[spé maths] Arithmétique, PGCD, PPCM

[invitefc60305c]

Salut à tous.
Voila un exo d'arithmétique, j'aimerai que vous regardiez si j'ai bon ou pas, merci beaucoup !

Pour tout entier naturel n non nul on considère :




1)a) Calculer blabla j'laisse tomber.

1)b) Mq et divisible par 3.

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donc et donc

c) Mq premier

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Or 1999 non divisible par tous les premiers inférieurs entre 2 et 44 donc 1999 premier

d) Mq pour tout entier naturel non nul n on a
En déduire la décomposition en facteurs premiers de

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e) Mq

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Du type avec ; ; et
donc

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[invite0387e752]

salut pour le 1,
j aurais + fait par reccurence sur n, vu qu on nous demande pour tout n
enfin, tu as ptet bon mais ca te donnera au moins une autre technique au cas ou :
jte fais pour a_n :
a_n = 40ⁿ - 1
pour n = 1, 39 est bien divisible par 3
pour n, supposon vrai
pour n +1, 40ⁿ40 - 1 = 40(40ⁿ-1) + 39 = 40a_n +39 or a_n est divisible par 3 par hypothese
donc vrai pour n + 1

[invitefc60305c]

Salut.
Ben je trouve les congruences plus élégantes !
Pour s'entraîner, autant faire l'un avec les congru et l'autre par rec !
Mais sinon en DS, je préfère l'efficacité, la rapidité, donc les congru.

[chr57]

salut,

tout bon, sauf pour le e: tu peux seulement utiliser le lemme d'euclide si 0<r<b.

pour tout n non nul:

fais-le en 2 étapes:

-> pose d=PGCD() et montre que d divise PGCD()

-> pose d'=PGCD() et montre que d' divise PGCD()

Enfin, conclue: d divise d' et d' divise d, en posant k et k' tels que ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0387e752]

Salut.
Ben je trouve les congruences plus élégantes !
Pour s'entraîner, autant faire l'un avec les congru et l'autre par rec !
Mais sinon en DS, je préfère l'efficacité, la rapidité, donc les congru.

ben dans la recurrence tu utilises les congruences , c'est vrai que c'est elegant et pratique de temps a autre !