reponse rapide, mais malheuresement nous n'avons pas encore vu les congruences ... je ne peux donc pas les utiliser ...
Nous avons seulement aborder la divisions dans N et Z et avons vu le theoreme Bézout et le PGCD ...

Voila
S.G

[invite35452583]

Si le reste dans la division de a par b est r "a est congru à r modulo b".
Maintenant si la congruence n'est pas encore vue ,cela ne change pas le résultat mais seulement la manière d'y arriver :
tu as a=r+3k avec r =0,1 ou 2
a²=r²+6k+9k²=r²+3(2k+3k²) Le reste dans la division de a² par 3 est le même que le reste dans la division de r² par 3. trois cas à regarder, ceux donnés par Médiat.
Tu auras là ce qu'il te manque pour la 2)a) (la 2)b) est indépendante par contre) et pour réduire le nombre de cas de la 3) . C'est ce qui te manque aussi pour le II)2).

Pour le II)1) ton raisonnement est correct.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaffd5bf4]

Ah oui ! maintenant que c'est expliqué cela parait tout bete ...

Et l'on retrouve en effet les deux restes possibles :
Par contre je ne vois pas trop comment l'appliquer aux question I) 2a et II) 2.

Pour le II) 1 si mon raisonnement est bon, je ne demontre pas que l'un est au moins pair, si ??

Merci,

S.G

[inviteaffd5bf4]

Personne peut m'aider ??

[Médiat]

Si b et c ne sont pas divisible par 3, leur carré donne un reste égal à 1 dans la division par 3, la somme va donc donné 2, mais comme aucun nombre ne peut avoir un carré dont le reste est 2 dans la division par 3, c'est que notre hypothèse de départ est fausse, et donc au moins b ou c est divisible par 3.

[invite35452583]

Ah oui ! maintenant que c'est expliqué cela parait tout bete ...

Et l'on retrouve en effet les deux restes possibles :
Par contre je ne vois pas trop comment l'appliquer aux question I) 2a et II) 2.

Pour le II) 1 si mon raisonnement est bon, je ne demontre pas que l'un est au moins pair, si ??

Merci,

S.G

Pour le II) 1, ton raisonnement est un début correct " si b et c impairs alors a est pair" mais tu t'embarques dans le cas " b et c pairs" (oubliant les cas b pair et cimpair, b impair et c pair). Or en plus de l'oubli (qui est la seule vraie erreur) tu te compliques la vie (ce qui n'est que déconseillé mais pas interdit ) si tu n'as pas b et c impairs et bien un des deux est pair et c'est fini tu as bien un pair parmi a, b et c.

I)2)a) suppose que x n'est pas divisble par 3, tu connais alors le reste de x² dans la division par 3, tu en déduis celle de 2x², puis de -2x² puis de y²=139-2x² et tu aboutis à une contradiction avec ce qui vient d'être vu.
II)2) suppose qu'il n'y ait aucun qui ne soit un multiple de 3 puis regarde ce que cela donne pour les restes dans la division par 3. Tu aboutiras là aussi à une contradiction, pour éviter celle-ci il faut bbien que l'un soit divisble par 3 autrement dit soit un multiple de 3.

[inviteaffd5bf4]

Pour le II 1, il suffit donc d'evoquer tout les possibles. Ca c'est OK !
Par contre pour la I)2a, en clair il faut raisonner par l'absurde ??
Le probleme c'est que j'ai jamais fait si c'est bien ca ...
Sinon les restes de x² par c'est 0 et 1 donc pour 2x² c'est 0 et 2 ?? Ce qui donnerait pour -2x² 0 et -2 ?
139 - 2x² ce qui ferait -1 : ce qui est contradictoire !!

Si j'ai bon je n'y aurais jamais pensé ...

Mais je comprend pas ca :

suppose que x n'est pas divisble par 3, tu connais alors le reste de x² dans la division par 3

si on suppose que x n'est pas divisible pourquoi on utilse les restes par 3 ???

Voila, merci

S.G

[invite35452583]

Par contre pour la I)2a, en clair il faut raisonner par l'absurde ??
Le probleme c'est que j'ai jamais fait si c'est bien ca ...
Sinon les restes de x² par c'est 0 et 1 donc pour 2x² c'est 0 et 2 ?? Ce qui donnerait pour -2x² 0 et -2 ?
139 - 2x² ce qui ferait -1 : ce qui est contradictoire !!

Ne traite qu'un cas à la fois,
Le cas que tu veux éliminer "si le reste de x dans la division par 3 n'est pas 0" alors...reste dans la division de 139-2x² est -1 donc 2 (=-1+3) (un reste dans une division par 3 est 0, 1 ou 2). Ceci est contradictoire mais il faut préciser avec quoi.
Donc le cas à retenir est "le reste...est 0" (x est un multiple de 3).

Si j'ai bon je n'y aurais jamais pensé ...

Si tu ne sens pas à l'aise avec ce type de raisonnement (il faudra t'y mettre mais en TleS tu as encore le temps pour apprendre à maîtriser le raisonnement par l'absurde) tu traites cas par cas dans un tableau par exemple pour montrer qu'aucun cas où x n'est pas un multiple de 3 ne convient.

Mais je comprend pas ca : si on suppose que x n'est pas divisible pourquoi on utilse les restes par 3 ???{/QUOTE]
Parce que cela donne malgré tout des renseignements précieux comme ci-dessus.

Voila, merci

S.G

[inviteaffd5bf4]

Comme j'aurais besoin du raisonnement par l'absurde plus tard autant m'y habituer tout de suite histoire de trebucher quand c'est pas grave ...

Sinon je comprend pas bien le fait qu'il faille preciser avec c'est absurde ?? Le fait que normalement 0=< r =< b ??

Voila merci

@+

[invite35452583]

Sinon je comprend pas bien le fait qu'il faille preciser avec c'est absurde ?? Le fait que normalement 0=< r =< b ??

1ère question : on précise toujours que l'on va faire un raisonnement par l'absurde (entre autres pour avertir le lecteur mais également par le fait que pour certaines propriétés on ne peut pas affirmer que P est soit vraie soit fausse, ne t'affole pas tu as vraiment le temps avant d'aborder ce genre de choses), à la fin selon les cas et parfois l'humeur on termine par "c'est absurde", "contradiction", "mais ceci contredit..." ...
En fait le raisonnement par l'absurde est du raisonnement cas par cas binaire (1er cas P est vraie (on montre que ce n'est pas possible) reste le deuxième cas P est fausse, ou vice versa).
2ème question : On a 0<=r<b par définition du reste (tu parles bien du reste dans une division par b, j'espère, en tout cas là moi oui).

[inviteaffd5bf4]

Salut

dons mon cas on prend soit P= x n'est pas divisible par 3 et on arrive a une contradiction.
Puisque si x n'est multiple de3 alors les restes de x² sont 0 et 1 donc de 2x² 0 et 2 et de -2x² 0 et -2. Le reste de 139 par 3 est 1.
y² = 139 - 2x² les restes sont 1-2 =-1.
Or c'est absurde. ( 0<= r < 3 ) Donc x est divisible par 3.

C'est ca ??? (je pense pas mais bon ...)

I) 2b)Et pour montrer que x <= 8 ???

I)3) En utilisant tout ce qui était dit précedement je trouve x= 3 et y=11 ??

J'aimerai bien finir le I avant de passer II ...

Sinon oui je parlais bien de division euclidienne il y a seulement eu une faute de frappe r<b

Voila merci.

S.G

[inviteaffd5bf4]

Personne ne peut m'aider à avancer ??

Merci

S.G

[inviteaffd5bf4]

J'airais vraiment besoin d'aide ...

S.G

[inviteaffd5bf4]

Salut

je pense avoir trouvé ... voici :

I1 a et b voir au dessus ... lol

I 2 a Raisonnement par absurde :

non divisible par alors le reste dans la div. eucl.
(j'abrege car c'est long a ecrire ...) .
Donc de .
De plus donc




Si on réécrit l'équation uniquement avec les restes on obtiens :



Ce qui est contradictoire car

Donc divisible par .

I 2b





Donc .

I 3 Pas de secret ...

Et pour le II 2 il suffit de recommencer comme le I 2a et on retrouve une contradiction donc au moins un des trois est divisible par trois ...

Voila je vous remercie de votre aide mais c'était quad meme à en devenir lol

[invite35452583]

Oups, il me semble que j'ai plus ou moins laissé à ton problème.

Salut

je pense avoir trouvé ... voici :

finalement il y avait assez d'indice pour que tu puisses finir seul(e) ce qui est toujours mieux.